ПРАВИЛА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ

Гавришина Л.Н.,

ст. преподаватель

Березина А.С.

ЦЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

 

С появлением товарно–денежных отношений возникает необходимость количественной оценки операций и анализа их эффективности. Уже в XIX веке в отдельную отрасль знаний выделилась «Коммерческая арифметика», включающая в себя процентные вычисления по вкладам и ссудам и по операциям с ценными бумагами. Тогда же появляются первые работы, исследующие экономические процессы с помощью математических методов. В XX веке такие исследования приобретают еще большее значение, во-первых, в связи с развитием собственно математической теории, и, во-вторых, с появлением электронных вычислительных машин, позволивших применить эти теории для решения экономических задач, возникающих на практике. В настоящее время дальнейшее развитие электронных технологий сделало применение математических методов исследования экономических операций еще более актуальным.

Возросшее в условиях усиливающейся конкуренции информационно-технологическое обеспечение коммерческой деятельности предприятий и фирм выдвигает на первый план количественный и качественный анализ, оценку эффективности и задачу оптимизации этой деятельности, что в свою очередь требует все возрастающего уровня математической подготовки соответствующих специалистов. Этим обусловлена необходимость введения курса математики для изучения студентами данных экономических специальностей.

Курс математики занимает особое место в структуре учебных планов для данных экономических специальностей по следующим причинам. Во-первых, он используется для изучения ряда других дисциплин, входящих в учебные планы (статистика), во-вторых, позволяет глубже понять и усвоить другие курсы, формально независимые от него, в-третьих, имеет самостоятельное значение для развития общего интеллектуального уровня студентов.

Цель курса состоит в изучении основных структур математического анализа и овладении математическими методами в экономике. Параллельно решается задача научить студентов применять полученные знания на практике.

 

 

ПРАВИЛА И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

 

В процессе изучения дисциплины «Математика» студент должен выполнить две контрольные работы. Не рекомендуется приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по учебному материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет (институт), номер группы, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.

Срок проверки контрольных работ - 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к экзамену.

После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. Для этого рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

На экзамен студент допускается при наличии проверенных контрольных работ.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ

 

1 семестр

1. Линейная алгебра.

2. Элементы теории вероятностей.

3. Теория массового обслуживания.

2 семестр

4. Линейное программирование.

5. Транспортная задача.

6. Матричные игры.

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

1 семестр

Раздел 1. Линейная алгебра

Основные понятия линейной алгебры. Определитель n-го порядка. Свойства определителей. Способы вычисления. Миноры, алгебраические дополнения. Матрицы. Операции над матрицами. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Методы решения системы n - линейных уравнений с n – неизвестными: Гаусса, Крамера, матричный.

Раздел 2. Элементы теории вероятностей

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события. Относительная частота. Определение вероятности. Алгебра событий. Основные формулы комбинаторики. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий. Формула полной вероятности и формула Бейеса. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Раздел 3. Теория массового обслуживания

Случайный процесс. Простейший поток случайных событий в системе массового обслуживания (СМО). Понятие состояния СМО. Размеченный граф состояний СМО. Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний. Предельные вероятности состояний. Основные виды СМО: с отказами. СМО с ограниченной и неограниченной длиной очереди. Характеристики эффективности СМО.

2 семестр

Раздел 4. Линейное программирование

Задачи линейного программирования. Примеры экономических задач, приводящих к модели линейного программирования. Общая задача линейного программирования (ЗЛП). Основные понятия. Экономико-математическая модель ЗЛП. Графическое решение ЗЛП.

Раздел 5. Транспортная задача

Постановка транспортной задачи (ТЗ), ее математическая модель. Нахождение опорного плана методом «северо-западного угла» и методом распределения поставок с учетом наименьших затрат. Метод потенциалов. Критерий оптимальности.

Раздел 6. Матричные игры

Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Основные понятия матричных игр. МИ двух игроков с нулевой суммой. Матричная игра двух лиц с седловой точкой. Нижняя и верхняя цена игры. Чистые и смешанные стратегии. Игры с природой (принятие решения в условиях риска и неопределенности). Математическое ожидание выигрыша. Критерии Лапласа, Вальда, Севиджа, Гурвица

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная:

1. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах. Высшая школа, 1993.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа. 1979.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа. 1979.

4. Исследование операций в экономике. Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера. М. «Банки и биржи». Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.

5. Щипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1990 г.

Дополнительная:

6. Гавришина Л.Н. Линейная алгебра. Часть 3. Кемеровский институт МГУК, 1998 г.

7. Гавришина Л.Н. Теория вероятностей. Случайные события. Часть 4. Кемеровский институт МГУК, 1999 г.

8. Гавришина Л.Н. Математика. Теория вероятностей. Пособие по решению задач. Кемеровский институт МГУК, 2001 г.

9. Курчин М.К. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций №1. Кемеровский институт МГУК, 1997 г.

10. Курчин М.К. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций №2. Кемеровский институт МГУК, 1997 г.

11. Курчин М.К. Начала линейной алгебры и аналитической геометрии. Кемеровский институт МГУК, 2001 г.

12. Шуревич Г.И. Математика. Экономико-математические методы. Ч 1. Линейное программирование, 2001 г.

13. Шуревич Г.И. Математика. Экономико-математические методы. Ч 2. Транспортная задача, 2001 г.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЭКЗАМЕНА

1 семестр

1. Понятие определителя.

2. Свойства определителей.

3. Вычисление определителя 2^го порядка.

4. Понятие алгебраического дополнения.

5. Понятие минора.

6. Теорема Лапласа.

7. Система линейных уравнений. Определения.

8. Понятие совместной системы.

9. Что такое несовместная система.

10. Понятие определенной и неопределенной системы.

11. Когда система линейного уравнения имеет единственное решение?

12. Понятие матрицы.

13. Виды матриц.

14. Операции над матрицами.

15. Понятие обратной матрицы.

16. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

17. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

18. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

19. Понятие события в теории вероятностей. Виды событий.

20. Понятие случайного события.

21. Классификация событий.

22. Алгебраические действия над событиями.

23. Определение вероятности события.

24. Основные формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

25. Применение формул комбинаторики для вычисления вероятности.

26. Основные понятия теории систем массового обслуживания (СМО).

27. Классификация СМО.

28. Понятие Марковского процесса.

29. Понятие графа состояний.

30. Классификация потоков событий.

31. Уравнения Колмогорова.

32. Уравнения для предельных вероятностей состояний.

33. СМО с отказами. Показатели эффективности.

34. СМО с неограниченной длиной очереди. Показатели эффективности.

35. СМО с ограничением на длину очереди. Показатели эффективности.

 

2-семестр

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

ВАРИАНТ 0

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

 

2. На витрине 32 булочки. Известно, что среди них четверть булочек с изюмом, остальные с корицей. Случайным образом отбирают три булочки. Вычислить вероятность того, что: а) все выбранные булочки с изюмом; б) только одна булочка с изюмом.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

0, 1

0, 4

0, 2

0, 1

0, 3

 

 

ВАРИАНТ 1

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислить вероятность того, что: а) все монеты имеют нестандартный процент содержания золота; б) только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 3 0, 2

0, 2 0, 1

0, 1 0, 3

 

 

ВАРИАНТ 2

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что: а) все девушки оценят этот подарок; б) только одна девушка оценит этот подарок.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 1

0, 3

0, 3

0, 5

0, 2

 

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только пиво сорта «Жигулевское»; б) ровно одна бутылка этого сорта.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 3

0, 1 0, 2

0, 4

 

0, 3

 

ВАРИАНТ 4

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В нижней палате парламента 40 депутатов, среди которых первая партия имеет 20 представителей, вторая – 12 представителей, третья 5 представителей, а остальные считают себя независимыми. Случайным образом выбирают трех депутатов. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только представители первой партии; б) только один депутат из первой партии.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 3

0, 2

0, 1

0, 1

0, 4

 

ВАРИАНТ 5

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручки. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные – синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки. Вычислить вероятность того, что: а) все ручки имеют фиолетовый стержень; б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 2

0, 1 0, 4

 

0, 3

 

0, 1

ВАРИАНТ 6

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все книги имеют дефект обложки; б) только одна книга имеет этот дефект.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 1

 

 

0, 4 0, 5 0, 2

 

0, 3

ВАРИАНТ 7

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислить вероятность того, что из членов группы в первом отеле: а) все туристы хорошо говорят по-английски; б) только один турист хорошо говорит по-английски.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 2

0, 3

0, 4

0, 1

0, 2

ВАРИАНТ 8

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на севере», а остальные – сорта «Красная шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все конфеты сорта «Мишка на севере»; б) только одна конфета этого сорта.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

 

0, 3

 

 

0, 1 0, 1 0, 1 0, 2

 

 

0, 2

ВАРИАНТ 9

 

1. Решить систему линейных уравнений:

а) методом Крамера,

б) методом Гаусса,

в) матричным методом.

 

2. Имеются 12 единиц товара в одинаковых упаковках. Известно, что в четырех из них товар первого сорта. Случайным образом отбирают 3 единицы товара. Вычислить вероятность того, что среди них:

а) только упаковки с товаром первого сорта;

б) ровно одна упаковка с товаром первого сорта.

 

3. Дан граф состояний марковской системы. Найти предельные вероятности состояний системы.

0, 4 0, 2

 

0, 2 0, 1

 

 

0, 3

Понятие обратной матрицы

При решении системы линейных уравнений используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица обозначается символом .

Матрица называется обратной для матрицы А, если произведение , где Е - единичная матрица, то есть матрица, у которой элементы по диагонали равны 1, а остальные нули.

Обратная матрица находится по формуле

,

здесь D - определитель матрицы А, - матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, где строки и столбцы меняются местами:

.

Заметим, если определитель матрицы D равен нулю D=0, то обратная матрица не существует.

 

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами.

2. Определитель изменит только знак, если в нем поменять местами какие-нибудь две строки или два столбца.

3. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за символ определителя.

4. Если все элементы какой-нибудь строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны.

6. Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца.

7. Если все элементы некоторой строки или столбца состоят из двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, в одном из которых элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, во втором - вторые. Например:

.

8. Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится. Например:

.

Следующее свойство позволяет понижать порядок определителя. Оно формулируется с помощью понятия алгебраического дополнения.

Алгебраическим дополнением элемента называется произведение на определитель, который получается вычеркиванием в данном определителе строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения (теорема Лапласа). Например:

С помощью этого свойства вычисление определителя -го порядка приводится к вычислению определителей -го порядка. Эта процедура называется разложением определителя по элементам строки или столбца.

Пример 1. Упростить определитель и вычислить его:

.

Прежде, чем вычислять определитель, можно упростить его, пользуясь свойствами определителей. В данном примере можно выполнить следующие действия: умножим элементы 1-го столбца на 2 и вычтем из элементов 2-го столбца, затем умножим элементы 1-го столбца на 3 и вычтем из элементов 3-го столбца. Тогда получим

.

Теперь можно легко вычислить этот определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

Пример 2. Разложить определитель по элементам 2-ой строки.

.

Учитывая определение алгебраического дополнения, получим

Теперь вычисляем определитель:

Система линейных уравнений

Линейные уравнения - это уравнения, в которых переменные имеют только первую степень и нет произведения переменных.

Система линейных уравнений с неизвестными записывается в виде:

(1)

В частном случае число уравнений и число переменных совпадают.

Решением системы является совокупность чисел, которые при подстановке их в уравнения (1) обращают их в тождество.

Если система (1) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; если нет ни одного решения, то система несовместна.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной. Если более одного решения, то неопределенной.

Если определитель системы не равен нулю , то система имеет единственное решение. Для решения системы - линейных уравнений с - неизвестными существует несколько методов.

Метод Крамера

При использовании этого метода решение системы находится по формулам

..., (2)

здесь -определитель системы, - определитель, в котором элементы -го столбца определителя системы заменяются соответствующими свободными членами уравнений системы.

При решении системы следует иметь в виду следующее:

1. Если , но хотя бы один из определителей , , ..., не равен нулю, то система несовместна.

2. Если и все определители , , ..., равны нулю, то система или несовместна или имеет бесконечно много решений, если существует хотя бы одно решение.

Пример 3. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы:

.

Найдем вспомогательные определители

.

Аналогично находим

, .

Теперь по формулам Крамера (2) найдем переменные

, , .

Матричный метод решения

Рассмотрим этот метод на примере системы трех линейных уравнений:

эту систему можно представить в матричной форме:

,

где , , .

Как видно, А это матрица, составленная из коэффициентов при перемененных, В - матрица - столбец из свободных членов уравнений, Х - матрица - столбец из переменных.

Решая матричное уравнение, находим

,

где - обратная матрица.

Итак, чтобы найти решение системы, нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу В.

Пример 4. Решить систему матричным способом

Найдем определитель системы: .

Составим матричное уравнение:

Найдем обратную матрицу. Для этого сначала найдем алгебраические дополнения:

Построим обратную матрицу:

.

Теперь найдем произведение матриц:

.

Итак, имеем .

Отсюда, , , .

 

Метод Гаусса

Этот метод решения системы линейных уравнений заключается в последовательном исключении переменных из уравнений для того, чтобы в одном из уравнений осталось одно неизвестное. Покажем, как применяется этот метод на примере.

Пример 5. Решить систему уравнений

Для удобства преобразований, составим расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов:

.

Умножим 1-ую строку на (-4) и сложим со второй строкой; затем умножим 1-ую строку на (-6) и сложим с третьей, получим

.

Теперь умножим 2-ую строку на и сложим с третьей; получим

.

Запишем полученные преобразованные уравнения:

Теперь из 3-его уравнения находим , из 2-го уравнения находим , из 1-го уравнения имеем . Итак, решение системы , , .

Как видно из данного примера, преобразования уравнений нужно делать так, чтобы элементы матрицы, расположенные ниже диагонали оказались равны нулю.

Классификация событий

События называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в результате того же опыта.

События называются несовместимыми, если возможно появление только одного из них.

Два несовместимых события называются противоположными, если в условиях опыта одно из них обязательно происходит. Обозначается, как и т.п.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.

 

Формулы комбинаторики

При вычислении вероятности по формуле (3) для нахождения и применяется та или иная формула комбинаторики, в зависимости от того, каким образом осуществляется выборка элементов из общего их числа.

Если даны различных элементов, то их можно объединить в группы с помощью перестановок , размещений и сочетаний .

С помощью перестановок находится число комбинаций из одних и тех же различных элементов, которые отличаются только порядком их расположения.

(6)

–(факториал), , .

Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз.

Решение. .

Если опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора, то число комбинаций находится с помощью размещений.

(7)

Здесь всего – сомножителей.

Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, …9.

Решение. Так как здесь выборка цифр осуществляется без возвращения и важен порядок цифр в числе, то искомое количество чисел находится по формуле (7).

.

В том случае, когда опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения и без упорядочивания, то число комбинаций находится с помощью сочетаний.

. (8)

Пример 10. Из партии товара, в которой 31 изделие стандартных, а 6 изделий бракованных, берут наудачу 3 изделия. Чему равна вероятность, что

а) все три изделия стандартные ( А ),

б) хотя бы одно изделие бракованное ( В ),

в) по крайней мере, одно изделие стандартное ( С ).

Решение. а) Так как всего 37 изделий и выборка без упорядочивания, то общее число комбинаций находится как

.

Число комбинаций, благоприятствующих событию А равно

.

123456Следующая ⇒

Поделиться: