Случайные величины и их числовые характеристики

 

Величина, принимающая свои значения в зависимости от исходов некоторого испытания, причем для каждого элементарного исхода имеющая одно единственное значение, называется случайной.

Дискретная случайная величина

Величина, принимающая отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями называется дискретной случайной величиной.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на соответствующие им вероятности:

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

, где .

2. Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин:

.

Следствие.Если , то

3. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

, где .

4. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях (математическое ожидание биноминального распределения) равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: .

Дисперсия

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: .

Для вычисления дисперсии также можно использовать следующую формулу:

,

т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом её математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: , .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: , .

3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

5. Если , то .

Замечание 2. Для вычисления дисперсии биноминального распределения можно воспользоваться следующей формулой: , где – число испытаний; – вероятность осуществления события в одном испытании; – вероятность осуществления события (противоположного событию ) в одном испытании.

Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .

Замечание 3. На основании данного определения для обозначения диспер­сии часто используется символ .

Пример 1.Задан закон распределения дискретной случайной величины :

X
P	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4

Найти:

1) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;

2) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график;

3) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения ;

4) составить закон распределения случайной величины ;

5) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины .

Решение:

1) Для вычисления числовых характеристик случайной величины составим таблицу:

 

	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4
						= 62

 

Таким образом:

– математическое ожидание по определению равно , или = 62;

– дисперсию определим по формуле , или ;

– среднее квадратическое отклонение по определению равно , или ;

2) Для составления функции распределения воспользуемся ее определением и свойствами: если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то , если , , если :

3) Вероятности попадания случайной величины в интервал вычислим по формуле . В данном случае , следовательно ;

4) Составим закон распределения случайной величины . Для этого найдем все возможные значения случайной величины :

Вероятности , с которыми принимает свои возможные значения, равны вероятностям , т.е. и т.д.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

				-40	-80
	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4

 

5) Вычислим математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины :

– пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:

для .

;

.

– непосредственно по закону распределения случайной величины . Составим таблицу для вычислений и :

				-40	-80
	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4
				-8	-32

 

Таким образом:

– математическое ожидание равно ;

– дисперсию определим по формуле , или .

⇐ Предыдущая123

Поделиться: