Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности, наивероятнейшее число появления событий.

Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число причем Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа - вероятностями этих значений ( ).

 

Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли: то говорят, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения: Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле то говорят, что случайная величина имеет гипергеометрический закон распределения.

 

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются: геометрический где

 

Числовые характеристики дискретных величин. Примеры

Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

 

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

 

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

 

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

 

Теоретические моменты. Примеры.

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Поэтому мы начнем с обсуждения этих понятий.

 

Пусть -- независимая выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра Теоретическим моментом -го порядка называется функция где -- случайная величина с функцией распределения . Особо отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров, коль скоро распределение зависит от этих параметров. Будем считать, что математические ожидания существуют, по крайней мере, для Эмпирическим моментом -го порядка называется Отметим, что по своему определению эмпирические моменты являются функциями от выборки. Заметим, что -- это хорошо нам известное выборочное среднее.

 

Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:

 

явно вычислить теоретические моменты , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных

В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.

решить систему (35) относительно переменных Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

 

12.Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

Нера́ венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме — Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышева в теории меры

 

Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство

Формулировки

Пусть — пространство с мерой. Пусть также

— суммируемая на функция

Тогда справедливо неравенство:

В более общем виде:

Если — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения то В терминах пространства Пусть Тогда

 

Неравенство Чебышева в теории вероятностей

 

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

 

Формулировки

 

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда где Если , где — стандартное отклонение и , то получаем В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

 

Закон больших чисел

 

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

 

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

 

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

 

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

 

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

 

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.

 

В основе доказательства теорем, объединенных термином " закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: