Тема 9. Элементарные сведения из теории корреляции

 

На практике часто приходится иметь дело с зависимостью между переменными более сложной, чем функциональная. Такова, например, зависимость между количеством внесённых удобрений X и собранным урожаем Y. Здесь каждому значению X соответствует множество возможных значений величины Y (осадки, почвы, уход). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений. Подобного рода зависимость относится к корреляционным. Обычно корреляционную зависимость между случайными величинами оценивают, определяя выборочный коэффициент корреляции (он характеризует тесноту зависимости между случайными величинами) и находя выборочные уравнения прямых регрессии (они показывают, как в среднем одна величина зависит от другой).

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1) величина его по модулю не превосходит единицы, т.е.

– 1 < r_B < 1;

2) если r_B = 1, то зависимость между X и Y является обычной функциональной зависимостью;

3) если r_B = 0, то линейной корреляции между X и Y нет;

 

 

4) если 0 < r_B < 1, то между X и Y существует корреляционная зависимость. При этом связь между переменными тем теснее, чем ближе r_B к единице.

| r_B | < 0, 3 – связь слабая,

0, 3 < | r_B | < 0, 7 - связь средняя,

| r_B | > 0, 7 – связь сильная.

 

Задача.

Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в следующей таблице:

X			45 55
Y

 

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение.

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу, в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из этих столбцов вычислены суммы для нахождения средних х_в и у_в. Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности х_i – х_в и у_i – у_в, их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются, чтобы получить величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности х_i – х_в и у_i – у_в будут всегда равны 0.

 

xi	yi	xi – xB	(xi – xB)2	yi – yB	(yi – yB)2	(xi – xB) (yi – yB)
				–9
				–5
				–4
				–3
		-5

 

Находим средние х_B и у_B:

Из таблицы имеем:

Подставляя эти значения в формулу для вычисления коэффициента корреляции, получим

Вывод:

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

 

Найдём теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Это уравнение имеет вид:

за приближённые значения σ _x и σ _y принимают соответственно

Тогда

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X

получим у – 23 = 0, 97·0, 19(х – 70) или у – 23 = 0, 18х – 12, 6.

Вывод:

у = 0, 18х + 10, 4 – искомое уравнение прямой регрессии Y на X.

 

Задания для контрольных работ

В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

1) длины стороны АВ;

2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

3) уравнение высоты СD и её длину;

4) уравнение медианы АЕ;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне АВ.

	А(–8; –3)	В(4; –12)	С(8; 10)		А(–2; 7)	В(10; –2)	С(8; 12)
	А(–5; 7)	В(7; –2)	С(11; 20)		А(–6; 8)	В(6; –1)	С(4; 13)
	А(–12; –1)	В(0; –10)	С(4; 12)		А(3; 6)	В(15; –3)	С(13; 11)
	А(–10; 9)	В(2; 0)	С(6; 22)		А(–10; 5)	В(2; –4)	С(0; 10)
	А(0; 2)	В(12; –7)	С(16; 15)		А(–4; 12)	В(8; 3)	С(6; 17)
	А(–9; 6)	В(3; –3)	С(7; 19)		А(–3; 10)	В(9; 1)	С(7; 15)
	А(1; 0)	В(13; –9)	С(17; 13)		А(4; 1)	В(16; –8)	С(14; 6)
	А(–4; 10)	В(8; 1)	С(12; 23)		А(–7; 4)	В(5; –5)	С(3; 9)
	А(2; 5)	В(14; –4)	С(18; 18)		А(0; 3)	В(12; 6)	С(10; 8)
	А(–1; 4)	В(11; –5)	С(15; 17)		А(–5; 9)	В(5; 0)	С(5; 14)

 

 

В задачах21 – 40найти производные и дифференциалы указанных функций.

 

 

В задачах41 – 60найти неопределенные интегралы.

 

 

61. В среднем из 10 женихов 2 и из 10 невест 1 имеют отрицательный резус-фактор. Какова вероятность « отрицательной » пары при случайном выборе?

62. Среди 10 самцов плодовой мушки 7 имеют мутацию глаз, а среди 10 самок – 8 имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что случайно выбранная для скрещивания пара не имеет мутаций?

63. Врач назначил больному один из трех сульфаниламидов и один из пяти антибиотиков, но больной забыл, какие именно. Какова вероятность того, что при случайном выборе больной выпьет нужные лекарства?

64. Из 200 кур 50 белых, 100 красных и 50 полосатых, из 25 петухов 6 белых, 14 красных и 5 полосатых. Предполагая, что скрещивание происходит случайно, найти вероятность белой пары.

65. В популяции диких кроликов, в среднем, из 100 самцов 10 имеют черную окраску, 5 – коричневую, а остальные – обыкновенную пятнистую, аналогично распределяются по окраске самки. Считая, что скрещивание происходит случайно, найти вероятность черной пары при скрещивании 100 самцов и 100 самок.

66. В одном гнезде находится 3 яйца, из которых вылупятся самки и 4, из которых вылупятся самцы, а в другом гнезде, соответственно 3 и 5. Из каждого гнезда случайным образом выбирают по одному яйцу. Какова вероятность того, что из этих яиц вылупятся самки?

67. Имеется 5 пробирок с 5 штаммами одного вида бактерий и 4 пробирки с 4 штаммами другого вида бактерий. Для эксперимента нужно выбрать 1 штамм первого вида и 1 – второго. Какова вероятность правильного выбора, если на пробирках указаны виды, но забыли указать номера штаммов?

68. Для проведения реакции нужно взять одну из трех кислот и одну из трех щелочей. Какова вероятность правильно выбрать реактивы при случайном выборе?

69. На ферме имеется 5 телочек и 4 бычка. Одна телочка и один бычок – близнецы. Какова вероятность, выбрать близнецов при случайном выборе телочки и бычка?

70. В одной конюшне 2 серых и 3 вороных лошади, в другой 3 серых и 1 вороная. Какова вероятность, выбирая по одной лошади из каждой конюшни, составить одномастную пару?

71. Четыре невесты с группами крови от первой до четвертой выходят замуж за 4 женихов с группами крови от первой до четвертой. Какова вероятность пар с одинаковой группой крови?

72. Для случайного скрещивания отобраны 10 самцов дрозофил, среди которых 3 имеют мутацию крыльев, 2 – мутацию глаз, а остальные 5 не имеют мутаций, и 8 самок дрозофил, среди которых 4 имеют мутацию крыльев и 4 не имеют никаких мутаций. Какова при этом вероятность пары без мутаций?

73. В трех клетках содержалось по паре мышей в каждой: одна белая и одна серая. Однажды клетки забыли запереть, и мыши разбежались по лаборатории. Их поймали и снова посадили в клетки: по одной белой и одной серой. Какова вероятность того, что в первой клетке оказалась прежняя пара?

74. В первой части курса из 20 вопросов студент знает 15, во второй части – из 10 знает 5. Какова вероятность того, что студент ответит на произвольных 2 вопроса, один из которых – в первой части, а другой – из второй?

75. В помете 2 рыжих щенка и 5 черных. Наудачу выбирают 3-х щенков. Какова вероятность того, что они все черные?

76. Из 12 крыс 8 получили некоторую дозу облучения. Какова вероятность того, что 2 выбранные наудачу крысы облучены?

77. На ферме из 12 коров 3 больные. Найти вероятность, что наудачу выбранные 3 коровы здоровые?

78. Из 15 арбузов 3 неспелых. Какова вероятность того, что выбранные 2 арбуза спелые?

79. Из 9 лабораторных мышей 7 вакцинированы. Какова вероятность того, что 3 наудачу выбранные мыши вакцинированы?

80. Среди 10 доноров 4 имеют первую группу крови. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных донора имеют первую группу крови?

81. Всхожесть семян данного растения составляет 80 %. Найти вероятность того, что из 4-х посеянных семян взойдут:

а) 2;

б) не менее 3-х.

82. Вероятность поражения клубней картофеля паршей 0, 4. Найти вероятность того, что из 5 клубней поражены:

а) три;

б) ни одного.

83. Эффективность некоторой вакцины 75 %. Вакцинировались 5 животных. Найти вероятность того, что хотя бы 4 животных приобретут иммунитет.

84. Вероятность механического повреждения клубней картофеля при уборке 0, 15. Найти вероятность того, что среди 4 клубней будет не более одного поврежденного.

85. У семи животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0, 99. Какова вероятность того, что:

а) выздоровят только шестеро;

б) выздоровят все.

86. Семена содержат 0, 1 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

87. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0, 004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий?

88. Вероятность события = 8 (одно посеянное зерно пшеницы не прорастет) равна 0, 009. Какова вероятность того, что из 1000 семян не прорастет ровно 8?

89. Доля поражения зерна вредителями в скрытой форме составляет 0, 002. Найти вероятность, что из 500 семян 10 семян будут поражены вредителями.

90. Ботанический сад отправил в магазин 500 корней роз. Вероятность того, что в пути растения повредятся, равна 0, 002. Найти вероятность того, что в магазин прибудут 3 поврежденных растения.

91. Было посажено 500 кустов. Найти вероятность того, что число прижившихся кустов больше 250, если вероятность, что куст приживется, равна 0, 8.

92. Вероятность поражения лука белой гнилью 0, 2. Найти вероятность, что среди 200 головок лука пораженных будет меньше 50.

93. Вероятность того, что культура не перенесет зиму 0, 25. Найти вероятность, что из 300 растений не перенесут зиму менее 100 растений.

94. Вероятность осложнения после вакцинации 0, 2. Найти вероятность, что среди 400 вакцинированных животных осложнения будут менее чем у 100 животных.

95. Найти вероятность, что среди 100 кочанов капусты окажется 70 кочанов с гусеницами, если вероятность повреждения кочана гусеницами 0, 15.

96. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не менее 700.

97. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев равно 250, если вероятность, что отдельное дерево приживется, равна 0, 8.

98. Посажено600 семян кукурузы с вероятностью прорастания для каждого семени, р = 0, 8. Найти вероятность, что 500 семян прорастет.

99. Вероятность повреждения пакетов с семенами при перевозке 0, 01. Найти вероятность, что из 200 пакетов будут повреждены 3.

100. Вероятность заболевания бешенством бродячих собак 0, 4. Какова вероятность, что среди 50 собак будет 30 заболевших?

 

В задачах 101-120 задан закон распределения с. в. х.

Найти: 1) математическое ожидание М (X);

2) дисперсию D(X);

3) среднее квадратическое отклонение σ.

	x p	0, 3	0, 2	0, 4	0, 1		x p	0, 2	0, 3	0, 1	0, 4
	x p	0, 2	0, 4	0, 3	0, 1		x p	0, 2	0, 3	0, 4	0, 1
	x p	0, 2	0, 2	0, 5	0, 1		x p	0, 3	0, 3	0, 1	0, 1	0, 2
	x p	0, 1	0, 5	0, 3	0, 1		x p	0, 1	0, 5	0, 1	0, 2	0, 1
	x p	0, 2	0, 4	0, 3	0, 1		x p	0, 1	0, 1	0, 2	0, 2	0, 4
	x p	0, 1	0, 5	0, 2	0, 2		x p	0, 3	0, 2	0, 1	0, 2	0, 2
	x p	0, 1	0, 2	0, 5	0, 2		x p	0, 1	0, 1	0, 6	0, 1	0, 1
	x p	0, 1	0, 4	0, 2	0, 3		x p	0, 2	0, 1	0, 1	0, 4	0, 2
	x p	0, 1	0, 3	0, 4	0, 2		x p	0, 2	0, 2	0, 1	0, 3	0, 2
	x p	0, 2	0, 4	0, 3	0, 1		x p	0, 5		0, 2	0, 1	0, 2

 

В задачах 121 - 130 дано, что масса вылавливаемых в пруду зеркальных карпов – случайная величина X, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием d и средним квадратическим отклонением σ.

Найти: а) вероятность того, что масса наудачу выловленного карпа будет заключена в пределах от x₁ до x₂;

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X – dокажется меньше δ;

в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаем массы.

 

№ задачи	d	σ	x1	x2	δ

 

В задачах 131 - 140 предполагаем, что вес яиц – нормально распределенная случайная величина X, с математическим ожиданием d и средним квадратическим отклонением σ. В заготовку принимаются яйца от x₁ до х₂ граммов веса.

Определить: а) вероятность того, что наудачу взятое яйцо пойдет в заготовку:

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения X – d окажется меньше δ;

в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого веса яйца.

 

№ задачи	d	σ	x1	x2	δ

 

В задачах 141-150 для средней урожайности пшеницы в каждом из двадцати совхозов района была определена урожайность на 100 га в каждом из них.

Для каждого совхоза найти: 1) величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всём массиве;

2) величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всём массиве;

3) доверительный интервал, в котором с вероятностью 0.95 заключена средняя урожайность на всём массиве.

141 Урожайность, ц/га Площадь, га 142 Урожайность, ц/га Площадь, га 143 Урожайность, ц/га Площадь, га 144 Урожайность, ц/га Площадь, га 145 Урожайность, ц/га Площадь, га 146 Урожайность, ц/га Площадь, га 147 Урожайность, ц/га Площадь, га 148 Урожайность, ц/га Площадь, га 149 Урожайность, ц/га Площадь, га 150.Урожайность, ц/га Площадь, га

10-12 11-13 10-12 11-13 10-12 11-13 10-12 11-13 10-12 11-13

12-14 13-15 12-14 13-15 12-14 13-15 12-14 13-15 12-14 13-15

14-16 15-17 14-16 15-17 14-16 15-17 14-16 15-17 14-16 15-17

16-18 17-19 16-18 17-19 16-18 17-19 16-18 17-19 16-18 17-19

18-20 19-21 18-20 19-21 18-20 19-21 18-20 19-21 18-20 19-21

20-22 21-23 20-22 21-23 20-22 21-23 20-22 21-23 20-22 21-23

22-24 23-25 22-24 23-25 22-24 23-25 22-24 23-25 22-24 23-25

В задачах 151 – 155 приводятся данные об измерении диаметра сосны в см (X) и её высоты в м (Y). Вычислить коэффициент корреляции и найти уравнение прямой регрессии Y на X.

	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У

В задачах 156 – 160 приводятся данные о весе зерна в мг (X) и процентном содержании жира в нём (Y). Вычислить коэффициент корреляции и найти уравнение прямой регрессии Y на X.

	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У
	Х
	У

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение

Таблица 1

Таблица значений функции

0, 0	0, 3989
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
1, 0	0, 2420
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
1, 5
1, 6
1, 7
1, 8
1, 9
2, 0	0, 0540
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
2, 5
2, 6									ОНО
2, 7
2, 8
2, 9
3, 0	0, 0044
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
3, 7
3, 8
3, 9

 

 

Tаблица 2

Таблица значений функции

⇐ Предыдущая123

Поделиться: