![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Понятие случайного события. Алгебра событий
Понятие случайного события является основным в теории вероятностей. Под событием понимается любой результат опыта или наблюдения. События делятся на три вида: - достоверные, те, что обязательно произойдут при определенных условиях; - невозможные, те, что заведомо не произойдут при определенных условиях; - случайные, те, что могут произойти или могут не произойти при определенных условиях. Важно помнить, что в теории вероятностей рассматриваются не единичные случайные события, а случайные события, которые многократно наблюдаются при выполнении одних и тех же условий. Для обозначения событий используются первые заглавные буквы латинского алфавита: А, В, С, D, ….. Над событиями производятся алгебраические действия. Суммой событий является новое событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из слагаемых событий. Например, Произведением событий является новое событие, состоящее в том, что происходят все перемножаемые события. Например,
Классификация событий События называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в результате того же опыта. События называются несовместимыми, если возможно появление только одного из них. Два несовместимых события называются противоположными, если в условиях опыта одно из них обязательно происходит. Обозначается, как Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.
Понятие вероятности и частоты Вероятность служит мерой объективной возможности появления события. Вероятность события А обозначается символом Р(А). Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события –
Это определение вероятности называют классическим. Следует иметь ввиду, что вероятность случайного события изменяется от 0 до 1, Вероятность противоположного события находится по формуле
Вероятность события A не следует путать с частотой (частостью) события A. Частота события А находится как отношение числа опытов, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных опытов.
Заметим, что вероятность можно вычислить до опыта, а частоту только после опыта. Пример 6. Монета подброшена 7 раз. При этом «орел» выпал 2 раза. Тогда вероятность выпадения «орла» равна Частота выпадения «орла» равна Пример 7. В лотерее играет 1000 билетов. На пять билетов падает выигрыш 200 рублей, на десять билетов – 50 рублей, на 100 билетов – 1 рубль. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету а) не менее 50 рублей, б) двести рублей? Решение. Обозначим события А – выиграть не менее 50 рублей, В – выиграть 200 рублей. Тогда
Формулы комбинаторики При вычислении вероятности по формуле (3) для нахождения Если даны С помощью перестановок находится число комбинаций из одних и тех же
Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз. Решение. Если опыт состоит в выборе
Здесь всего Пример 9. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, …9. Решение. Так как здесь выборка цифр осуществляется без возвращения и важен порядок цифр в числе, то искомое количество чисел находится по формуле (7).
В том случае, когда опыт состоит в выборе
Пример 10. Из партии товара, в которой 31 изделие стандартных, а 6 изделий бракованных, берут наудачу 3 изделия. Чему равна вероятность, что а) все три изделия стандартные ( А ), б) хотя бы одно изделие бракованное ( В ), в) по крайней мере, одно изделие стандартное ( С ). Решение. а) Так как всего 37 изделий и выборка без упорядочивания, то общее число комбинаций находится как
Число комбинаций, благоприятствующих событию А равно
Тогда вероятность события А равна
б) Событие В противоположно событию А, поэтому
в) Прежде, чем найти вероятность события С, найдем вероятность противоположного события
Теперь легко найти вероятность события С, как
Пример 11. Партия товара содержит 10 изделий. Из них 5 изделий стоят по 4 рубля, 3 изделия – по 1 рублю, 2 изделия – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия стоят 5 рублей. Решение. Обозначим искомое событие – А.
Так как два изделия из десяти берутся без возвращения и без упорядочивания, то общее число комбинаций найдем как
Событие А состоится, если одно взятое изделие стоит 4 рубля, а другое – 1 рубль. Тогда число комбинаций, благоприятствующих событию А, находится по формуле (8)
Окончательно получим
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 1770; Нарушение авторского права страницы