Вывод формулы простых процентов

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Вопросы для аттестации

1) Количественные методы финансового анализа. Классификация методов.

2) Основные понятия финансовых методов анализа. Основная особенность.

3) Простые проценты. Наращение по простой процентной ставке. Реинвестирование средств.

4) Простые проценты. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите.

5) Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам. Виды дисконтирования.

6) Сложные проценты. Постоянные и переменные процентные ставки.

7) Наращение и дисконтирование по сложным процентам. Номинальная и эффективная процентные ставки.

8) Определение срока платежа и процентных ставок.

9) Понятие потока платежей и финансовой ренты. Классификационные признаки и классификация рент.

10) Анализ потока платежей. Наращенная сумма и текущая стоимость потока платежей.

11) Виды процентных ставок. Эквивалентность простых и сложных процентных ставок, начисляемых один раз в год.

12) Виды процентных ставок. Эквивалентность простых и сложных учетных ставок, начисляемых один раз в год.

13) Виды процентных ставок. Эквивалентность сложной процентной ставки, начисляемой один раз в год и годовой ставки j_m, по которой m раз в год начисляется j_m /m сложных процентов.

14) Понятие инвестиционного проекта, его представление и характеристика.

15) Методы оценки окупаемости инвестиционного проекта. Средняя норма прибыли на инвестиции.

16) Методы оценки окупаемости инвестиционного проекта. Период окупаемости инвестиционного проекта.

17) Методы оценки окупаемости инвестиционного проекта. Метод чистой современной ценности инвестиционного проекта.

18) Методы оценки окупаемости инвестиционного проекта. Метод внутренней нормы доходности.

19) Сравнительный анализ методов оценки окупаемости инвестиционного проекта.

20) Применение Excel для расчета операций по кредитам, займам и вкладам. Финансовые функции и их синтаксис.

21) Применение Excel для анализа инвестиционных проектов.

22) Виды ценных бумаг. Рыночная стоимость ценных бумаг.

23) Понятие акции. Виды цен, доходность акций.

24) Виды долговых обязательств. Облигации. Виды облигаций. Виды цен и доходность облигаций.

25) Виды долговых обязательств. Векселя. Классы векселей. Доходность векселей.

26) Финансовые функции Excel для расчетов по ценным бумагам.

Задание по финансовой математике для студентов заочной формы обучения для аттестации

Простые проценты

Пример 1.1. Определить сумму накопленного долга и проценты, если ссуда равна 7000 руб., срок долга – 4 года при ставке простого процента равной 10% годовых.

Пример 1.2. Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана с 20.01 до 05.10 включительно под 8 % годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа.

Пример 1.3. Начисленная за 10 дней ссуды сумма процентов составила 15 тыс. руб. (временная база360 дней). Необходимо определить аналогичную сумму при условии начисления точных процентов (временная база 365 дней).

Пример 1.4. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 6 процентов, а в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0, 5 процентов. Необходимо определить множитель наращения за 2, 5 года.

Пример 1.5. На сумму 10 тыс. руб. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 10 процентов годовых. Какая будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение первого квартала года? (Точные проценты, год невисокосный).

Пример 1.6. Кредит для покупки товара на сумму 1000 руб. открыт на 3 года, процентная ставка 4 %. Определить ежемесячные погасительные платежи.

Пример 1.7. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит 31 тыс. руб. Кредит предоставлен под 6 процентов годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта.

Пример 1.8. Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно, год невисокосный. Простая учетная ставка 8 процентов. Найти наращенную сумму долга к концу срока.

Сложные проценты

Пример 2.1. В какую сумму обратится долг, равный N тыс. руб. через 5 лет при сложной процентной ставке N+1, 5 процента?

Пример 2.2. Процентная ставка по ссуде определена на уровне N, 5% плюс маржа 0, 5% в первые два года, 0, 75% в следующие три года. Найти множитель наращения в этом случае.

Пример 2.3. Заполните таблицу. Сравнение множителей наращения по простым процентам и по сложным процентам при процентной ставке (N+5)% для временной базы дней.

	Срок ссуды
Множители наращения	30 дн.	180 дн.	1год	5 лет	10 лет	50 лет	100 лет

Пример 2.4. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя сложные и простые проценты, ставка 5%.

Пример 2.5. Кредит в размере 30 тыс. руб. выдан на срок 3 года и 160 дней. При условии, что обусловленная в контракте ставка равна 6, 5% и предусмотрен смешанный метод начисления процентов, найти наращенную сумму.

Пример 2.6. Первоначальная сумма ссуды равна 10 тыс. руб, срок ссуды 5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка равна 5%. Требуется определить наращенную сумму.

Пример 2.7. Чему равна наращенная сумма, равная 10 тыс. руб., через 25 месяцев, если проценты начисляются ежеквартально. Номинальная ставка равна 6%.

Пример 2.8. Пусть банк начисляет проценты на вклад по номинальной ставке 12 % годовых. Найти эффективную годовую ставку при ежедневной капитализации процентов ( ).

Пример 2.9. За какой срок (в годах) сумма, равная 75 тыс. руб., достигнет 110 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются проценты по ставке 7, 5% раз в году и поквартально.

Постоянные потоки платежей.

Пример 3.1. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце года по 10 тыс. руб. На собранные средства начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти размер фонда к концу срока.

Пример 3.2. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце каждого года. Годовой взнос составляет 40 тыс. руб. На собранные деньги ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти размер фонда к концу срока.

Пример 3.3. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце каждого квартала. Годовой взнос составляет 10 тыс. руб. На собранные средства начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти множитель наращения.

Пример 3.4. Для создания резервного фонда ежегодно выделяется по 4 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 6%. Необходимо определить общую сумму фонда через 5 лет для следующих вариантов поступления средств и начисления процентов: а)поступление в конце года, начисление процентов по полугодиям; б)поступление в конце квартала, начисление процентов по полугодиям.

Пример 3.5. Условия контракта предусматривают ежегодные выплаты в сумме 40 тыс. руб. в течение 5 лет. Необходимо определить накопленную к концу срока сумму при непрерывном начислении процентов по ставке i, равной 6%, при условии, что выплаты производятся по полугодиям.

Пример 3.6. Пусть рента выплачивается в конце года, руб., ставка 6% годовых. Найти современную величину ренты при условии, что рента выплачивается 10 лет.

Пример 3.7. Член годовой ренты равен 1000 руб., начисление процентов ежеквартальное, номинальная ставка - 10%, срок ренты - 4 года. Найти современную величину ренты.

Пример 3.8. Необходимо определить размер равных взносов в конце года для следующих двух ситуаций, в каждой из которых предусматривается начисление на взносы годовых сложных процентов по ставке 8%: а) создать в конце пятилетки фонд, равный 1 млн. руб.; б) погасить в течении пяти лет текущую задолженность, которая равна 1 млн. руб.

Методические рекомендации по подготовке к аттестации

Простые проценты

Реинвестирование

Ответ: 10, 249 тыс. руб. (Точные проценты, год невисокосный).

1.6.Потребительский кредит (равномерная выплата денег)

В случае потребительского кредита сумма, полученная по формуле 1.1, делится на число месяцев ссуды и в конце каждого месяца должник должен выплатить сумму

Ответ: 31, 11 руб.

Сложные проценты

2.1.Вывд формулы сложных процентов:

где наращенная сумма, проценты, - сложная процентная ставка, - множитель наращения.

Капитализация процентов заключается в присоединении процентов к сумме, которая служила базой для их определения. Период начисления - разность между моментами капитализации процентов (период, в конце которого осуществляется начисление процентов).

Пример 2.1. В какую сумму обратится долг, равный 10 тыс. руб. через 5 лет при сложной процентной ставке 5, 5 процентов?

Ответ: 13, 0696 тыс. руб.

2.2.Линейная интерполяция для определения множителей наращения.

Пусть - множитель наращения. Тогда:

Пример 2.2. Определить множитель наращения для i= 6, 2%, лет. Пусть ближайшие табличные значения множителя имеются только для % и %: они равны 1, 7908477 и 1, 8771375.

Ответ: 1, 82536360.

2.3.Плавающая переменная ставка:

Пример 2.3. Процентная ставка по ссуде определена на уровне 8, 5% плюс маржа 0, 5% в первые два года, 0, 75% в следующие три года. Найти множитель наращения в этом случае.

Ответ: 1, 54923512.

Сравнение множителей наращения по простым процентам и по сложным процентам при процентной ставке 8% для временной базы дней.

	Срок ссуды
Множители наращения	30 дн.	180 дн.	1год	5 лет	10 лет	50 лет	100 лет
	1, 00657	1, 0394	1, 08	1, 4	1, 8	5, 0	9, 0
	1, 00635	1, 0392	1, 08	1, 47	2, 16	46, 9

2.4. Определение числа лет при многократном увеличении ссуды:

Для сложных процентов число лет определяется следующей формулой:

Для простых процентов число лет определяется другой формулой:

Ответ: 33 и 80.

2.5. Смешанная ставка процентов (для целых периодов применяется сложная процентная ставка, а для оставшегося дробного применяется простая процентная ставка).

Ответ: 37, 27 тыс. руб. (

2.6.Номинальная ставка процентов.

Проценты начисляются раз в год:

где - номинальная годовая ставка процентов.

Ответ: 12, 82037.

2.7.Смешанная номинальная ставка (см. 2.5).

Ответ: 11, 32097.

2.8.Эффективная ставка процентов - это сложная годовая ставка процентов, которая дает тот же результат, что и номинальная ставка процентов. Из формул 2.1 и 2.6 получаем

Ответ: 12, 74746.

В следующей таблице приведено сравнение номинальных и эффективных ставок процентов при разных сроках капитализации (m).



3, 02	3, 03	3, 04
5, 06	5, 09	5, 12
8, 16	8, 24	8, 30
10, 25	10, 38	10, 47

2.9.Математическое дисконтирование:

где - современная (или приведенная) величина,

- дисконт (или сумма дисконта),

- дисконтный множитель.

Пример 2.9. Необходимо определить дисконтный множитель и современную величину для 50 тыс. руб., которые будут выплачены через 5 лет, если сложная процентная ставка равна 5%.

Ответ: 0, 783526; 39, 17631.

2.10.Дисконтирование по сложной учетной ставке:

, где d- сложная учетная ставка.

Пример 2.10. Какая сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. руб., если срок его погашения равен 2, 5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%?

Ответ: 0, 941.

2.11.Дисконтирование mраз в году по сложной учетной ставке:

где j- номинальная учетная ставка.

Пример 2.11. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. руб., если срок его погашения равен 2, 5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%? При этом дисконтирование производится 4 раза в году.

Ответ: 0, 914636.

2.12.Номинальная и эффективная сложные учетные ставки (см. 2.10. 2.11).

Пример2.12. Обязательство, равное 20 тыс. руб., должно быт погашено через 5 лет. Учетная ставка равна 5%. Начисление дисконта поквартальное. Найти приведенную величину и эффективную учетную ставку.

Ответ: 15, 5515 тыс. руб.; 4, 91%.

2.13.Наращение по сложной учетной ставке:

Пример 2.13. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого составляет 10 тыс. руб., а срок погашения - 1, 5 года. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере 10%.

Ответ: 11, 712 тыс. руб.

Таблица формул. Связь между параметрами.

Пример 2.14. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого 10 тыс. руб., срок погашения - 1, 5 года. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере 10%. При этом наращение осуществляется 4 раза в году.

Ответ: 11, 640518.

2.15. Формула непрерывных процентов:

, где δ - сила роста.

Пример 2.15. Найти значение , если δ =0, 072. При вычислении пользоваться тремя, четырьмя и пятью членами разложения в ряд Маклорена.

Ответ: 1, 0746553.

2.16.Непрерывные проценты с переменными ставками (переменная сила роста):

Пример 2.16. Предусматривается непрерывное начисление процентов на некоторую сумму ссуды, причем сила роста изменяется дискретно: первые два года проценты начисляются по ставке 8%, следующие три года – по 9%, далее в течении 5 лет - по 10%. Найти множитель наращения.

Ответ: 2, 5345.

2.17. Линейное изменение силы роста.

Если т о

Пример 2.17. Пусть начальное значение силы роста равно8%, линейный ежегодный абсолютный прирост 2%. Найти множитель наращения, если 5 лет.

Ответ: 1, 9155.

2.18.Вычисление продолжительности ссуды (для сложных процентов):

Пример 2.18. За какой срок (в годах) сумма, равная 75 тыс. руб., достигнет 110 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются проценты по ставке 7, 5% раз в году и поквартально.

Ответ: 5, 3 лет; 5, 15 лет.

2.19.Вычисление процентных ставок и учетных ставок (на базе простых, сложных и непрерывных ставок).

Так из 2.14 следует:

Пример 2.19. В условиях выпуска сертификатов Сберегательного банка СССР 1991г. (номинал 1000 руб.) предусмотрены выкупные суммы, зависящие от срока хранения. В частности, при пятилетнем сроке выплачивается 1415 руб., при десятилетнем 2595 руб. Каковы значения сложных учетных ставок, дающих такое наращение?

Ответ: 6, 707; 9, 095.

Наращение и инфляция.

где называется индексом цен, h-годовым темпом инфляции.

Постоянные потоки платежей

4.1. Определение. Финансовая рента (или просто рента, или аннуитет) - положительные потоки платежей, если интервалы между уплатами величина постоянная.

Если в конце каждого года уплатить , то через n лет будем иметь

где называется наращенной суммой, а - множитель наращения, который можно найти из таблицы.

Пример 4.1. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце года по 10 тыс. руб. На собранные средства начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти размер фонда к концу срока.

Ответ: 4425, 93 тыс. руб.

4.2. Годовая рента (уплата один раз в году), начисление процентов раз в году. Наращенная сумма определяется формулой:

Пример 4.2. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце каждого года. Годовой взнос составляет 40 тыс. руб. На собранные деньги ежеквартально начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти размер фонда к концу срока.

Ответ: 19642 тыс. руб..

4.3. -срочная рента с однократным начислением процентов: взносы вносятся раз в году, а начисление процентов раз в году. Наращенная сумма определяется формулой:

Пример 4.3. Создается фонд, взносы производятся на протяжении 40 лет раз в конце каждого квартала. Годовой взнос составляет 10 тыс. руб. На собранные средства начисляются сложные проценты по ставке 10% годовых. Необходимо найти множитель наращения.

Ответ: 1835, 441.

4.4. -срочная рента с неоднократным начислением процентов: взносы вносятся раз в году, а начисление процентов раз в году. Наращенная сумма определяется формулой:

Пример 4.4. Для создания резервного фонда ежегодно выделяется по 4 тыс. руб. На аккумулируемые средства начисляются сложные проценты по ставке 6%. Необходимо определить общую сумму фонда через 5 лет для следующих вариантов поступления средств и начисления процентов: а)поступление в конце года, начисление процентов по полугодиям; б)поступление в конце квартала, начисление процентов по полугодиям.

Ответ: 22, 5889 тыс. руб.; 23, 09845 тыс. руб.

4.5.Современная (приведенная) величина годовой ренты:

где - множитель (коэффициент) приведения ренты.

Пример 4.5. Пусть рента выплачивается в конце года, руб., ставка 6% годовых. Найти современную величину ренты при условии, что рента выплачивается 10 лет.

Ответ: 3680, 04353 руб.

4.6.Современная величина годовой ренты с начислением процентов m раз в году:

Пример 4.6. Член годовой ренты равен 1000 руб., начисление процентов ежеквартальное, номинальная ставка - 10%, срок ренты - 4 года. Найти современную величину ренты.

Ответ: 3143, 878 руб.

4.7.Современная величина p срочной ренты с начислением процентов m раз в году:

Пример 4.7. Известна авария на химическом заводе в Бхопале (Индия). Владелец предприятия, корпорация Юнион Карбайд, предложила в качестве компенсации 200 млн. долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Правительство Индии отвергло это предложение. Такая компенсация адекватна 57, 6 млн. долл. Пусть платежи должны производиться равномерно на протяжении 35 лет в конце каждого месяца. Годовая сумма платежей равна 5, 714 млн. долл. Сложная процентная ставка 10%. Определить современную величину ренты

Ответ: 57, 589.

4.8.Вычисление взносов ренты (см.4.1, 4.6).

Пример 4.8. Необходимо определить размер равных взносов в конце года для следующих двух ситуаций, в каждой из которых предусматривается начисление на взносы годовых сложных процентов по ставке 8%:

а) создать в конце пятилетки фонд, равный 1 млн. руб.;

б) погасить в течение 5 лет текущую задолженность, равную 1 млн. руб.

Ответ: 170, 456 тыс. руб.; 250, 456 тыс. руб..

Вычисление срока ренты.

Пример 4.9. Сумма инвестиций, осуществленных за счет привлеченных средств, равна 10 млн. руб. Предполагается, что отдача от них составит 1 млн. руб. ежегодно получаемых в конце года. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по ставке 6% годовых? (см.4.6).

Ответ 15, 73 лет.

Критерии выставления оценки

Задание на аттестацию состоит из двух теоретических вопросов и трех практических задач

Оценка	Критерии оценки
Отлично	На все вопросы даны ответы и решены все задачи
Хорошо	Даны ответы на все вопросы и не решена одна задача или нет ответа на один вопрос и решены все задачи
Удовлетворительно	Дан один ответ и решены две задачи или только решены все три задачи
Неудовлетворительно	Не даны ответы на теоретические вопросы и решено не более одной задачи

5. Формы аттестации: домашняя контрольная работа и дифференцированный зачет.

6. Список источников информации

1) Блау С.Л, Григорьев С.Г. Финансовая математика: учебник: СПО, М. Академия, 2013.

2) Блау С.Л. Финансовая математика: практикум: СПО, М. Академия, 2013.

3) Бухвалов А.В., Бухвалова В.В., Идельсон А.В. Финансовые вычисления для профессионалов, под общ. ред. А.В. Бухвалова, СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

4) Овчаренко Е.К., Ильина О.П., Балыбердин Е.В., Финансово-экономические расчеты в Excel. Издание 5-е, переработанное и дополненное, - М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 2014;

5) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М., «Дело» АНХ, 2012.

Преподаватель А.В. Гармашов

Старший методист Н.Н. Скрыпникова