ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

БЕГУЩИМИ ВОЛНАМИ называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Рассмотрим плоскую волну. Там смещение ξ будет зависеть только от x и t. Если колебания точек, лежащих в плоскости x=0 описываются функцией ξ (0, t)=Acosω t, то частица среды колеблиться по тому же закону, но её колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, т. к. для прохождения волной расстояния x требуется время τ =x/с, где ϑ - скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, имеет вид ξ (x, t)=Acosω (t-x/ ϑ ). Это и есть ур-е бегущей волны.

Запись в виде экспоненты: ξ (x, t)=A

ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО — это отношение 2π радиан к длине волны, то есть это пространственный аналог круговой частоты. Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ: ξ (r, t)= cos

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ: Δ ξ =

КОГЕРЕНТНОСТЬ — согласованность нескольких колебательных или волновых процессов во времени, проявляющаяся при их сложении. Колебания когерентны, если разность их фаз постоянна во времени и при сложении колебаний получается колебание той же частоты. Классический пример двух когерентных колебаний — это два синусоидальных колебания одинаковой частоты.

МОНОХРАМОТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты.

МЕТОД ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВЕКТОРА АМПЛИТУДЫ: Метод вращающегося вектора амплитуды заключается в представлении гармонического колебания с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний называют методом вращающего вектора амплитуды.

Гармонические колебания одинакового направления и частоты удобно складывать, изобразив колебания в виде векторов на плоскости - графически

1). Выберем некоторую направленную прямую - ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x

2). Из взятой на оси некоторой точки О отложим направленный отрезок - вектор длины A, образующий с осью некоторый угол α .

3). Вращая вектор А вокруг точки О с угловой скоростью ω 0, получим, что проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени: проекция конца вектора будет перемещаться по оси x, принимая значения от - А до + A. Схему, полученную таким методом представления колебаний, называют векторной диаграммой.

СВЯЗЬ РАЗНОСТИ ФАЗ (δ ϕ ) И ОПТИЧЕСКОЙ РАЗНОСТИ ХОДА (Δ )

Изменению разности фаз на 2π соответствует изменение разности хода на λ:

ТРЕБОВАНИЯ К РАЗМЕРАМ ИСТОЧНИКА:

Ширина прорезей приблизительно равна длине волны излучаемого света.

ПОЛУЧЕНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ ПУЧКОВ МЕТОДОМ ЮНГА:

Пучок света направляется на непрозрачный экран-ширму с двумя параллельными прорезями, позади которого устанавливается проекционный экран. Обе прорези будут являться когерентными источниками света. Следовательно мы получим 2 когерентных пучка.

ПОЛУЧЕНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ ПУЧКОВ С ПОМОЩЬЮ БИПРИЗМЫ ФРЕНЕЛЯ:

Когерентные световые волны можно получить, разделив волну, излучаемую одним источником, на две части. Эту функцию выполняет бипризма Френеля.

ПОЛУЧЕНИЕ КОГЕРЕНТНЫХ ПУЧКОВ С ПОМОЩЬЮ ЗЕРКАЛА ЛЛОЙДА:

В этом случае интерферируют лучи, исходящие непосредственно от источника S и отраженные от поверхности зеркала АВ. Лучи, отраженные от зеркала АВ, как бы исходят от мнимого источника S1 когерентного с S.

 

ПОЛОСЫ РАВНОГО НАКЛОНА - чередующиеся тёмные и светлые полосы (интерференционные полосы), возникающие при падении света на плоскопараллельную пластину в результате интерференции лучей, отражённых от верхней и нижней её поверхностей и выходящих параллельно друг другу.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ:

Просветление оптики — создание покрытий на поверхности оптических деталей, в первую очередь линз.

Голография — " трёхмерную фотографию". По интерференционной картине можно выявлять и измерять неоднородности среды. Также интерференционные волны от отдельных «элементарных» излучателей используют при создании сложных излучающих систем (антенн) для электромагнитных и акустических волн.

ИНТЕРФЕРОМЕТР МАЙКЕЛЬСОНА —двулучевой интерферометр, состоящий из светоделительного зеркала, разделяющего входящий луч на два, которые в свою очередь, отражаются зеркалом обратно. На полупрозрачном зеркале разделённые лучи вновь направляются в одну сторону, чтобы смешавшись на экране, образовать интерференционную картину.

ИНТЕРФЕРОМЕТР ЖАМЕНА — двулучевой интерферометр, использовавшийся для измерения малых показателей преломления газов. В интерферометре Жамена свет проходит через две одинаковые плоскопараллельные стеклянные пластины толщиной не менее 20 мм. Они устанавливаются под углом в 45° к линии, которая соединяет их центры и поворачиваются с помощью винтов относительно вертикальной и горизонтальной осей для изменения ширины интерференционных полос. При падении пучка света на первую пластину, он частично отражается от её внешней и внутренней поверхностей, расщепляясь на два луча. При этом расстояние между лучами зависит от толщины пластины. Интерференция возникает после отражения от второй пластины между лучами, каждый из которых испытал по одному отражению от разных поверхностей пластин.

ИНТЕРФЕРОМЕТР ФАБРИ-ПЕРО — многолучевой интерферометр, состоящий из двух стеклянных или кварцевых пластинок, обращённые друг к другу и параллельные между собой, на поверхности которых нанесены зеркальные покрытия с высоким (85—98%) коэффициентом отражения. Параллельный пучок света, падающий из объектива, в результате многократного отражения от зеркал образует большое число параллельных когерентных пучков с постоянной разностью хода D=2nhcos(φ ) между соседними пучками, но различной интенсивности. В результате многолучевой интерференции в фокальной плоскости объектива образуется интерференционная картина, имеющая форму концентрических колец с резкими интенсивными максимумами, положение которых определяется из условия D=mλ (m — целое число), т. е. зависит от длины волны.

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА — каждая точка среды, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн. Этот принцип в равной мере пригоден для описания распространения волн любой природы.

ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ — каждая точка поверхности, достигнутая световой волной, является вторичным источником световых волн. Огибающая вторичных волн становится фронтом волны в следующий момент времени.

 

 

ЗОННАЯ ПЛАСТИНКА — плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля. Она «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, чем исключает взаимную интерференцию (погашение) от соседних зон, что приводит к увеличению освещённости точки наблюдения. Таким образом зонная пластинка действует как собирающая линза.

 

 

РАСЧЕТ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ ОТ 2Х КОГЕРЕНТНЫХ ИСТОЧНИКОВ

Пусть в точке 0 осуществляется раздвоение волны, в т. Р находится наблюдатель. Уравнение падающей в точку 0 волны: y=Acosω t. Волна проходит путь: OAP=L1; n1; OBP=L2; n2. В точке Р обе половинки приходят с разными фазами и 1-я волна возб. в точке p колебания: y1=Acosω (t- L1/v1), а вторая волна: y2=Acosω (t- L2/v2); v1, v2 – фазовые скорости волн, v1=c/n1, v2=c/n2.

 

 

Разность фаз δ =φ 1-φ 2=ω (t- L1/v1) – ω (t- L2/v2)=ω (L2n2 – L1n1)=

=(2ω /c)*(L2n2 – L1n1)=(2π /λ o)*(L2n2 – L1n1);

L*n=S – оптическая длина пути. L2n2 – L1n1=S1 – S2 = ∆ - оптическая разность ходов, δ =2π ∆ /λ o => если на оптическую разность хода ∆ =+-kλ o=+- 2k*(λ i/2), k=0, 1, 2…, δ =+ - (2π /λ o)*kλ o=+ - 2kπ. Волны приходят в одинаковых фазах и их амплитуда складывается. Это условие интерференционного максимума. Если ∆ =+ - (2k+1)*(λ o/2), то δ =+ - (2π /λ o)*(2k+1)*(λ o/2)=+ - (2k+1)π Волны, приходят в противофазе, т.е. они антифазны и при наложении в т. Р, их амплитуда будет вычитаться. Значит это условие интерференционного минимума. Применим это условие при расчете интерференционной картины от 2х когерентных источников. Два когерентных источника S1 и S2, расстояние между ними d: Опред. рез. наложения волн в точке Р: ∆ /d=x/L, т.к. L> > d, то BP≈ L, тогда ∆ =dx/L. Если ∆ Єz, то в точке светлая полоса, x=L∆ /d; ∆ x=Lλ /d – ширина темной полосы. Для монохромных волн à max расх. ∆ =0, ∆ φ =0, кроме max центральн.

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся на расстоянии от точки M. Точки сферы S, находящиеся на расстояниях , , и т.д. от точки M, образуют 2, 3 и т.д. зоны Френеля.

МЕТОД ЗОН ФРЕНЕЛЯ

Колебания, возбуждаемые в точке M между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, поэтому при сложении этих колебаний, они должны взаимно ослаблять друг друга: , где A – амплитуда результирующего колебания, – амплитуда колебаний, возбуждаемая i-й зоной Френеля.

Площадь одной зоны: В то же время с увеличением номера зоны возрастает угол и, следовательно, уменьшается интенсивность излучения зоны в направлении точки M, т.е. уменьшается амплитуда . Она уменьшается также из-за увеличения расстояния до точки M: Углы между нормалью к зоне и направлением на точку M у соседних зон примерно равны, т.е. что амплитуды волн, приходящих в точку M от соседних зон, примерно равны. Световая волна распространяется прямолинейно. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому в качестве допустимого приближения можно считать, что амплитуда колебания от некоторой

m-й зоны равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т.е.

Тогда Так как площади соседних зон одинаковы, то выражения в скобках равны нулю, значит результирующая амплитуда .Интенсивность излучения: . Таким образом, результирующая амплитуда, создаваемая в некоторой точке M всей сферической поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной, а интенсивность: .Так как радиус центральной зоны мал, следовательно, можно считать, что свет от точки P до точки M распространяется прямолинейно. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, то амплитуда в точке M будет равна . Соответственно, интенсивность в точке M будет в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана. Интенсивность света увеличивается, если закрыть все четные зоны.

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами: A= , где знак плюс соответствует нечетным m и минус - четным m.

ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А = , т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если т нечетное - то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем иа экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает т первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна A= Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля.

ДИФРАКЦИЯ НА ДИСКЕ.

Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины. С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА — случай дифракции, при котором дифракционная картина наблюдается на значительном расстоянии от отверстия или преграды. Иными словами, дифракция Фраунгофера наблюдается тогда, когда число зон Френеля F«1, при этом приходящие в точку волны являются практически плоскими. При наблюдении данного вида дифракции изображение объекта не искажается и меняет только размер и положение в пространстве.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: