Архимедова сила. Уравнение Бернулли

⇐ ПредыдущаяСтр 19 из 29Следующая ⇒

В отличие от твердого тела, жидкость — среда бесструктурная, ее микроскопическое устройство не содержит такой «несущей конструкции», как кристаллическая решетка. Соответственно, вопрос об ориентации поверхности, к которой приложено напряжение, здесь не возникает — все ориентации равноправны. Кроме того, в жидкости несравненно меньшую роль играют касательные напряжения. Если в твердом теле они ответственны за сдвиговые деформации и вполне проявляют себя в статике, то в жидкости касательные напряжения возникают исключительно в динамической задаче и лишь при учете диссипативного эффекта — вязкости.

Опыт показывает, что в гидростатике — науке о равновесии жидких тел — а равно и в консервативной (бездиссипативной) гидродинамике существен всего один вид напряжения — давление, обладающее свойством изотропности. Это и составляет содержание закона Паскаля: давление жидкости и газа передается одинаково во всех направлениях. Иными словами, давление — скалярная функция:

P= P(r). (8.18)

Одно из важнейших следствий изотропии давления было известно задолго

до Паскаля — это закон Архимеда: тело, погруженное в жидкость, выталкивается с силой, равной весу вытесненной жидкости. Рассмотрим тело А, плавающее в сосуде с жидкостью (рис. 8.8 а), и отдельно — сосуд, заполненный той же жидкостью до того же уровня, но без погруженного в него тела (рис. 8.8 б). Если жидкость, заполняющая полость а А' на рис. 8.8 б, пребывает в равновесии, то значит силы, действующие на полость А', как раз и

удерживают ее собственный вес. Ввиду скалярности давления (8.18) и отсутствия касательных напряжений, неважно, чем заполнена полость А', так что и на тело А будут действовать так же распределенные силы, имеющие ту же равнодействующую.

Рис. 8.8

Хотя приведенные выше рассуждения и дают нам аргументы в пользу закона Архимеда, они не могут считаться доказательством. В дополнение к ним хотелось бы дать современную трактовку архимедовой силы, пригодную для решения динамических задач. Мы сделаем это, опираясь на закон Паскаля. Пусть давлениие в жидкости или газе зависит от координаты:

P = P(x)

(рис. 8.9). Выделим мысленно в жидкости некоторый параллелепипед со сторонами dx, dy, dz, ориентированными по координатным осям. Тогда в напралении оси х на него будет действовать сила P(x) • dy dz, а навстречу ей — P(x + dx) • dy dz, суммарная же сила будет равна их разности, которая, в силу малости dx, может быть линеаризована:

F_x = P(x) dydz - P(x + dx) • dy dz =

- (dP/dx) • dxdydz + О(х).

Рис. 8.9

Удобно ввести понятие объемной плотности силы:

f_x = dF_x/dV = -dP/dx. (8.19)

Это и есть сила Архимеда. В случае зависимости давления от трех координат, вместо обычной производной в (8.19), следует использовать операцию градиента — см. (8.25).

Представим себе, например, несжимаемую жидкость в поле тяжести. При р(х) = const объемная плотность силы тяжести есть просто рg. Пусть ось х направлена вглубь жидкости. Запишем условие равновесия любого малого элемента объема dV:

ρ gdV - (dP/dx) • dV = 0.

Сокращая dV и интегрируя, получаем хрестоматийный результат:

P = P₀ + ρ gх, (8.20)

где Po — давление на поверхности жидкости. Из (8.20) можно получить решение упомянутых выше статических задач. Рассмотрим в качестве примера два открытых сосуда, соединенных посредством сифона (рис. 8.10). Давление жидкости в точке А,

с точностью до отношения ширины трубки к высоте ее над уровнем жидкости в сосудах h, равно

P₀ + ρ gх_А =P₀- ρ gh,

безоносительно к точке свободной поверхности, от которой мы отсчитываем х_А. Тем самым подтверждается, что в сосудах, соединенных так, как показано на рис. 8.10, жидкость в равновесии оказывается на одном уровне, а при нарушении этого условия должно возникнуть течение, перекачивающее жидкость в сосуд с более низким уровнем через трубку. На этом и основан принцип сифона. Рассмотрим эффекты, обусловленные работой давления. Прежде всего представим себе жидкость или газ, занимающие в состоянии равновесия некий цилиндр с площадью основания S (рис. 8.11 а). Давление в пределах данного цилиндрического объема будем считать постоянным и равным P.

Пусть одно из оснований смещается на малое расстояние dx, но при этом

Рис. 8.10 два открытых сосуда, соединенных посредством сифона

количество текучего вещества внутри цилиндра сохраняется, т. е. жидкость

(газ) не течет через движущуюся границу. Сила давления вещества, заполняющего цилиндр, на границу равна P • S, соответственно, работа, совершаемая веществом при расширении, есть

δ A = P S dx = P dV, (8.21)

где dV — изменение объема жидкости или газа. Если в процессе расширения

как-то изменится и давление, P —> • P + d'P, то это даст поправку в (8.21)

всего лишь второго порядка. Пусть теперь слегка меняет объем жидкое или

газообразное тело произвольной формы — на рис. 8.11 б начальное и конечное состояние показаны соответственно сплошной и пунктирной линиями. В силу закона Паскаля,

давление на любой участок границы действует в направлении нормали. Поэтому на любой малой площадочке, принадлежащей границе, мы можем построить цилиндрик с образу-

образующей, параллельной направлению нормали ξ (рис. 8.11 б).

Дальнейшие рассуждения аналогичны выводу (8.21), а затем можно вклад всех цилиндриков просуммировать (с учетом знака! ) и получить тот же ответ:

Рис. 8.11

δ A = P dV

где под dV подразумевается полное изменение объема жидкого элемента.

Рассмотрим стационарное течение жидкости или газа без диссипации. Вы-

Выделим некоторую трубку тока (рис. 8.12).

Рис. 8. 12

Пусть S₁ и S₂ — два произвольных сечения, нормальных к потоку, ρ ₁, v₁и ρ ₂, V₂ — соответственно, плотность и скорость в сечениях S₁ и S₂. За время dt через сечение S₁ протек объем S₁v₁ dt, при этом втекающий газ совершил работу Р₁S₁v₁ dt. За то же вре-

время из сечения S₂ вытек объем S₂v₂ dt, совершив при этом работу P₂S₂v₂ dt над всем вытекающим газом. При стационарном течении массы ρ ₂S₂v₂ dt и ρ ₁S₁v₁dt, очевидно, равны. Введем плотность энергии текучей среды:

dE/dV = ρ ε + ρ v²/2,

где ε включает отнесенную к единице массы внутреннюю энергию плюс энергию во внешних полях, т. е. всю энергию, кроме кинетической, плотность которой равна ρ v²/2. Поскольку мы положили диссипативные эффекты несущественными, используем закон сохранения энергии:

(8.22)

Разделим это уравнение почленно на величину dm протекающей через сечение за время dt массы. Удобно первый член левой части и второй член правой части (8.22) разделить на dm = ρ ₂S₂v₂ dt, а второй член левой части и первый член правой части (8.22) разделить на dm = ρ ₁S₁v₁dt. В результате получаем уравнение Бернулли

или, что то же,

(8.23)

Важный частный случай уравнения Бернулли — течение в поле силы тяжести при неизменной массовой плотности внутренней энергии (для идеального газа это обусловлено постоянством температуры). Тогда

dE/dV = ρ gh + ρ v²/2,

где h — высота по отношению к некоторому заранее определенному нулевому уровню. Как следствие, получаем

P/ρ + gh + v²/2 = const. (8.24)

Если к тому же, жидкость несжимаема, то (8.24) можно использовать в виде

P + ρ gh + pv²/2 = const. (8.25)

Именно эту форму записи чаще всего связывают с именем Бернулли; подчеркнем, однако, что уравнение (8.23) гораздо более универсально.

Уравнение (8.25) позволяет легко получить формулу Торричелли для скорости вытекания несжимаемой жидкости из сосуда через малое отверстие (она, правда, была выведена за сто лет до уравнения Бернулли). Постановка задачи ясна из рис. 8.13. Пусть высота

уровня воды в сосуде равна h₁, а высота, на которой расположено отвестие — h₂, так что h₁ - h₂ = h. Отверстие должно быть достаточно малым, чтобы выполнялось условие h < < v. Из уравнения непрерывности (8.14) легко усмотреть, что для этого необходимо, чтобы

Рис 8 13

сечение отверстия было много меньше сечения сосуда. Таким образом обеспечивается с необходимой точностью, во-первых, стационарность течения и тем самым применимость уравнения Бернулли. Во-вторых, при медленном вытекании мы можем избежать вихревых течений, что позволяет рассматривать наше течение как одну-единственную трубку тока (обозначена пунктиром на рис. 8.13). Это очень важный аспект данной задачи; напомним, что уравнения (8.23)-(8.25) задают инвариант только в пределах трубки тока, который не всегда можно распространить на поток как целое.

Итак, ρ (h₁) = ρ (h₂), на уровне h₁ v ~ 0, а на уровне h₂, как следует

из (8.24),

v = √ (2gh), (8.26)

т. е. скорость вытекания несжимаемой жидкости из малого отверстия совпадает со скоростью тела, свободно упавшего с высоты h. Это и есть формула Торричелли.

Отметим в заключение, что величина ρ v²/2 иногда называется динамическим давлением, а формула (8.25) трактуется как инвариантность суммы статического и динамического давлений. В стационарном потоке несжимаемой жидкости давление P должно быть меньше там, где больше скорость.

Так объясняют принцип работы пульверизатора, эффект «присасывания» кораблей при близком прохождении параллельными курсами и т. д.

Вязкость. Течение Пуазейля

До сих пор мы ничего не говорили о касательных напряжениях в жидкости или газе, ограничиваясь только изотропным давлением в рамках закона Паскаля. Оказывается, однако, что закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случае неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект — язкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.

Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси ж, соприкасаются друг с другом на горизонтальной поверхности с площадью S (рис. 8.14). Опыт показывает, что возникающая на этой площадке сила трения F между слоями тем больше, чем больше площадь S и чем быстрее изменяется в этом месте скорость потока v в направлении, перпендикулярном к площадке S, то есть, в направлении оси у. Быстрота изменения скорости v как функции у характеризуется производной dv/dy.

Окончательно, полученный из опыта результат можно записать в виде:

F = η S dv/dy. (8.27)

Здесь F — сила, действующая со стороны вышележащего слоя на нижележащий, η — коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента

Рис. 8.14

вязкости жидкости (сокращенно его называют просто вязкостью жидкости). Размерность его вытекает из формулы (8.27) [η ] = [m]/[l][t]; единицу измерения принято выражать как 1 Па • с. Направление силы F (вправо или влево на рис. 8.14) зависит от того, быстрее или медленнее движется вышележащий слой относительно нижележащего. Из (8.27) следует выражение для касательных напряжений:

τ = η dv/dy. (8.28)

Коэффициент вязкости η имеет разные значения для различных жидкостей, и для определенной жидкости зависит от внешних условий, в первую очередь, от температуры. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами. Перейдем к рассмотрению задачи о вычислении расхода несжимаемой жидкости, текущей в горизонтальной круглой прямолинейной трубе с постоянной площадью поперечного сечения при заданном перепаде давлений. Расходом называется масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы. Эта задача имеет чрезвычайно большое

Рис. 8.15

практическое значение: организация работы нефтепроводов и даже обычного водопровода безусловно требует ее решения. Будем полагать, что нам заданы длина трубы l, ее радиус R, давления на концах трубы P₁ и P₂ (P₁> P₂), а также плотность жидкости ρ и ее вязкость η (рис. 8.15).

Наличие сил трения приводит к тому, что на разных расстояниях от центра трубы жидкость течет с разной скоростью. В частности, непосредственно у стенки жидкость должна быть неподвижна, иначе из (8.28) следовали бы бесконечные касательные напряжения. Для вычисления массы жидкости, протекающей ежесекундно через все поперечное сечение трубы мы зобъем это поперечное сечение на бесконечно малые кольцевые площадки с внутренним радиусом г и внешним r + dr и вычислим сначала расход жидкости через каждое из этих бесконечно малых сечений, в которых скорость

жидкости можно считать одинаковой. Просуммировав потом по всем бесконечно малым сечениям, мы определим полный расход жидкости.

Масса жидкости dm, протекающая ежесекундно через бесконечно малое

поперечное сечение 2nrdr со скоростью v(r), равна

dm/dt = 2π r drρ v(r). (8.29)

Полный расход жидкости Q мы получим, проинтегрировав выражение (8.29)

по r от 0 до R:

Q = dm/dt = 2π ρ rv(r) dr, (8.30)

где вынесли за знак интегрирования постоянную величину 2π ρ. Чтобы вычислить интеграл в (8.30), необходимо знать зависимость скорости жидкости от радиуса, то есть конкретный вид функции v(r). Для определения v(r) мы воспользуемся уже известными нам законами механики. Рассмотрим в некоторый момент времени цилиндрический объем жидкости некоторого произвольного радиуса r и длины l (рис. 8.15). Заполняющую этот объем жидкость можно рассматривать как совокупность бесконечно малых жидких частиц, образующих систему взаимодействующих материальных точек. При тационарном течении жидкости в трубе все эти материальные точки движутся с независящими от времени скоростями. Следовательно, центр масс всей этой системы также движется с постоянной скоростью. Уравнение для движения центра масс системы материальных точек имеет вид (см. гл. 6)

(8.31)

где М — полная масса системы, V цм — скорость центра масс,

∑ F_BH- сумма внешних сил, приложенных в выбранный момент времени к рассматриваемой системе. Так как в нашем случае V_цм = const, то из (8.31) получаем

Внешние силы — это силы давления F_давл действующие на основания выбранного цилиндрического объема, и силы трения F_тр, действующие на боковую поверхность цилиндра со стороны окружающей жидкости — см. (8.27):

Как мы показали, сумма этих сил равна нулю, то есть

Это соотношение после простых преобразований можно записать в виде

Интегрируя обе части написанного выше равенства, получим

Постоянная интегрирования определится из условия, что при r = R ско-

скорость v должна обращаться в нуль. Это дает

(8.32)

Как мы видим, скорость жидкости максимальна на оси трубы и при удалении от оси меняется по параболическому закону (см. рис. 8.15).

Подставив (8.32) в (8.30), находим искомый расход жидкости

(8.33)

Это выражение для расхода жидкости называется формулой Пуазейля. Отличительной чертой соотношения (8.33) является сильная зависимость расхода от радиуса трубы: расход пропорционален четвертой степени радиуса.

(Сам Пуазейль формулу для расхода не выводил, а исследовал проблему только экспериментально, изучая движение жидкости в капиллярах). На формуле Пуазейля основан один из экспериментальных методов определения коэффициентов вязкости жидкостей.

Жидкости и газы характеризуются плотностью.

-плотность жидкости зависит в общем случае от координат и времени

- плотность – термодинамическая функция и зависит от давления и температуры

Элемент массы можно выразить из определения плотности

dm = rdV

Через выделенную площадку можно определить вектор потока жидкости, как количество жидкости, проходящей через перпендикулярно площадке в единицу времени

- вектор площади.

В неком элементарном объёме имеются микрочастицы, а он сам – макрочастица.

Линии, которыми условно можно показать движение жидкости, называются линиями тока.

Y - функция тока.

Ламинарное течение – течение, в котором не происходит перемешивание жидкости и прехлестывания функций тока, то есть слоистое течение.

На рис ламинарное обтекание препятствия – в виде цилиндра

Турбулентное течение – течение, при котором различные слои смешиваются. Типичный пример турбулентного следа при обтекании препятствия.

На рис почти - трубка тока. Для трубки тока линии тока не имеют резких отклонений.

Из определения плотности элементарная масса определяется из выражения

dm = rdV

элементарный объем вычисляется как произведение площади поперечного сечения на путь, пройденный жидкостью

dV = Sdl

Путь, в свою очередь можно рассчитать зная скорость жидкости и время движения

dl = Vdt

Тогда элементарна масса(масса элемента жидкости) находится из соотношения

dm = rdV = rVSdt

1) Уравнение непрерывности

В самом общем случае направление вектора скорости может не совпадать с направление вектора площади поперечного сечения потока

- вектор площади имеет направление

Объем, занимаемый жидкостью в единицу времени, определяется с учетом правил скалярного произведения векторов

V Scosa

Определим вектор плотности тока жидкости

j = r V, j – плотность потока.- количество жидкости, протекающее через единичное сечение в единицу времени

Из закона сохранения массы жидкости

так как

m_потока= const

Поскольку изменение массы жидкости в выбранном сечении определяется как произведение изменения объема на плотность жидкости, из закона сохранения массы получим

rVS = const rVS = const

Или

rV₁S₁ = rV₂S₂

т.е. расход в различных сечениях потока - одинаков

2) Теорема Остроградского – Гаусса

Рассмотрим баланс массы жидкости для замкнутого объема

элементарный поток через площадку равен

dJ = jdS,

где j – плотность потока.

Поток векторного поля.

Пусть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например, ) называют поверхностный интеграл вида