Эллипс. Вывод канонического уравнения.

Эллипс – геометрическое место точек, для кот. cумма расстояний до двух данных точек постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть:

F₁, F₂ – фокусы

F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

F₁F₂=2c

M(x; y) – текущая точка эллипса

F₁M+F₂M=2a

Вывод канонического уравнения.

Гипербола. Вывод канонического уравнения.

Гипербола – геометрическое место точек, для кот. разность расстояний от 2-х фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

F₁M-F₂M=2a

2a< 2c

M(x; y) – текущая точка гиперболы

F₁, F₂ – фокусы

F₁(-c; 0), F₂(c; 0)

Вывод канонического уравнения.

Парабола. Вывод канонического уравнения.

Парабола – геометрическое место точек, для каждой из кот. расстояние до некоторой точки (фокуса) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

 

r=d

M(x; y)

Вывод уравнения параболы.

r=d

y²=2px – парабола ветви вправо

y²=-2px – парабола ветви влево

x²=2py – парабола ветви вверх

x²=-2py – парабола ветви вниз

Абсолютная величина. Ее свойства.

Свойства:

·

·

·

·

·

·

·

·

Числовая последовательность. Предел последовательности.

Числовая последовательность – бесконечный ряд чисел, каждое из кот. зависит от своего порядкового номера.

u_n – общий элемент последовательности

Предел последовательности (А) – для любого малого числа Е можно указать такой номер N элемента числовой последовательности, начиная с которого выполняется неравенство .

Предел функции непрерывного аргумента. Определение.

При х→ х₀

Число А это предел функции f(x) при х→ х_0, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е существует такое число ∆ (дельта), зависящее от Е положительное, то выполняется неравенство | х-х₀|< E => |f(x)-A|< 1

При х→ ∞

Бесконечно малая величина. Определение.

Бесконечно малая величина - числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

y=f(x), если

Бесконечно большая величина. Определение.

Бесконечно большая величина - числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

y=f(x), если

Теоремы о бесконечно малых величинах.

§ Сумма конечного числа бесконечно малых величин — бесконечно малая величина.

§ Произведение бесконечно малых величин— бесконечно малая величина.

§ Произведение бесконечно малой величины на константу — бесконечно малая величина.

§ Если — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая последовательность.

Теоремы о связи понятий предела и бесконечно малой величины.

1. Если А является пределом функции y=f(x), то эту функцию можно представить в виде суммы A+α (x), где α (x)- бесконечно малая величина.

Доказательство:

 

Обозначим , тогда

2. Если функция y=f(x) может быть представлена в виде суммы, тогда f(x)=A+ α (x), где α (x)- бесконечно малая величина, то

Доказательство:

f(x)=A+ α (x)

α (x) – бесконечно малая величина =>

Теоремы о пределах.

1. Предел суммы функций, имеющих конечные пределы, равен сумме пределов этих функций.

2. Предел произведения функций, имеющих конечные пределы, равен произведению пределов этих функций.

3. Предел частного функций, имеющих конечные пределы, равен частному пределов этих функций.

 

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

*Первым делом нужно подставить в выражение, предел которого находится, значение переменной, к которой оно стремится.

Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:

Выявление старшей степени переменной.

Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа уществует следующий алгоритм:

Разложение на множители числителя и знаменателя.

Сокращение дроби.

Первый замечательный предел. Следствия из него.

Следствия:

§

§

§

§

§

§

Второй замечательный предел. Следствия из него.

Следствия:

§

§

§

Сравнение бесконечно малых величин.

Если , то α (x)- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

Если , то α (x) и β (x)- бесконечно малые величины одного порядка.

Если α (x) и β (x)- эквивалентные бесконечно малые величины.

Определение непрерывности функции в точке. Односторонние пределы.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует , равный значению функции f(x) в этой точке:

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: