Образец выполнения заданий № 4

Задача. Найти и

 

1) 2)

Решение.

1)

или

2) Здесь функции я задана параметрическими уравнениями.

Образец выполнения заданий № 5

Задача. На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площади радиуса , чтобы площадка была максимально освещена у ее границы?

Решение. Из курса физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения (угла, образованного нормально к поверхности с направлением светового потока), т.е.

, где k зависит от силы источника света, помещенного в точке А (рис. 7). Из треугольника ОАВ имеем и . Приняв h за независимую переменную, получим .

Исследуем функцию на экстремум с помощью первой производной:

; при .

Так как в промежутке и в промежутке , то при функция имеет максимум, т.е. при значении освещенность в точке В является наибольшей.

Рис. 7

 

Задания к контрольной работе №2

Задание № 1

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

1. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

2. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

3. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

5. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

6. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

7. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

8. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

9. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

10. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

11. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

12. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

13. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

14. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

15. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

16. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

17. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

18. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

19. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

20. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

21. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

22. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

23. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

24. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

25. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

26. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

27. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

28. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

29. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

 

30. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

 

Задание № 2

В задачах 1-15 указываются функция и два значения аргумента . Требуется: 1) найти предел функции при приближении к каждому из заданных значений слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ; 3) сделать схематический чертеж.

В задачах 16-30 функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти скачок функции в каждой точке разрыва; 3) сделать схематический чертеж.

1. ; ,

2. ; ,

3. ; ,

4. ; ,

5. ; ,

6. ; ,

7. ; ,

8. ; ,

9. ; ,

10. ; ,

11. ; ,

12. ; ,

13. ; ,

14. ; ,

15. ; , .

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 3

 

Найти производные данных функций.

 

1. а)

б)

в)

г)

д) .

 

2. а)

б)

в)

г)

д) .

 

3. а)

б)

в)

г)

д) .

 

4. а)

б)

в)

г)

д) .

 

5. а)

б)

в)

г)

д) .

 

 

6. а)

б)

в)

г) ;

д)

 

7. а)

б)

в)

г)

д) .

 

 

8. а)

б)

в)

г)

д)

 

9. а)

б)

в)

г)

д)

 

10. а)

б)

в)

г)

д)

 

11. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

12. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

13. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

14. а)

б)

в)

г)

д)

 

15. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

16. а)

б)

в)

г)

д)

 

17. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

18. а)

б)

в)

г)

д)

 

19. а)

б)

в)

г)

д) .

 

20. а)

б)

в)

г)

д)

 

21. а)

б)

в)

г)

д) .

 

22. а)

б)

в)

г)

д)

23. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

24. а)

б)

в)

г)

д)

 

 

25. а)

б)

в)

г) д)

 

 

26. а)

б)

в)

г)

д)

27. а)

б)

в)

г)

д)

 

28. а)

б)

в)

г)

д)

 

29. а)

б)

в)

г) ;

д) .

 

30. а) ;

б) ;

в)

г) ;

д) .

Задание № 4

Найти и .

 

1. а)

б) , .

 

2. а)

б)

 

3. а)

б) , .

 

4. а)

б) .

 

 

5. а)

б) , .

6. а)

б) .

7. а)

б)

 

8. а)

б)

 

9. а)

б)

 

10. а)

б) .

 

11. а)

б) , .

 

12. а)

б)

 

13. а)

б) , .

 

14. а)

б)

 

15. а)

б) , .

 

16. а)

б)

 

17. а)

б) , .

 

18. а)

б)

 

19. а)

б), .

 

20. а)

б)

 

21. а)

б), .

 

22. а)

б)

 

23. а)

б), .

 

24. а)

б)

 

25. а)

б), .

 

26. а)

б)

 

27. а)

б), .

 

28. а)

б)

29. а)

б), .

 

30. а)

б)

 

Задание № 5

1. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?

2. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса.

3. В точках и находятся источники света силы соответственно и. На отрезке найти наименее освещенную точку (освещенность точки обратно пропорциональна квадрату расстояния ее от источника света: , где =const).

4. Через точку (3, 5) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы площадь треугольника, образованного ею с осями координат, была наименьшей.

5. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс с осями и.

6. Лампа висит над центром круглого стола радиуса. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, где )

7. Найти радиус основания и высоту цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в шар радиуса.

8. Из круглого бревна диаметра требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? (Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат его высоты: , где )

9. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса.

10. Найти наибольшую длину бревна, которое можно сплавлять из канала шириной в канал шириной. Стенки каналов прямолинейны и отходят друг от друга под прямым углом.

11. Каковы должны быть высота и радиус основания конуса с образующей l, чтобы объем конуса был наибольшим?

12. Прямоугольник – вписан в прямоугольный треугольник так, что один из углов прямоугольника совпадает с прямым углом треугольника. Катеты треугольника равны 4 и 8 см. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?

13. Бак без крышки с квадратным основанием должен иметь объем V . Каково должно быть отношение стороны основания бака к высоте, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна. Каковы должны быть катеты, чтобы периметр треугольника был наибольшим?

15. Из квадратного листа жести со стороной 60 см надо изготовить открытую сверху коробку. Для этой цели по углам листа вырезают равные квадратики и образовавшиеся края загибают кверху. Какого размера следует сделать вырезы, чтобы полученная коробка имела наибольшую вместимость?

16. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшая?

17. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение, которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

18. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

19. Из полосы жести, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

20. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения, каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на сжатие было наибольшим?

21. Найти отношение радиуса цилиндра к высоте, при котором цилиндр имеет при данном объеме V наименьшую полную поверхность.

22. Из бревна, имеющего форму усеченного конуса, надо вырезать балку, поперечного сечения которой представляет собой квадрат, а ось совпадает с осью бревна. Найти размеры балки, при которых объем её будет наибольшим, если диаметр большего основания бревна равен 1м, длина бревна (считая по оси) равна 20см.

23. Сосуд, состоящий из цилиндра, заканчивающего книзу полусферой, должен вмещать 18 л воды. Найти размеры сосуда, при которых на его изготовление пойдет наименьшее количество материала.

24. Требуется изготовить из жести ведро объемом V цилиндрической формы без крышки. Найти высоту цилиндра и радиуса его основания, при которых на ведро уйдет наименьшее количество материала.

25. Требуется поставить палатку данного объемом V, имеющую форму прямого кругового конуса. Найти отношение высоты конуса к радиусу его основания, при котором на палатку уйдет наименьшее количество материала.

26. Через точку A(2; 1) провести прямую с отрицательным угловым коэффициентом так, чтобы сумма длин отрезка, отсекаемых ею на осях координат, была наименьшей.

27. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м², а длина забора наименьшей?

28. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объем коробки был наименьшим?

29. На прямой между двумя источниками света силы F и 8F найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками 24м. (Освещенность точки обратно пропорциональна расстоянию её от источника света.)

30. На оси дана точка M на расстоянии от её вершины. Найти абсциссу ближайшей к ней точки кривой.

Контрольная работа № 3

Контрольная работа № 3 состоит из четырех заданий. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения задания № 1

 

Задача. Исследовать функцию и начертить ее график.

 

Решение. 1. Функция определена и непрерывна на всей оси за исключением точек и , в которых она имеет бесконечный разрыв.

2. Так как то функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

Это позволяет ограничиться исследованием графика данной функции только для значений . Остальную часть графика функции мы построим, пользуясь его симметрией.

3. При , т.е. график функции проходит через начало координат.

4. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая . Найдем односторонние пределы:

Для того чтобы выяснить, имеет ли график функции невертикальные асимптоты, вспомним, что коэффициенты и уравнения асимптоты находятся из соотношений

и .

Применим их к исследуемой функции:

Итак, Далее Следовательно, .

Таким образом, заключаем, что график исследуемой функции имеет асимптоту с уравнением или .

5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Для этого вычисляем первую производную от данной функции:

.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: