КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА

Ипмульс, закон сохранения импульса. Применение сохранения импульса к абсолютно неупругому удару. Движение тел с переменной массой.

Импульс тела - это физическая векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость.

Векторная сумма импульсов взаимодействующих тел, составляющих замкнутую систему, остается неизменной.

или

 

 

Вводится понятие абсолютно неупругого удара: так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно целое. При неупругом ударе часть механической энергии взаимодействующих тел переходит во внутреннюю, импульс системы тел сохраняется.

После неупругого соударения два шара движутся как одно целое со скоростью, меньшей скорости первого шара до соударения.

 

Движение тела переменной массы

 

В некоторых случаях тел связано с изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Произведем вывод уравнения движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt

(2)

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора иимпульса:

Зако́ н сохране́ ния моме́ нта и́ мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

Упругая сила. Закон Гука.

Силы упругости

При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации.

Закон Гука Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид

f=-kx, (2.9) где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м).

Третий закон Кеплера (гармонический закон

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где и — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и — длины больших полуосей их орбит.

15.Уравнения движения абсолютно тв. Твердого тела. Центр масс, примеры вычисления центр масс.

Центр масс - точка пересечения прямых, вдоль которых действуют внешние силы, вызывающие поступательное движение тела. Это более общее понятие, чем понятие центра тяжести. Центр тяжести и центр масс часто совпадают. Центр масс симметричных тел находится в их геометрическом центре.

Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

2. Физический смысл момента инерции. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу. Сравните. Вращательное движение. Поступательное движение. Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соответствии с теоремой Штейнера:

Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Формула Пуазейля

 

Гидродинамическое подобие складывается из трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.

Геометрическое подобие как известно из геометрии, представляет собой пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Под геометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничивают потоки, т. е. подобие русел (или каналов).

Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей

В потоках жидкостей обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление на практике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным, поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при котором соблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил.

Формула Стокса

Обычно турбулентность наступает при превышении некоторого критического параметра, например числа Рейнольдса или Релея (в частном случае скорости потока при постоянной плотности и диаметре трубы и/или температуры на внешней границе среды).

При определённых параметрах турбулентность наблюдается в потоках жидкостей и газов, многофазных течениях, жидких кристаллах, квантовыхБозе- и Ферми- жидкостях, магнитных жидкостях, плазме и любых сплошных средах (например, в песке, земле, металлах). Турбулентность также наблюдается при взрывах звёзд, в сверхтекучем гелии, в нейтронных звёздах, в лёгких человека, движении крови в сердце, при турбулентном (т. н. вибрационном) горении.

Турбулентность возникает самопроизвольно, когда соседние области среды следуют рядом или проникают один в другой, при наличии перепада давления или при наличии силы тяжести, или когда области среды обтекают непроницаемые поверхности. Она может возникать при наличии вынуждающей случайной силы. Обычно внешняя случайная сила и сила тяжести действуют одновременно. Например, при землетрясении или порыве ветра падает лавина с горы, внутри которой течение снега турбулентно. Мгновенные параметры потока (скорость, температура, давление, концентрация примесей) при этом хаотично колеблются вокруг средних значений. Зависимость квадрата амплитуды от частоты колебаний (или спектр Фурье) является непрерывной функцией.

 

КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ. МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА

Кинематическое - это значит, что ПРИЧИНЫ движения не рассматриваются. Вот есть движение, описываемое такой формулой (зависимость координаты от времени). Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Перемещение — векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени:

.

Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.

Средняя скорость — векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:

.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:

.

Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени:

.

 

 

2. Ускорение при криволинейном движении.

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости движения по численному значению и направлена по касательной к траектории.

Следовательно

(1.16)

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела лежат (всегда) в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается, однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трехмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.

Углова́ я ско́ рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в систимах СИ и СГС — радианы в секунду

Производная угловой скорости по времени есть угловое ускорение.

3.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

4. Степени свободы и обобщенные координаты. Число степеней свободы обсолютно тв. Тела.

Сте́ пени свобо́ ды — характеристики движения механической системы. Число степеней свободы определяет минимальное количество независимых переменных (обобщённых координат), необходимых для полного описания движения механической системы.

независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s ур-ниями вида qi=qi(t), где t — время. О. к. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физ. поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, наз. потенциалами, волн. функциями и т. п.

- твердое тело имеет шесть степеней свободы. Отметим, что твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет одну степень свободы.

Если же твердое тело может скользить вдоль закрепленной оси и одновременно вращаться вокруг нее, то число степеней свободы равно двум.

 

5. Основная задача динамики. Понятия состояния в механики. Законы Ньютона.

Прямая задача динамики -- определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по силам, действующим на тело, и по известным начальным условиям. Также существует и обратная задача динамики -- определение сил, действующих на тело, по характеру его движения. Основная задача динамики заключается в выяснении того, как изменяется механическое движение тел под влиянием приложенных к ним сил.

Зако́ ны Ньюто́ на — три закона, лежащие в основе классической механики и позволяющие записать уравнения движения для любоймеханической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел.

1). Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

2). В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

3). Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

 

 

6. Система единиц СИ. Границы применимости классической механики

Международная система единиц, современный вариант метрической системы. Она определяет семь основных единиц измерения, являющихся основой для остальных единиц СИ. Основные единицы измерения СИ и их величины^[1]:

· Метр для длины

· Килограмм для массы

· Секунда для времени

· Ампер для силы электрического тока

· Кельвин для термодинамической температуры

· Моль для количества вещества

· Кандела для силы света.

 

Механика Галилея–Ньютона, которая получила название классической, яв-ляется хорошим приближением к действительности для макроскопических тел, движущихся со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Макро-скопическими называют окружающие нас тела, которые состоят из большого ко-личества молекул или атомов. Поскольку скорость света чрезвычайно велика (м/с), то классическая механика применима к преобладающему боль-шинству объектов и явлений, окружающих человека. Значительные отклонения имеют место только при очень больших скоростях, практически недостижимых для макроскопических тел в земных условиях. Так, даже при космических скоро-стях около 30 км/с классический закон сложения скоростей дает относительную ошибку, что намного меньше, чем погрешность большинства современных методов измерения скорости.

 

12Следующая ⇒

Поделиться: