Вероятность события. Свойства вероятности

 

Вероятностью события А называется отношение числа mблагоприятных исходов к общему числу n всех элементарных равновозможных исходов. Вероятность события А обозначается Р(А).

Тогда, Р(А) =

1) Р(А) = 0, если А – событие невозможное;

2) Р(В) = 1, если В – событие достоверное;

3) 0 < Р(С) < 1, если С - случайное событие;

4) Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если А и В несовместные события;

5) Р(А)= 1 – Р(А)

Теоремы сложения и умножения вероятностей

 

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них: С = А + В.

Произведением событий А и В называется событие С = А·В, состоящее в совместном появлении этих событий.

Условной вероятностью Р(В/А) ((Р_A(В)) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло или не произошло событие В, т.е. если Р(А/В) =Р(А) (условная вероятность равна безусловной).

Теорема 1. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А · В) = Р(В) · Р(А/В) = Р(А) · Р(В/А).

Следствие 1.1. Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей.

Р(А·В) = Р(В) · Р(А).

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В)

Следствие 2.1. Сумма вероятностей событий A₁, A₂ … A_n, образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) +... + Р(А_n) = 1.

Следствие 2.2 (Формула полной вероятности).

Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из попарно несовместных событий B₁, B₂ ... В_n, образующих полную группу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностей каждого из них на соответствующую условную вероятность события А, т.е.:

Р(А) = Р(В₁)·Р(А/В₁) + Р(В₂)·Р(А/В₂) +... + Р(В_n)·Р(А/В_n).

 

Пример 1.

Вероятность заморозков в мае в некоторой местности 0, 3.

Найти вероятность, что три дня подряд будут заморозки.

Решение.

Обозначим через В событие, состоящее в появлении трех дней с заморозками. Событие А = {день с заморозками} Р(А) = 0, 3, В=А·А·А, тогда Р(В) = Р(А)·Р(А)·Р(А) = 0, 3·0, 3·0, 3 = 0, 027.

 

Схема Бернулли

 

Схемой Бернулли или схемой повторных независимых испытаний с двумя исходами: " успех" или " неуспех" называется последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых " успех" наступает с одной и той же вероятностью р ≠ 0 и 1.

Вероятность того, что при n испытаниях «успех» наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли: P_n(k) = C_n^k · p^k · q^n-k ,

где n – число испытаний;

k – число " успехов";

p– вероятность " успеха" в одном испытании;

q = 1 – р– вероятность " неуспеха";

C_n^k = – число сочетании из n элементов пo k.

Пример 2.

Вероятность заболевания животного во время эпидемии 0, 2. Найти вероятность, что из 6 животных 2 заболеют.

Решение.

Число животных n = 6, число " успехов" k = 2, р = 0, 2, q =1 – 0, 2 = 0, 8.

 

При больших n использование формулы Бернулли затруднительно, поэтому, в этих случаях применяют приближенные формулы, которые следуют из локальной теоремы Лапласа и из теоремы Пуассона.

Выбор формулы для решения задачи на схему Бернулли поможет сделать следующая таблица:

 

Название формулы	Формула	Когда даст хорошее решение.
Формула Бернулли.	Рn(k) = Cnk · pk · qn-k	Для всех n и р
Формула, следующая из локальной теоремы Лапласа.	Рn(k)≈	При р > 0, 1 или nр > 9.
Формула, следующая из теоремы Пуассона.		р ≤ 0, 1; nр < 9, n > 10.

 

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции

φ (х) =

Свойства функции φ (х):

1) φ (–х) = φ (х);

2) при х > 4 φ (х) ≈ 0.

Пример 3.

Допустим, укореняют 15 черенков роз. Приживаемость 80%. Найти вероятность того, что из 15 черенков укоренится ровно 12.

Решение,.

n = 15; k = 12; р = 0, 8; q = 1 – 0, 8 = 0, 2.

Имеем nрq = 15·0, 8·0, 4 = 2, 4

;

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, проведенных по схеме Бернулли, событие наступит не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно равна

Р(k, k₂) ≈ Ф(х₂) – Ф(х₁),

где Ф(х) = - интегральная функция Лапласа.

Значение функции Лапласа занесены в таблицу.

Свойства функции Ф(х):

1)Ф(–х) = –Ф(х);

2) если х > 5, то Ф(х) ≈ 0, 5.

 

Пример 4.

Вероятность того, что подготовка почвы к посеву выполнена с соблюдением требований агротехники 0, 75. Найти вероятность того, что из 100 делянок почва подготовлена к посеву не меньше чем на 70 и не больше чем на 80.

Решение.

По условию, р = 0, 75; q = 1 – 0, 75 = 0, 25; n = 100; k₁ =100, k₂ =80.

Р₁₀₀(70, 80) = Ф(x₂) – Ф(х₁)

Таким образом, имеем

Р₁₀₀(70, 80) = Ф(1, 15) – Ф(–1, 15) = Ф(1, 15) + Ф(1, 15) = 2Ф(1, 15).

По таблице находим Ф(1, 15) = 0, 3749.

Искомая вероятность Р100(70, 80) = 2·0, 3749 = 0, 7498.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: