ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ в пространстве

 

Вектором называется направленный отрезок (рис. 7).

Вектор обозначается указанием его начала (т. А) и его конца (т. В), записывается или одной буквой, например .

 

Координаты вектора

 

Если известны координаты точек и , то координаты вектора находятся по формуле

. (25 )

Пример..Найдите координаты вектора , если А(4; -3; 5) и В(9; 0; 2). По формуле (25) координаты вектора =(9- 4; 0-(-3); 2-5)=(5; 3; -3).

 

Модуль вектора

 

Длина вектора называется его модулем и находится по формуле

или . (26)

Пример. Найдите модуль вектора , если А(4; -3; 5) и В(9; 0; 2). По формуле (26) длина вектора равна .

 

Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Условием коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их соответствующих координат

. (27)

Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковые длины. Условием равенства двух векторов и является равенство их соответствующих координат

(28)

Например, векторы и равны; векторы а и сонаправлены , т.к. ; векторы и противоположно направлены , т.к. ; векторы – коллинеарные.

 

Операции над векторами в координатной форме

 

1. Сложение векторов

(29)

Свойства: + = + ; + = ; +( )= .

Пример. , .

 

2. Вычитание векторов

. (30)

Пример. , .

 

3. Умножение вектора на число

(31)

Пример. , .

4. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними

. (32)

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле

= . (33)

Пример. , .

Из формул (32) и (33) можно определить угол между векторами

. (34)

Пример. , , , тогда по формуле (34) находим .

Свойства:

1) · = · ;

2) ·( + )= · + · ;

3) ;

4) · =0 .

Пример. Доказать, что векторы и перпендикулярны. Для этого применим свойство (4) скалярного произведения векторов: .

 

5. Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , перпендикулярный данным и определяемый формулой

. (35)

Свойства:

1) ;

2) ;

3)

4) Если ║ , то ;

5) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения –

. (36)

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах =(3; 1; 2) и =(2; -1; 0).

Найдем , по формуле (36) .

 

 

6. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других, т.е. произведение вида

.

(37)

Свойства:

1) Смешанное произведение компланарных векторов (лежащих в одной плоскости) равно нулю.

2) Четная перестановка векторов в смешанном произведении его не меняет:

.

3) Модуль смешанного произведения векторов , и равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

. (38)

Пример. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

Найдем смешанное произведение данных векторов:

, (куб.ед.).

 

 

Упражнения

1. Найдите координаты и длину вектора , если

а) А(-1; 5; 2), В(2; 5; -2); б) А(1; 3; 0), В(-2; 3; 0); в) А(4; -7; -3), В(-1; 9; 3).

2. Даны векторы , и . Найдите координаты вектора: а) + ; б) + ; в) 3 ; г) –2 ; д) + – .

3. Коллинеарны ли векторы:

а) и ; б) и ; в) и , если А(-2; 3; 1), В(1; 5; -2), С(4; 5; -8), D(1; 3; -5)

4. Найдите скалярное произведение векторов:

а) и ; б) и ; в) и .

5. Найдите угол между векторами:

а) и ; б) и .

6. Перпендикулярны ли векторы:

а) и ; б) и ?

7. Найдите векторное произведение векторов:

а) и ; б) и .

8. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах:

а) и ; б) и ; в) и .

9. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах

а) и ; б) и .

10. Найдите площадь треугольника с вершинами

a) А(1; 1; 1), В(2; 3; 4) и С(4; 3; 2); б) А(0; 3; -2), В(1; -2; 2) и С(5; 0; -1).

11. Найдите смешанное произведение векторов:

а) , и ; б) , и .

12. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах

а) , и ; б) , и ; в) , и .

13. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах

а) , и ; б) , и .

14. Найдите объем треугольной пирамидыс вершинами

А(0; 0; 1), В(2; 3; 5); С(6; 2; 3); D(3; 7; 2).

Вопросы к коллоквиуму

 

1. Найти длину отрезка, координаты середины отрезка, если известны координаты точек.

2. Найти длину медианы треугольника, точки пересечения медиан треугольника, если известны координаты его вершин.

3. Написать уравнение прямой, которая проходит через две точки.

4. Написать уравнение прямой, которая проходит через данную точку параллельно данной прямой; через данную точку перпендикулярно данной прямой.

5. Найти угловой коэффициент прямой; отрезки, отсекаемые этой прямой на координатных осях.

6. Написать уравнение прямой в отрезках и общее уравнение прямой, если известны координаты точек пересечения с осями.

7. Составьте уравнение окружности, если известен ее центр и радиус.

8. Постройте окружность, укажите ее центр и радиус.

9. Определите полуоси, координаты фокусов и вершин эллипса, постройте линию.

10. Определите полуоси, координаты фокусов и вершин гиперболы, постройте линию.

11. Найдите координаты фокуса и запишите уравнение директрисы параболы, сделайте рисунок.

12. Найти координаты вектора, его длину.

13. Выполните следующие действия с векторами в координатной форме:

; ; ; ; ; .

14. Найдите угол между прямыми АВ и ВС, используя скалярное произведение векторов.

15. Найдите площадь параллелограмма и треугольника, построенных на векторах .

16. Найдите объем призмы и пирамиды, построенных на векторах .

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: