Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Тема 3. Матрицы и определители

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4


Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Даны матрицы A и B.

Указать, какие из нижеприведенных операций выполнимы, и выполнить их.

а) A + B; б) AT+ B; в) A + B T; г) AT+ B T;

д) AB; е) ATB; ж) AB T; з) BAT.

На дом

3. Решить задачи [Л1[1], с.60, 64]:

1.17, 1.20, 1.23, 1.40, 1.43

На дом

1.18, 1.21, 1.25, 1.42, 1.45.

4. Найти определитель матрицы

на дом


Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.65, 68]:

1.51, 1.62 на дом 1.52, 1.65.

3. Найти матрицу, обратную матрице С, если она существует (см. п. 4 занятия 1).

на дом

4. Найти ранг матриц

5. Решить задачи [Л1, с.70-71]:

1.71, 1.73, 1.79 на дом 1.74, 1.75 1.82.

 

Тема 4. Системы линейных алгебраических уравнений

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Записать систему уравнений в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.

на дом

3. Решить системы уравнений из п. 2 по формулам Крамера.

4. Решить системы уравнений методом Гаусса.

На дом

5. Найти матрицы, обратные матрицам А и В, методом Гаусса.

; на дом

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти базисные и общее решения системы уравнений.

на дом

3. Решить задачи [Л1, с.115–118]:

2.46, 2.52, 2.69 на дом 2.47, 2.53, 2.71

Тема 5. Линейные пространства и преобразования

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать, что множество двухмерных геометрических векторов с заданными на нем операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство.

3. Решить задачи [Л1, с. 165-166]:

3.50, 3.53, 3.56, 3.58, 3.61, 3.63 на дом 3.51, 3.54, 3.57, 3.59, 3.62, 3.64.

4. Найти косинус угла между векторами x и y, принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом.

, на дом , .

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.158, 159, 166, 168, 169]:

3.20, 3.26, 3.65, 3.71, 3.73, 3.75, 3.78

на дом 3.21, 3.27, 3.66, 3.72, 3.74, 3.76, 3.79.

в вектор
3. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый

вектор

 

 

на дом .

Занятие 3

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного векторного пространства в вектор y по следующему алгоритму.

а) симметричное отображение относительно прямой x1= x2;

б) поворот на 45° по часовой стрелке;

в) симметричное отображение относительно прямой x1= 0, а затем симметричное отображение относительно начала координат.

на дом

а) симметричное отображение относительно прямой x1= -x2.

б) поворот на угол α против часовой стрелки;

в) симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x2= 0.

3. Решить задачи [Л1, с. 169]:

3.80, 3.82 на дом 3.81, 3.83.

Тема 6. Комплексные числа. Собственные значения и векторы

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 805-806]:

15.7, 15.8в, 15.12, 15.22 на дом 15.8г, 15.23.

3. Даны комплексные числа . Представить в тригонометрической форме и экспоненциальной форме и изобразить на комплексной плоскости эти числа, а также

на дом z1 = 12+5i, z2 = 3-4i

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 172-173]:

3.87, 3.91. 3.96. 3.102 на дом 3.88. 3.92. 3.97, 3.103.

 

Тема 7. Квадратичные формы

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 176, 177]:

3.111, 3.117, 3.120, 3.124 на дом 3.112, 3.118, 3.121, 3.125.

Тема 8. Элементы аналитической геометрии

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 217, 218]:

4.21, 4.35, 4.37, 4.38, 4.47; на дом 4.28, 4.39, 4.41, 4.48.

 

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 217, 225–227, 235]:

4.32, 4.69, 4.79, 4.93, 4.119 на дом 4.33, 4.70, 4.83, 4.98, 4.121.

 


ПЕРЕЧЕНЬ РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Высшая математика для экономических специальностей. Н.Ш.Кремер и др. М.: Высшее образование, 2008.

2. Сборник задач по математике. /А.Н.Данчул (отв.ред) / М.: Издательство РАГС, 2005.

3. Учебно-методическое пособие по математике. Математическая логика. Дискретная математика. Линейная алгебра // Данчул А.Н., Митин А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.М. ‑ М.: Изд-во РАГС, 2000.

4. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Высшая школа, 1975.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Выполняются два контрольных задания по 6 задач в каждом. По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной ниже, определяются номера вариантов задач, входящих в задание. Образец оформления титульного листа задания приведен в Приложении.

Сроки сдачи заданий:

· задание 1 – 10 неделя (до 8 ноября);

· задание 2 – 16 неделя (до 20 декабря).

Сроки зачета заданий (с учетом исправления ошибок):

· задание 1 – 11 неделя (до 15 ноября);

· задание 2 – 17 неделя (до 27 декабря).

Студенты, не сдавшие оба контрольных задания, не допускаются к сдаче экзамена.


Таблица вариантов

Задача
№ варианта задания Номера вариантов задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.

Контрольное задание №1

Задача 1. На заданном множестве точек плоскости Q определены предикаты P1(x), P2(x), P(x). Областью истинности предиката P1(x) является множество Р1, областью истинности предиката P2(x) – множество Р2, областью истинности предиката Р(х) – множество Р ‑ заштрихованная часть области Q.

А) Используя операции над множествами, записать формулу получения множества Р.

Б) Используя логические операции, записать формулу предиката P(x).

В) С помощью сравнения таблиц истинности для P(x) и для областей истинности / ложности P1(x) и P2(x) (то есть частей области Q) показать корректность формулы предиката P(x).

 

Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
Вариант 5 Вариант 6
Вариант 7 Вариант 8
Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 2. Дано множество M={a, b}. Предикат P(x, y), где xÎ M, yÎ M, задан следующей таблицей.

 

x y P(x, y)
a a
a b
b a
b b

 

Определить значение истинности высказывания (с объяснением)

Вариант 1 " x P(x, a) Вариант 6 " y " x P(x, y)
Вариант 2 $ x P(x, a) Вариант 7 $ x $ y P(x, y)
Вариант 3 " y P(a, y) Вариант 8 $ y $ x P(x, y)
Вариант 4 $ y P(a, y) Вариант 9 $ x " y P(x, y)
Вариант 5 " x " yP(x, y) Вариант 10 " x $ y P(x, y)

 

Задача 3. Выписать все элементы отношений и . Исследовать свойства отношения и представить отношение в виде ориентированного графа и координатной диаграммы.

 

Вариант 1 X = {2, 4, 6, 8}, R = {< x, y>: x < y}
Вариант 2 X = {3, 5, 7, 9}, R = {< x, y>: x > y}
Вариант 3 X = P({a, b, c}), R = {< A, B>: A Ì B}
Вариант 4 X = P({a, b}), R = {< A, B>: A Í B}
Вариант 5 X = {2, 4, 8, 10}, R = {< x, y>: x ³ y}
Вариант 6 X = {2, 4, 16, 22}, R = {< x, y>: x являетсяделителем y}
Вариант 7 X = {2, 4, 16, 22}, R = {< x, y>: (x+y)делится на 6}
Вариант 8 X = {2, 4, 16, 22}, R = {< x, y>: x / y четно}
Вариант 9 X = {2, 4, 8, 10}, R = {< x, y>: (x – y)делится на 3}
Вариант 10 X = P({a, b, c}), R = {< A, B>: A Ç B ¹ Æ }

Элементы P({a, b}) – все подмножества универсального множества I= {a, b};

Элементы P({a, b, c}) – все подмножества универсального множества I= {a, b, c}.

Задача 4. С помощью присоединенной матрицы найти матрицу, обратную матрице

Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
Вариант 5 Вариант 6
Вариант 7 Вариант 8
Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 5. Найти ранг матрицы

Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
Вариант 5 Вариант 6

 

Вариант 7 Вариант 8
Вариант 9 Вариант 10

Задача 6. Для орграфа, представленного следующей матрицей инциденций, найти матрицу смежности, нарисовать диаграмму графа и определить будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
 
Вариант 5  

Для орграфа, представленного следующей матрицей смежности, найти матрицу инциденций, нарисовать диаграмму графа и определить будет ли он связным, сильно связным или несвязным.

Вариант 6 Вариант 7
Вариант 8 Вариант 9
 
Вариант 10  

 

 


Контрольное задание №2

 

Задача 1. Решить систему уравнений методом Гаусса

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

Задача 2. Представить вектор x в виде линейной комбинации векторов a1, a2, a3, если система векторов a1, a2, a3 линейно независима. В случае линейной зависимости векторов a1, a2, a3 заменить один из них на вектор x так, чтобы полученная система стала линейно независимой.

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

 


Задача 3. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного линейного пространства в вектор y по следующему алгоритму:

Вариант 1. Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0, а затем поворот на 90° по часовой стрелке.
Вариант 2. Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0, а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 3. Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0, а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 4. Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0, а затем симметричное отображение относительно прямойx1 = 0.
Вариант 5. Симметричное отображение относительно начала координат, а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 6. Симметричное отображение относительно прямойx2 = 0, а затем симметричное отображение относительно начала координат.
Вариант 7. Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямойx1 = 0.
Вариант 8. Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 9. Поворот по часовой стрелке на 90°, а затем симметричное отображение относительно прямойx2 = 0.
Вариант 10. Симметричное отображение относительно прямойx1 = 0, а затем поворот на 90° против часовой стрелки.

Задача 4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

Задача 5. Данную квадратичную форму записать в матричном виде, привести к каноническому виду и выписать матрицу соответствующего линейного преобразования.

Вариант 1. .

Вариант 2. .

Вариант 3. .

Вариант 4. .

Вариант 5. .

Вариант 6. .

Вариант 7. .

Вариант 8. .

Вариант 9. .

Вариант 10. .

Задача 6. Найти уравнение нормали, проходящей через начало координат, к плоскости Ax+By+Cz+D=0. Найти координаты точки пересечения плоскости и нормали. Записать уравнение плоскости в виде уравнения плоскости, проходящей через эту точку.

  A B C D
Вариант 1 -1
Вариант 2 -1
Вариант 3 -2 -4
Вариант 4 -2 -1 -4
Вариант 5 -2 -1 -2
Вариант 6 -1
Вариант 7 -1 -3
Вариант 8 -2
Вариант 9 -1
Вариант 10 -1 -3 -3

 


ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

 

1. Высказывания и основные операции над ними. Таблицы истинности.

2. Эквивалентные высказывания и логические законы.

3. Одноместные предикаты: основные понятия, использование кванторов общности и существования.

4. Двухместные предикаты: основные понятия, использование кванторов общности и существования.

5. Логические законы, формулирующиеся с использованием кванторов.

6. Множества и основные операции над ними. Диаграммы Венна.

7. Прямое (декартово) произведение множеств. Комбинаторные структуры.

8. Бинарные отношения. Обратное отношение. Графическое представление бинарных отношений.

9. Свойства отношений. Отношения эквивалентности. Разбиения множеств на классы.

10. Свойства отношений. Отношения порядка.

11. Отображения и их основные свойства. Виды отображений.

12. Ориентированные графы. Диаграмма графа. Матрицы смежности и инциденций.

13. Матрицы и основные операции над ними.

14. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

15. Умножение матриц.

16. Определители матриц второго и третьего порядка.

17. Обратная матрица и ее нахождение.

18. Свойства определителей.

19. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Их использование при нахождении определителей.

20. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

21. Условие Кронекера-Капелли совместимости системы линейных алгебраических уравнений.

22. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде.

23. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

24. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

25. Системы линейных однородных уравнений; свойства, фундаментальное решение.

26. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

27. Линейное пространство.

28. Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.

29. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства.

30. Понятие квадратичной формы. Матричная запись.

31. Канонический вид квадратичной формы.

32. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

33. Критерий Сильвестра.

34. Преобразование координат при переходе к новому базису.

35. Подпространства. Прямые и гиперплоскости в линейном пространстве.

36. Уравнения прямой в двухмерном пространстве.

37. Уравнения прямой в трехмерном пространстве.

38. Уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

39. Линейные преобразования. Свойства.

40. Нахождение матрицы линейного преобразования.

41. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

42. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.

43. Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами.

44. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.


ПРИЛОЖЕНИЕ
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

 

Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

 

Контрольное задание № 1 по математике

 

студента группы № БО-141


⇐ Предыдущая1234
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 1069; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.112 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь