Теория предела и непрерывность функции

Стр 1 из 6Следующая ⇒

Логические символы и операции. Основные понятия теории множеств. Действительные числа. Комплексные числа. Функция. Классификация функций. Рациональные функции. Теорема Безу. Основная теорема высшей алгебры. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый замечательный предел. Предел последовательности. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций.

Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных. Дифференциал и его приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. Векторная функция скалярного аргумента. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функция нескольких переменных. Ее предел и непрерывность. Частные производные и полный дифференциал. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Контрольная работа № 1 состоит из пяти заданий. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения задания № 1

Дано: , , , .

Найти: а) длину ребра ;

б) угол между векторами и ;

в) площадь грани ;

г) объем пирамиды;

д) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

е) длину медианы k к грани .

Решение: для наглядности построим пирамиду (необязательно соблюдая масштаб) и отметим на ней используемые векторы (рис. 1).

а) Для вычисления длины ребра

найдем координаты вектора

. Для этого из координат конца

вектора

вычтем соответствующие координаты начала

. Вычислим длину вектора:

. Ответ:

Рис. 1

б) Для вычисления угла между векторами и найдем эти векторы: и .

Воспользуемся формулой .

Скалярное произведение получим как сумму произведений соответствующих координат: .

Вычислим длины векторов и : ; . , .

Ответ: .

в) Площадь грани будем вычислять исходя из геометрического смысла векторного произведения векторов. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника равна .

Вычислим векторное произведение разложением определителя по первой строке:

Найдем длину вектора :

Тогда площадь грани равна .

Ответ:

г) Объем пирамиды численно равен модуля смешанного произведения векторов, образующих данную пирамиду, например векторов , , .

, .

Ответ:

д) Для вычисления высоты, опущенной из вершины на грань , воспользуемся формулой , где - длина высоты пирамиды. Объем пирамиды равен , площадь основания . Тогда , отсюда .

Ответ:

е) Вектор соединяет с серединой стороны . Найдем . Для этого вычислим полусуммы соответствующих координат векторов , , значит, Тогда длина медианы

Ответ:

Образец выполнения задания № 2

Задача. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки втрое дальше, чем от прямой на плоскости . Сделать чертеж.

Решение: Пусть точка лежит на искомой линии. Из проведем две прямые: прямую и прямую , перпендикулярную к прямой . По условию задачи .

Так как , , то

Так как (рис. 2), то Подставим эти значения в (1). Это и есть уравнение линии. Но его можно упростить.

Рис. 2 Рис. 3

Сделаем замену , .

Уравнение примет вид . В системе координат это уравнение изображается параболой (рис. 3). Относительно этой системы координат точка О (начало старой системы координат) имеет координаты . Эти числа взяты из .

Ответ: .

Образец выполнения задания № 3

Задача. Дано уравнение линии в полярной системе координат. Надо: 1) определить точки, лежащие на линии, давая значения через промежуток, равный , начиная от в промежутке ; 2) построить линию, соединив полученные точки с помощью лекала или от руки; 3) найти уравнение этой линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс берется совпадающей с полярной осью, полюс – с началом прямоугольной декартовой системы координат; обе системы координат берутся правыми); 4) определить вид кривой.

Решение. 1) Для построения кривой, заданной уравнением , придаем значения от до через промежуток (с шагом) и заносим полученные значения в таблицу:

	0
	2, 3 2, 4 2, 6 2, 9 3, 5 4, 3 5, 4 6, 5 7 6, 5 5, 7 4, 3 3, 5 2, 9 2, 6 2, 4 2, 3

2) В полярной системе координат соединяем последовательно точки с координатами , получаем кривую (рис. 4).

3) Для получения уравнения линии в прямоугольной системе координат подставим значения полярного радиуса и угла , связывающие полярную и прямоугольную системы координат.