Понятие случайного события. Алгебра событий

Понятие случайного события является основным в теории вероятностей. Под событием понимается любой результат опыта или наблюдения. События делятся на три вида:

- достоверные, те, что обязательно произойдут при определенных условиях;

- невозможные, те, что заведомо не произойдут при определенных условиях;

- случайные, те, что могут произойти или могут не произойти при определенных условиях.

Важно помнить, что в теории вероятностей рассматриваются не единичные случайные события, а случайные события, которые многократно наблюдаются при выполнении одних и тех же условий.

Для обозначения событий используются первые заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, D, …..

Над событиями производятся алгебраические действия.

Суммой событий является новое событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из слагаемых событий.

Например, означает, что произошло или событие А, или событие В, или оба эти события.

Произведением событий является новое событие, состоящее в том, что происходят все перемножаемые события.

Например, означает, что произошли события А и В.

 

Классификация событий

События называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в результате того же опыта.

События называются несовместимыми, если возможно появление только одного из них.

Два несовместимых события называются противоположными, если в условиях опыта одно из них обязательно происходит. Обозначается, как и т.п.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.

 

Понятие вероятности и частоты

Вероятность служит мерой объективной возможности появления события.

Вероятность события А обозначается символом Р(А).

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события – , к общему числу всех исходов – , равновозможных, несовместимых и образующих полную группу.

(3)

Это определение вероятности называют классическим.

Следует иметь ввиду, что вероятность случайного события изменяется от 0 до 1, . Вероятность достоверного события равна 1; вероятность невозможного события равна 0.

Вероятность противоположного события находится по формуле

(4)

Вероятность события A не следует путать с частотой (частостью) события A.

Частота события А находится как отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных опытов.

(5)

Заметим, что вероятность можно вычислить до опыта, а частоту только после опыта.

Пример 6. Монета подброшена 7 раз. При этом «орел» выпал 2 раза. Тогда вероятность выпадения «орла» равна , так как всего два исхода опыта (две стороны монеты), а число благоприятствующих исходов равна 1.

Частота выпадения «орла» равна .

Пример 7. В лотерее играет 1000 билетов. На пять билетов падает выигрыш 200 рублей, на десять билетов – 50 рублей, на 100 билетов – 1 рубль. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету а) не менее 50 рублей, б) двести рублей?

Решение. Обозначим события

А – выиграть не менее 50 рублей, В – выиграть 200 рублей.

Тогда ,

 

Формулы комбинаторики

При вычислении вероятности по формуле (3) для нахождения и применяется та или иная формула комбинаторики, в зависимости от того, каким образом осуществляется выборка элементов из общего их числа.

Если даны различных элементов, то их можно объединить в группы с помощью перестановок , размещений и сочетаний .

С помощью перестановок находится число комбинаций из одних и тех же различных элементов, которые отличаются только порядком их расположения.

(6)

–(факториал), , .

Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз.

Решение. .

Если опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора, то число комбинаций находится с помощью размещений.

(7)

Здесь всего – сомножителей.

Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, …9.

Решение. Так как здесь выборка цифр осуществляется без возвращения и важен порядок цифр в числе, то искомое количество чисел находится по формуле (7).

.

В том случае, когда опыт состоит в выборе элементов из элементов без возвращения и без упорядочивания, то число комбинаций находится с помощью сочетаний.

. (8)

Пример 10. Из партии товара, в которой 31 изделие стандартных, а 6 изделий бракованных, берут наудачу 3 изделия. Чему равна вероятность, что

а) все три изделия стандартные ( А ),

б) хотя бы одно изделие бракованное ( В ),

в) по крайней мере, одно изделие стандартное ( С ).

Решение. а) Так как всего 37 изделий и выборка без упорядочивания, то общее число комбинаций находится как

.

Число комбинаций, благоприятствующих событию А равно

.

Тогда вероятность события А равна

.

б) Событие В противоположно событию А, поэтому

.

в) Прежде, чем найти вероятность события С, найдем вероятность противоположного события - все три изделия бракованные

.

Теперь легко найти вероятность события С, как

.

Пример 11. Партия товара содержит 10 изделий. Из них 5 изделий стоят по 4 рубля, 3 изделия – по 1 рублю, 2 изделия – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия стоят 5 рублей.

Решение. Обозначим искомое событие – А.

.

Так как два изделия из десяти берутся без возвращения и без упорядочивания, то общее число комбинаций найдем как

.

Событие А состоится, если одно взятое изделие стоит 4 рубля, а другое – 1 рубль. Тогда число комбинаций, благоприятствующих событию А, находится по формуле (8)

.

Окончательно получим

.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: