Дискретная математика и линейная алгебра

 

 

Учебно-методический комплекс

 

Авторы-составители

д.т.н., профессор А.Н. Данчул,

д.пед.н., к.ф.-м.н., профессор А.И. Митин,

к.ф.-м.н., доцент Т.М. Поленова

 

 

Москва – 2012

Содержание

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 3

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 4

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ.. 5

ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ.. 8

ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 22

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 22

Таблица вариантов. 23

Контрольное задание №1. 24

Контрольное задание №2. 30

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 35

ПРИЛОЖЕНИЕ ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.. 37

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Программа части 1 «Дискретная математика и линейная алгебра» учебной дисциплины «Математика» разработана в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта профессионального высшего образования для обучения студентов бакалавриата по направлению «экономическая безопасность».

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к творческому восприятию последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин. Студенты должны научиться владеть современным математизированным профессиональным языком, принятым в мировом научном сообществе, знать основные возможности и ограничения применения математического аппарата в профессиональной деятельности, а также иметь базовые навыки использования математического инструментария.

Часть 1 «Дискретная математика и линейная алгебра» дисциплины «Математика» направлена на достижение вышеуказанных целей в области дискретной математики и линейной алгебры, создание фундамента для изучения последующих частей дисциплины (математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика) и методов экономико-математического моделирования.

Часть 1 «Дискретная математика и линейная алгебра» дисциплины «Математика» читается в I семестре, рассчитана на 114 часов занятий, из которых 18 часов – лекции, 36 часов – семинарские занятия и 60 часов – самостоятельная работа студентов. Изучение дисциплины не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы полной средней школы.

По части 1 «Дискретная математика и линейная алгебра» дисциплины «Математика» предусмотрены два контрольных задания. Формой итогового контроля работы студентов является экзамен. В экзаменационный билет входят два теоретических вопроса и одна задача из числа включенных в планы семинарских занятий или контрольные задания.

Требования к уровню освоения дисциплины включают знание определений рассматриваемых понятий, понимание формулировок и идей доказательств используемых теорем, знание доказательств основных теорем, излагаемых на лекциях, уверенное владение методами решения задач, содержащихся в планах семинарских занятий.

 

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 

№	Тема занятий	Всего часов	В том числе:
Лекции	Семинары	Самост. работа
1.	Основы математической логики и теории мно­жеств
2.	Элементы дискретной математики
3.	Матрицы и определители
4.	Системы линейных алгебраических уравнений
5.	Линейные пространства и преобразования
6.	Комплексные числа. Собственные значения и векторы.
7.	Квадратичные формы
8.	Элементы аналитической геометрии
	ИТОГО:

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ

 

Тема 1. Основы математической логики и теории мно­жеств

 

Роль математики в экономических исследованиях. Основные особенности математического мышления. Аксиоматический подход. Математические доказательства.

Логика высказываний. Логические операции. Таблицы истинности. Логические законы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы.

Логика предикатов. Кванторы общности и существования. Формулировка логических законов с использованием кванторов.

Множества. Пустое и универсальное множества. Подмножества. Простейшие операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность). Диаграммы Венна. Тождества теории множеств, методы их доказательства. Мощность множества. Виды числовых множеств.

 

Тема 2. Элементы дискретной математики

 

Прямое (декартово) произведение множеств. Понятие структуры на множестве. Комбинаторика. Комбинаторные структуры (размещения, перестановки, сочетания). Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты и их свойства.

Понятие отношения. Обратное отношение. Графическое представление отношений. Свойства отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, асимметричность, антисимметричность). Разбиения множества и отношение эквивалентности. Отношения порядка.

Основные понятия теории графов. Ориентированные и неориентированные графы. Матричная запись и числовые характеристики графов. Основные виды графов. Основные задачи теории графов. Графы бинарных отношений.

Отображения и их основные свойства. Функциональные отображения. Взаимно-однозначное соответствие множеств. Функции, последовательности, операторы.

 

Тема 3. Матрицы и определители

 

Понятие матрицы. Определение и виды прямоугольных матриц. Векторы. Операции над матрицами. Квадратная матрица. Понятие определителя и способы его вычисления. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

 

Тема 4. Системы линейных алгебраических уравнений

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и решение их в матричном виде. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Свободные неизвестные, базисные решения. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.

 

Тема 5. Линейные пространства и преобразования

 

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность пространства. Преобразование координат при переходе к новому базису. Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Евклидовы пространства.

Линейные преобразования (операторы). Способы нахождения матрицы линейного преобразования.

 

Тема 6. Комплексные числа. Собственные значения и векторы

 

Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами и их свойства. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.

 

Тема 7. Квадратичные формы

 

Понятие квадратичной формы. Матричная запись. Канонический базис квадратичной формы. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

 

Тема 8. Элементы аналитической геометрии

 

Уравнение линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Углы между плоскостями и прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности. Поверхности второго порядка, их геометрические свойства.

 

 

ПЛАНЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

Тема 1. Основы математической логики и теории множеств

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать логические законы, используя таблицы истинности, и дать примеры их содержательной интерпретации

а) ; б)(X Þ Y)Û `X Ú Y

в) X Ú (Y Ù Z)Û (X Ú Y)Ù (X Ú Z);

На дом

а) ; б) ;

в) X Ù (Y Ú Z)Û (X Ù Y)Ú (X Ù Z).

3. Пусть Р означает: «число a делится на число b», Q означает: «число a делится на число c» и R означает: «число a делится на произведение чисел b и с». Сформулировать предложения, записанные в виде формул

а) PÙ Q; б) PÙ QÞ R;

На дом

а) ; б)

4. Пусть R и D означают соответственно высказывания: «данный четырехугольник есть ромб» и «диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания и определить, если возможно, их значение

а) Если данный четырехугольник есть ромб, то диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны;

б) Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб.

На дом

а) Данный четырехугольник не ромб, или диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где x и y Î M, задан следующей таблицей:

x	y	P(x, y)
a	a
a	b
b	a
b	b

Определить значение истинности следующих высказываний и дать пример их содержательной интерпретации.

а)$ xP(x, a) б)" y P(a, y) в)$ x" yP(x, y).

На дом

а) $ yP(a, y) б)" xP(x, a) в) " x $ yP(x, y).

3. Записать в форме высказываний, введя необходимые обозначения предикатов, следующие предложения:

а)Все москвичи в данной группе учатся на «хорошо» и «отлично».

б)В данной группе нет слушателей старше 30 лет.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор общности).

На дом

а)Все слушатели в данной группе – москвичи или из Подмосковья.

б)Некоторые москвичи – слушатели данной группы.

в) Не все то золото, что блестит (использовать квантор существования).

4. Пусть R(x) и D(x) – предикаты, определенные на множестве четырехугольников, означающие соответственно: «четырехугольник х есть ромб» и «диагонали четырехугольника х взаимно перпендикулярны». Записать в символической форме следующие высказывания:

а) Если четырехугольник есть ромб, то диагонали этого четырехугольника взаимно перпендикулярны;

На дом

а) Любой четырехугольник – не ромб, или его диагонали взаимно перпендикулярны.

б) Неверно, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник есть ромб.

5. Пусть S(x, y, z) ‑ предикат сложения (z является суммой x и y), рассматриваемый на множестве Z всех целых чисел и на множестве N₀ = N {0} целых неотрицательных чисел. Какова содержательная интерпретация следующих формул и на каком множестве ( Z или N₀ ) они истинны?

а)" y $ x S(x, y, 0) б)" z " x $ y S(x, y, z).

На дом

а)$ y " x S(x, y, x) б) $x $ y S(x, y, -12)

 

Занятие 3

1. Повторение определений основных понятий темы.

2.На плоскости задан предикат , множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 1), (1, 1), (1, 0), (0, 0).

Множества истинности предикатов определяются соответственно множествами точек и на плоскости , где – действительные числа.

а) Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката .

б) Используя логические операции, записать формулу предиката .

На дом

На плоскости задан предикат , множеством истинности которого является область, граница которой состоит из прямых отрезков, соединяющих последовательно точки с координатами (0, 0), (3, 0), (3, 2), (2, 2), (2, 1), (0, 1), (0, 0).

Множества истинности предикатов определяются соответственно множествами точек и на плоскости , где – действительные числа.

а) Используя операции над множествами, записать формулу получения множества истинности предиката .

б) Используя логические операции, записать формулу предиката .

3. Даны множества: I= {1, 2, 3, 4, 5}, X={1, 5}, Y={1, 2, 4}, Z={2, 5}. Найти следующие множества и начертить диаграммы Венна, иллюстрирующие их построение:

а) б)

На дом

а) б)

 

4. Доказать с помощью диаграмм Венна следующие тождества

На дом

.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: