Уравнение Эйлера и Навье-Стока.

 

Вязкая жидкость – жидкость, у которой есть силы трения между трубками тока.

Рассмотрим вязкую жидкость. Выделим элемент жидкости и рассмотрим силы действующие на этот элемент извне. Это сила тяжести, сила трения со с тороны соседних элементов жидкости за счет вязкостных эффектов и давления.

 

Закон Ньютона для вязкостного трения

 

По Ньютону-сила, действующая на стенку, обтекаемую жидкостью, пропорциональна градиенту скорости и площади поперечного сечения:

m - коэффициент вязкости.

Трение жидкости о стенку вызывает эффект прилипания, когда скорость жидкости на поверхности обтекаемого тела равна нулю. взамодействие между слоями жидкости обусловливает формирование пограничного слоя, где скорость меняется от расстояния от стенки, формируя профиль скорости

пограничный слой – градиент скорости-скорость изменения скорости с расстоянием от стенки

 

 

Касательное напряжение на стенке, создаваемое за счет обтекания ее жидкостью - касательное напряжение

Аналогия для других законов

- Фик (для массового потока)

- Фурье для теплопроводности

l - коэффициент теплопроводности

D – коэффициент диффузии

C –концентрация

 

мы рассматриваем молекулярный обмен.

m - -коэффициент динамической вязкости

 

Рассмотрим эффекты вязкого трения при взаимодействии жидкости со стенкой и между слоями жидкости

 

x+dx

px

x

y+dy

ty+dy

 

Закон Ньютона -2 для элемента жидкости

;

Масса жидкости выражается через плотность

dm =rdV;

сила тяжести, действующая на элемент жидкости

F_gx=mg_x;

Сила давления, действующая в направлении оси абсцисс

F_p = (p_x-p_x+dx)dydz;

Сила трения, выраженная через касательные напряжения, действующая в направлении оси абсцисс

F_тр=(-t_y+t_y+dy)dxdz

разложение в ряд Тейлора для давления

;

Для касательного напряжения

t_y+dy = t_y+

после подстановки

 

Аналогично

F_тр = dxdz

Силу тяжести выражаем через плотность

F_gx = mrdVg_x;

Подставляя полученные величины в уравнение движения, имеем

 

Преобразуя к единице объема

Заменяем t по его определению(формуле Ньтона)

Расписывая полную производную скорости

Перепишем уравнение движения для проекции на ось абсцисс в форме

=

- для

координаты x;

Аналогично для координаты z и y

1й член уравнения –характеризует нестационарность;

2й – инерциальная составляющая;

3й – силы внешнего давления;

4й – вязкостные силы

5й – силы тяжести.

 

Тензорная форма записи этого уравнения:

здесь i =1; j = 1, 2, 3

 

 

По повторяющимся индексам проводится суммирование и этовыражение раскладывается как сумма:

- стационарное течение

Для стационарного случая уравнение движения жидкости принимает вид

после деления на плотность

Введем v_o – средняя скорость; - безразмерная величина; l – характерный размер.

Приведем выражение к безразмерному виду:

Прием, который используется при этом – деление и умножение каждой величины, входящей в уравнение на выбранную характерную

Введем

Безразмерный вид уравнения справедлив для любых величин

 

где

-кинематическая вязкость

Обезразмеривание позволяет выделить безразмерные комплексы, как, например

- критерий Рэйнольдса.

При увеличении критерия Рэйнольда вязкостная составляющая уменьшается(может исчезнуть. Критерий Рейнольда определяет силы вязкости(определяет при некоторых значениях турбулентное или моментальное движение жидкости).

 

 

Х.Тензоры.

 

1.Определение тензора. Чтобы прийти к определению рассмотрим поляризацию анизотропного диэлектрика.

В изотропном диэлектрике Р пропорциональна напряжённости электрического поля Е

Р=хЕ (Х.1)

Где х – диэлектрическая восприимчивость. Согласно (Х.1) векторы Р и Е коллинеарны.

В анизотропном диэлектрике поляризуемость по направлениям различна. Как показывает опыт, в любом анизотропном диэлектрике имеются 3 взаимно перпендикулярных направления таких, что при совпадении направления Е с одним из них вектор Р оказывается коллинеарным с Е. Эти направления называются главными. Направим оси координат вдоль главных направлений. Произвольно направленный вектор Е можно разложить на составляющие . Составляющая создаёт коллинеарную с ней поляризованность , где - восприимчивость в направлении оси ох. Аналогично другие составляющие создадут , нетрудно заметить, что при различных по величине результирующий вектор Р= будет не коллинеарен с Е.

Рассмотрим анизотропный диэлектрик, который мы будем считать однородной неограниченной средой. Свяжем с ним систему координат, тогда в поле направленном по оси х, отличными от нуля будут не только но и , причём

(Х.2)

Где – коэффициенты пропорциональности между компонентами Р.

Аналогично поля вызовут поляризованности

(Х.3)

В случае поля Е, не совпадающей не с одной из координатных осей, одновременно будут существовать так что возникнут все , определяемые формулами (Х.2) и (Х.3). Объединив соответствующие составляющие вектора Р, получим

(Х.4)

Перейдя от буквенных индексов к цифровым, запишем уравнения (Х.4) в компактном виде

(Х.5)

Из сказанного выше вытекает, что для анизотропного диэлектрика необходимо задать девять величин (в случае изотропного диэлектрика достаточно было одной величины х).

Перейдём от прежней системы координат (системы К) к новой системе (системе К’), оси которой так же не совпадают с главными направлениями диэлектрика. Выясним, как преобразуются величины при таком переходе.

(Х.6)

Здесь – девять величин, характеризующих диэлектрик в новой системе координат.

Согласно формулам VI.37 и VI.38, компоненты вектора Р при переходе от системы К к системе К’ преобразуются по формуле

(Х.7)

А компоненты вектора Е при переходе от системы К’ к системе К преобразуются по формуле

(Х.8)

Заменим в (Х.7) через согласно отношению (Х.5). В результате получим

Сопоставив полученное выражение с выражением (Х.6), получим

(Х.9)

Совокупность величин преобразующихся при переходе от системы координат К по формуле

(Х.10)

Называется тензором второго ранга (или тензором второго порядка, или тензором второй валентности).

Обратное преобразование (от системы К’ к системе К) осуществляется по формуле

(Х.11)

Т= (Х.12)

Величины называются компонентами тензора. Компоненты называются диагональными.

Таким образом, свойства анизотропного диэлектрика описываются тензором диэлектрической восприимчивости

(Х.13)

Особый интерес представляет случай, когда оси координат совпадают с главными направлениями диэлектрика. Сопоставление с (Х.5) приводит к выводу, что в рассматриваемом случае отличны от нуля только диагональные компоненты тензора, так, что тензор диэлектрической восприимчивости имеет вид

(Х.14)

Тензор, у которого отличны от нуля только диагональные элементы, называется приведённым к главным осям. Значения главных компонент, которые получаются в этом случае, называются главными значениями тензора.

Отметим, сто у изотропного диэлектрика все 3 главные значения диэлектрической восприимчивости одинаковы. Это значение диагональных составляющих тензора и представляет собой диэлектрическую восприимчивость, рассматриваемую в курсе общей физики. В качестве главных направлений изотропного диэлектрика могут быть взяты любые три взаимно перпендикулярные направления.

Рассматриваются тензоры не только второго, но и других рангов. Так например тензором третьего ранга называется совокупность 27 величин , преобразующихся при переходе от одной системы координат к другой по формуле

= (Х.15)

Понятие тензора легко распространить на понятие n измерений. Тензором r-го ранга в таком пространстве называется совокупность n’ величин (всего r индексов), преобразующихся по формуле, отличающейся от формулы (Х.15) лишь тем, что немые индексы пробегают не 3 а n значений.

Приведём ещё несколько примеров тензоров 2го ранга. Возьмём 2 вектора a и b и образуем из их компонент произведения вида

= (Х.16)

Тензор

( )= (Х.18)

Называется единичным тензором. Согласно формуле преобразования VI.39. Таким образом компоненты единичного вектора одинаковы во всех системах координат. Тензоры, обладающие такими свойствами называются инвариантными.

 

 

Лекция 7

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться: