МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

 

Совокупность координатных осей О_х, О_у (с выбранной единицей масштаба) и их точки пересечения (начало отсчета) называют декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат.

Каждой точке на плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у, которые называют координатами точки А(х; у).

Координатные оси О_х и О_у разбивают плоскость на I, II, III и IVквадранты (координатные четверти).

 

Например, на рисунке 1 построены точки А(0; 4), В(3; 2), С(- 4; 0) М (-2; -3).

 

Основные задачи, решаемые методом координат

Расстояние между двумя точками

 

Найдем расстояние между двумя точками М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂) (рис. 2).

 

Из прямоугольного треугольника М₁М₂ N по теореме Пифагора находим формулу для вычисления расстояния между точками:

. (7)

Пример. Найти расстояние между точками А(1; 3), В(4; 7).

По формуле (7) имеем

.

 

Деление отрезка в данном отношении. Середина отрезка

 

Требуется найти координаты точки М (х; у), лежащую на отрезке М₁М₂ и делящую его в данном отношении (рис. 3).

 

Еслиизвестны координаты концов отрезка М₁ (х₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂), то координаты точки М(х_М; у_М), которая лежит на отрезке М₁М₂ и делит его в данном отношении

; (8)

- координаты точки М(х_М; у_М) – середины отрезка М₁М₂

. (9)

Пример. Вычислить координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(1; 3), В(5; 7). По формулам (8) имеем

.

Ответ: С(3; 5).

Пример. Вычислить координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении АМ: МВ=4, если А(10; 2), В(5; 7).

По формулам (9) имеем

.

Ответ: М(6; 6).

 

 

Упражнения

 

1. Построить точки A(3; 5), B(- 4; 2), C(1; -3), D(-2; -2), E(-6; 0). K(0; 3).

2. Найдите расстояние между точками:

а) A(-3; -5) и B(2; 7); б) A(2; 7) и B(6; 4); в) A(12; 0) и B(0; -5);
г) A(-4; 0) и B(0; 3); д) A(-2; -7) и B(3; -2); е) О(0; 0) и B(-8; 6).

3. Найдите координаты точки К – середины отрезка АВ:

а) A(3; 7) и B(1; 7); б) A(5; -5) и B(5; 7); в) A(4; 3) и B(8; 1); г) A(-2; 4) и B(6; -7).

4. Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ в отношении:

а) , А(3; 5), В(9; 8); б) , А(3; 5), В(9; 8); в) , А(7; 11), В(2; 1); г) , А(7; 11), В(2; 1).

5. Найдите длины сторон треугольника с вершинами А(3; 2), В(-1; -1) и С(11; -6).

6. Доказать, что треугольник с вершинами О(0; 0), А(3; 1) и В(1; 7) прямоугольный.

7. Найти координаты вершин квадрата, диагональ которого равна 6 единицам длины, точка пересечения диагоналей – в начале координат, диагонали лежат на осях координат.

 

Уравнение прямой на плоскости

 

Общее уравнение прямой

 

В декартовой системе координат всякое уравнение первой степени относительно координат х и у

Ах+Ву+С=0, (10)

где А и В одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Уравнение (10) называется общим уравнением прямой на плоскости, где - нормальный (перпендикулярный) вектор данной прямой.

Уравнение прямой, которая проходит через точку М(х₀; у₀)перпендикулярно вектору , имеет вид

.

Если прямая проходит через точку М(х₀; у₀)параллельно вектору , то

.

 

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом

 

Направление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е.

.

Исключение составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох.

Из общего уравнения прямой угловой коэффициент k равен

.

Если прямая задана двумя точками и , то угловой коэффициент k вычисляется по формуле

. (11)

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в точке с ординатой b, записывается в виде

у= kх+ b. (12)

Пример. Если α =45⁰, b=7, то , и уравнение прямой имеет вид .

Пример. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом k=3, которая проходит через точку М (-1; 8).

По формуле (12) запишем условие: 8=3·(-1)+ b b=11. Тогда уравнение прямой имеет вид у= 3х+ 11.

Уравнение прямой, проходящей через точку М(х₀; у₀)с заданным углом наклона , можно записать в другом виде

. (13)

Уравнение прямой в отрезках

 

Если в общем уравнении прямой (10) , то прямая отсекает на координатных осях отрезки . Тогда уравнение прямой в отрезках имеет вид

. (14)

Пример. Записать уравнение прямой в отрезках.

Перепишем это уравнение и разделим его на 10, тогда уравнение примет вид .

 

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

 

Две точки определяют единственную прямую.

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(2; 3) и В(4; 5). Так как прямая у=kх+b проходит одновременно через две точки, то задача может быть решена с помощью системы линейных уравнений

 

т.е. уравнение имеет вид у= х+1.

 

Для написания уравнение прямой, проходящей через две данные точки и можно использовать формулу

. (15)

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу. По формуле (15) запишем

.

 

123Следующая ⇒

Поделиться: