Точные и обыкновенные проценты

В точных процентах берется точное число дней в году: или ):

В случае обыкновенных процентов (или коммерческих процентов всегда (каждый месяц приближенно по 30 дней), но число дней ссуды может быть либо точное, либо приближенно, когда за каждый полный месяц считают 30 дней. называют временной базой.

Пример 1.2. Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана с 20.01 до 05.10 включительно под 8 % годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа.

Ответ: 105, 655; 105, 733; 105, 667 тыс. руб. ( ).

1.3.Связь между процентами при разных временных базах.

Пример 1.3. Начисленная за 10 дней ссуды сумма процентов составила 15 тыс. руб. (временная база360 дней). Необходимо определить аналогичную сумму при условии начисления точных процентов (временная база 365 дней).

Ответ: 14, 795.

1.4.Переменные ставки процентов:

.

Пример 1.4. Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 6 процентов, а в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0, 5 процентов. Необходимо определить множитель наращения за 2, 5 года.

Ответ: 1, 165.

Реинвестирование

Пример 1.5. На сумму 10 тыс. руб. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 10 процентов годовых. Какая будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение первого квартала года?

Ответ: 10, 249 тыс. руб. (Точные проценты, год невисокосный).

1.6.Потребительский кредит (равномерная выплата денег)

В случае потребительского кредита сумма, полученная по формуле 1.1, делится на число месяцев ссуды и в конце каждого месяца должник должен выплатить сумму

Пример 1.6. Кредит для покупки товара на сумму 1000 руб. открыт на 3 года, процентная ставка 4 %. Определить ежемесячные погасительные платежи.

Ответ: 31, 11 руб.

Математическое дисконтирование.

Из формулы 1.1 следует

которая называется математическим дисконтированием, S₀- современная (или приведенная) величина, - дисконт (или сумма дисконта, или учет), - дисконтный множитель.

Пример 1.7. Через 180 дней с момента подписания контракта должник уплатит 31 тыс. руб. Кредит предоставлен под 6 процентов годовых. Определить, какую сумму получит должник и сумму дисконта.

Ответы: 30, 109; 0, 8909 .

1.8.Банковское (или коммерческое) дисконтирование:

где - простая учетная ставка, - дисконтный множитель.

Пример 1.8. Тратта (переводной вексель) выдана на сумму 100 тыс. руб. с уплатой 17.11. Владелец документа учел его в банке 23.09 по учетной ставке 8 процентов. Найти современную стоимость векселя.

Ответ: 98, 778 ( ).

1.9.Наращение по простой учетной ставке

Пример 1.9. Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана 20.01 до 05.10 включительно, год невисокосный. Простая учетная ставка 8 процентов. Найти наращенную сумму долга к концу срока.

Ответ: 106, 082 ( ).

Сложные проценты

2.1.Вывд формулы сложных процентов:

где наращенная сумма, проценты, - сложная процентная ставка, - множитель наращения.

Капитализация процентов заключается в присоединении процентов к сумме, которая служила базой для их определения. Период начисления - разность между моментами капитализации процентов (период, в конце которого осуществляется начисление процентов).

Пример 2.1. В какую сумму обратится долг, равный 10 тыс. руб. через 5 лет при сложной процентной ставке 5, 5 процентов?

Ответ: 13, 0696 тыс. руб.

2.2.Линейная интерполяция для определения множителей наращения.

Пусть - множитель наращения. Тогда:

Пример 2.2. Определить множитель наращения для i= 6, 2%, лет. Пусть ближайшие табличные значения множителя имеются только для % и %: они равны 1, 7908477 и 1, 8771375.

Ответ: 1, 82536360.

2.3.Плавающая переменная ставка:

Пример 2.3. Процентная ставка по ссуде определена на уровне 8, 5% плюс маржа 0, 5% в первые два года, 0, 75% в следующие три года. Найти множитель наращения в этом случае.

Ответ: 1, 54923512.

Сравнение множителей наращения по простым процентам и по сложным процентам при процентной ставке 8% для временной базы дней.

	Срок ссуды
Множители наращения	30 дн.	180 дн.	1год	5 лет	10 лет	50 лет	100 лет
	1, 00657	1, 0394	1, 08	1, 4	1, 8	5, 0	9, 0
	1, 00635	1, 0392	1, 08	1, 47	2, 16	46, 9

2.4. Определение числа лет при многократном увеличении ссуды:

Для сложных процентов число лет определяется следующей формулой:

Для простых процентов число лет определяется другой формулой:

Пример 2.4. Определить число лет, необходимое для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя сложные и простые проценты, ставка 5%.

Ответ: 33 и 80.

2.5. Смешанная ставка процентов (для целых периодов применяется сложная процентная ставка, а для оставшегося дробного применяется простая процентная ставка).

Пример 2.5. Кредит в размере 30 тыс. руб. выдан на срок 3 года и 160 дней. При условии, что обусловленная в контракте ставка равна 6, 5% и предусмотрен смешанный метод начисления процентов, найти наращенную сумму.

Ответ: 37, 27 тыс. руб. (

2.6.Номинальная ставка процентов.

Проценты начисляются раз в год:

,

где - номинальная годовая ставка процентов.

Пример 2.6. Первоначальная сумма ссуды равна 10 тыс. руб, срок ссуды 5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала, номинальная годовая ставка равна 5%. Требуется определить наращенную сумму.

Ответ: 12, 82037.

2.7.Смешанная номинальная ставка (см. 2.5).

Пример 2.7. Чему равна наращенная сумма, равная 10 тыс. руб., через 25 месяцев, если проценты начисляются ежеквартально. Номинальная ставка равна 6%.

Ответ: 11, 32097.

2.8.Эффективная ставка процентов - это сложная годовая ставка процентов, которая дает тот же результат, что и номинальная ставка процентов. Из формул 2.1 и 2.6 получаем

Пример 2.8. Пусть банк начисляет проценты на вклад по номинальной ставке 12 % годовых. Найти эффективную годовую ставку при ежедневной капитализации процентов ( ).

Ответ: 12, 74746.

В следующей таблице приведено сравнение номинальных и эффективных ставок процентов при разных сроках капитализации (m).

	3, 02	3, 03	3, 04
	5, 06	5, 09	5, 12
	8, 16	8, 24	8, 30
	10, 25	10, 38	10, 47

2.9.Математическое дисконтирование:

где - современная (или приведенная) величина,

- дисконт (или сумма дисконта),

- дисконтный множитель.

Пример 2.9. Необходимо определить дисконтный множитель и современную величину для 50 тыс. руб., которые будут выплачены через 5 лет, если сложная процентная ставка равна 5%.

Ответ: 0, 783526; 39, 17631.

2.10.Дисконтирование по сложной учетной ставке:

, где d- сложная учетная ставка.

Пример 2.10. Какая сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. руб., если срок его погашения равен 2, 5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%?

Ответ: 0, 941.

2.11.Дисконтирование mраз в году по сложной учетной ставке:

,

где j- номинальная учетная ставка.

Пример 2.11. Какова сумма дисконта при продаже финансового инструмента на сумму 5 тыс. руб., если срок его погашения равен 2, 5 года, а покупатель применил сложную годовую учетную ставку, равную 8%? При этом дисконтирование производится 4 раза в году.

Ответ: 0, 914636.

2.12.Номинальная и эффективная сложные учетные ставки (см. 2.10. 2.11).

Пример2.12. Обязательство, равное 20 тыс. руб., должно быт погашено через 5 лет. Учетная ставка равна 5%. Начисление дисконта поквартальное. Найти приведенную величину и эффективную учетную ставку.

Ответ: 15, 5515 тыс. руб.; 4, 91%.

2.13.Наращение по сложной учетной ставке:

Пример 2.13. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого составляет 10 тыс. руб., а срок погашения - 1, 5 года. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере 10%.

Ответ: 11, 712 тыс. руб.

Таблица формул. Связь между параметрами.

Пример 2.14. Найти наращенную сумму долга, первоначальная сумма которого 10 тыс. руб., срок погашения - 1, 5 года. В контракте предусматривается сложная годовая учетная ставка в размере 10%. При этом наращение осуществляется 4 раза в году.

Ответ: 11, 640518.

2.15. Формула непрерывных процентов:

, где δ - сила роста.

Пример 2.15. Найти значение , если δ =0, 072. При вычислении пользоваться тремя, четырьмя и пятью членами разложения в ряд Маклорена.

Ответ: 1, 0746553.

2.16.Непрерывные проценты с переменными ставками (переменная сила роста):

Пример 2.16. Предусматривается непрерывное начисление процентов на некоторую сумму ссуды, причем сила роста изменяется дискретно: первые два года проценты начисляются по ставке 8%, следующие три года – по 9%, далее в течении 5 лет - по 10%. Найти множитель наращения.

Ответ: 2, 5345.

2.17. Линейное изменение силы роста.

Если т о

Пример 2.17. Пусть начальное значение силы роста равно8%, линейный ежегодный абсолютный прирост 2%. Найти множитель наращения, если 5 лет.

Ответ: 1, 9155.

2.18.Вычисление продолжительности ссуды (для сложных процентов):

Пример 2.18. За какой срок (в годах) сумма, равная 75 тыс. руб., достигнет 110 тыс. руб. при условии, что на нее начисляются проценты по ставке 7, 5% раз в году и поквартально.

Ответ: 5, 3 лет; 5, 15 лет.

2.19.Вычисление процентных ставок и учетных ставок (на базе простых, сложных и непрерывных ставок).

Так из 2.14 следует:

Пример 2.19. В условиях выпуска сертификатов Сберегательного банка СССР 1991г. (номинал 1000 руб.) предусмотрены выкупные суммы, зависящие от срока хранения. В частности, при пятилетнем сроке выплачивается 1415 руб., при десятилетнем 2595 руб. Каковы значения сложных учетных ставок, дающих такое наращение?

Ответ: 6, 707; 9, 095.

 

Наращение и инфляция.

где называется индексом цен, h-годовым темпом инфляции.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: