Незатухающие гармонические колебания

Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

где F – сила упругости;

х –смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона , где а – ускорение, а = .

Разделим уравнение (1) на массу m и введем обозначение , получим уравнение в виде:

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .

Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота; – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; ₀ – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

– число колебаний,

– время, за которое совершается N колебаний;

;

или

;

или

;

– фаза незатухающих гармонических колебаний;

– полная энергия гармонических колебаний.

Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления; – скорость.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

(2)

Введем обозначения , , где – коэффициент затухания.

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Его решение , где

– амплитуда колебаний в начальный момент времени;

– циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

Рис. 11. График x=f(t)

Рис. 12. График A_t=f(t)

Характеристики:

1) – период затухающих колебаний; 2) – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды): .

Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы: , где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения .

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

где

(4)

– частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда , амплитуда достигает максимального значения.

Это явление называется резонансом.

Биофизика слуха. Звук. Ультразвук.

Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x; t).

" 0"

Рис. 13

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке " 0" имеет вид . Фронт волны дойдет до точки " х" с запаздыванием за время .

Уравнение волны имеет вид .

Характеристики волны:

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

– фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на .

Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

, .

Интенсивность: , –площадь, .

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

– плотность вещества.

Звуковые волны

Звук – это механическая волна, частота которой лежит в пределах , – инфразвук, – ультразвук.

Различают музыкальные тоны (это монохроматическая волна с одной частотой или состоящая из простых волн с дискретным набором частот – сложный тон).

Шум – это механическая волна с непрерывным спектром и хаотически изменяющимися амплитудами и частотами.

Характеристики звука

Энергетической характеристикой звука является интенсивность.

На практике для оценки звука удобнее использовать звуковое давление.

Звуковое давление ( ) – это избыток давления в звуковой волне над атмосферным.

, ,

где – скорость звука, – интенсивность звуковой волны.

Характеристики слухового ощущения

Высота тона – зависит от частоты, чем выше частота, тем выше звук (определяется минимальной частотой акустического спектра, рис. 14).

Тембр – " окраска" звука, зависит от состава акустического спектра (совокупность простых волн, образующих сложные).

Громкость – субъективная характеристика звука, которая характеризует уровень слухового ощущения.

– коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности;

– интенсивность исследуемого звука;

– порог слышимости; – порог болевых ощущений.

Для , , .

Единицей измерения громкости, является Белл – это громкость звука, которая при имеет , при этом .

. 1 Децибел (дБ) или 1 фон = 0, 1 Б.

Зависимость громкости от частоты учитывают с помощью кривых равных громкостей, получаемых экспериментально, и используется для оценки дефектов слуха. Метод измерения остроты слуха называется аудиометрия. Прибор для измерения громкости называется шумомер. Норма громкости звука должна составлять 40 – 60 дБ.

Ультразвук

Ультразвук – это механическая волна с частотой . Верхним пределом ультразвуковой частоты можно считать 10 ⁹ – 10 ¹⁰ Гц.

В 1880 г. П. Кюри открыл пьезоэффект.

Для получения ультразвука используют ультразвуковые излучатели, основанные на обратном пьезоэлектрическом эффекте: к электродам прикладывается переменное электрическое поле и пластинка кварца (сегнетовой соли, титаната бария) начинает вибрировать, излучая механическую волну определенной частоты.

Приемник ультразвука использует прямой пьезоэффект: возникновение разности потенциалов на гранях пьезокристалла при его деформации.

Формула (закон) Пуазейля

Основной движущей силой является кровяное давление, обусловленное превышением давления, вызванного работой сердца, над атмосферным.

где – разность давлений на входе и выходе сосуда;

– гидравлическое сопротивление сосуда;

– длина сосуда, – внутренний радиус сосуда,

– динамический коэффициент вязкости жидкости.

Давление крови в сосудах зависит от объемной скорости кровотока, радиуса сосуда, вязкости крови.

Согласно формуле объемная скорость кровотока пропорциональна градиенту давления: ~ (градиент давления) и обратно пропорциональна вязкости.

Однако может показаться удивительным, что ~ (радиус в четвертой степени). Это означает, что при одном и том же градиенте давления увеличение радиуса вдвое приводит к увеличению объемной скорости кровотока в 16 раз!

Интересный пример зависимости ~ можно найти и в системе кровообращения человеческого организма.

Поскольку формула Пуазейля справедлива лишь для ламинарного течения несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью, то она не может в точности выполнятся для крови. Так как кровь содержит взвешенные частицы, то течение крови не вполне ламинарно, а ее вязкость зависит от скорости течения. В этом случае формула Пуазейля является хорошим приближением в первом порядке. Однако, при атеросклерозе и отложении холестерина радиус сосудов уменьшается и тогда для поддержания нормального кровотока требуется более высокий градиент давления.

Элементы биомеханики сердца

Рассчитаем работу, совершаемую при однократном сокращении сердца.

– работа левого желудочка; – работа правого желудочка;

Работа сердца идет на продавливание (продвижение) объема крови по аорте сечением на расстояние при среднем давлении и на сообщение крови кинетической энергии:

, где

– объем крови,

– масса крови,

– плотность крови, – скорость течения крови.

Работа сердца при однократном сокращении равна 1 Дж, за сутки 86 400 Дж.

Мощность сердца за время систолы: .

Биопотенциалы

Биопотенциалы – это потенциалы электрических полей, созданных живыми системами от клеток до органов.

Существует разность потенциалов между внутренней и внешней поверхностями плазматической мембраны. Эта разность потенциалов называется мембранным потенциалом.

Биопотенциалы покоя – это постоянная разность потенциалов между внешней и внутренней средой клетки. Внеклеточная среда имеет высокую концентрацию ионов натрия (Na+) и хлора (Cl–). Внутриклеточная среда – калия (K+). Натрий-калиевый насос позволяет поддерживать различие концентраций ионов натрия и калия по обе стороны плазматической мембраны.

Потенциал покоя – разность потенциалов, регистрируемая между внутренней и наружной поверхностями мембраны в невозбужденном состоянии.

Мембранный потенциал покоя: МПП = 75 – 100 мВ. МПП определяется разностью концентраций ионов по разные стороны мембраны и диффузией ионов через мембрану.

При определенных физиологических условиях могут происходить изменения мембранного потенциала.

Потенциалом действия (ПД) называется электрический импульс, обусловленный изменением ионной проницаемости мембраны и связанный с распространением по нервам и мышцам волны возбуждения.

Принцип суперпозиции полей: суммарный потенциал органа или ткани равен алгебраической сумме потенциалов, созданных каждой клеткой в отдельности.

Рис. 29

– угол между направлением дипольного момента сердца и линией, которая соединяет точки 1 и 2;

– расстояние от середины диполя сердца до линии соответствующего отведения.

Электрокардиограмма (ЭКГ) – график временной зависимости разности биопотенциалов сердца в соответствующем отведении, рис. 30.

ЭКГ представляет собой сложную кривую: зубцы P, Q, R, S, T;

сегменты PQ, QRS, ST.

Для записи ЭКГ используют приборы, называемые электрокардиографами.

Блок-схема ЭКГ

*ПО – переключатель отведений;

**РУ – регистрирующее устройство.

Физические основы реографии

Реография – это метод оценки состояния (параметров) кровеносного русла путем измерения полного сопротивления (импеданса) участка ткани или органа переменному току.

Формула полного сопротивления биотканей переменному току:

Для уменьшения емкостного сопротивления используют высокую частоту. Измерения проводятся на частоте 30 кГц. При увеличении частоты увеличивается выделение тепла, что приводит к изменению состояния кровеносного русла. При частоте 30 кГц влиянием емкостных сопротивлений тканей и крови пренебрегают, поэтому , где = 1, 5 Ом ^. м – удельное сопротивление крови, R – омическое сопротивление участка кровеносного русла.

Выведем зависимость изменения объема крови в сосуде в соответствии с изменением полного сопротивления участка кровеносного русла: .

умножаем числитель и знаменатель на – длина сосуда.

( );

;

(1)

Чтобы найти изменения объема продифференцируем левую и правую часть уравнения (1).

– основная формула реографии, где

– изменение объема крови в сосуде;

– расстояние между электродами;

– базовое сопротивление участка ткани, на который накладывают электроды;

– максимальное изменение сопротивления участка кровеносного русла за один сердечный цикл.

Знак “–” в формуле указывает на то, что если сопротивление кровотока уменьшается, то объем крови увеличивается, и наоборот.

Реограмма – это график зависимости пульсових изменений импеданса от времени (рис. 31).

ab – анакрота;

bcd – инцезура;

bcde – катакрота;

– длительность анакроты (харак-теризует тонус и эластичность артерий);

А – амплитуда анакроты;

В – амплитуда инцезуры;

С – амплитуда катакроты;

Т – длительность одного сердечного цикла.

25. Основы электротерапии

Физические основы электротерапии

Электротерапия– метод лечения, основанный на воздействии постоянных и переменных электрических полей на биологические ткани.

Терапевтический эффектзависит от:

а) физических характеристик полей и токов;

б) типа реакции тканей.

Типы реакций биологических тканейна воздействие электрическим током:

1. Неспецифическая реакция тканей – имеет признаки:

а) выделение тепла;

б) увеличение проницаемости стенок сосуда;

в) изменение ионного состава межклеточной жидкости;

г) выделение медиаторов (АЦХ, гистамин и т.д);

д) возбуждение рецепторов и возникновение афферентных импульсов.

Эти признаки приводят к:

а) улучшению крово- и лимфообращения;

б) улучшению трофики тканей;

в) рассасыванию инфильтратов;

г) болеутоляющему эффекту.

2. Специфическая реакция тканей – возбуждение тканей.

Реакция раздражения тканей током подчиняется закону Дюбуа-Реймона: раздражение вызывается при изменении силы тока и зависит от скорости, с которой это изменение происходит.

Минимальное значение силы тока, вызывающее реакцию возбудимой ткани, называется порогом.

Согласно уравнению Вейса-Лапика: пороговое значение тока находится в обратно пропорциональной зависимости от быстроты нарастания тока:

I_п– пороговая сила тока; t_и – длительность импульса, q – заряд, R – реобаза – это пороговая сила тока прямоугольного импульса, независимо от длительности его действия.

Прямоугольный толчок тока используется в качестве раздражителя. Он должен быть не только достаточным по величине, но и минимальным по длительности. Соответствие между пороговой силой тока и его длительностью дано на графике (рис. 32).

В уравнении Вейса-Лапика при . Время, в течении которого ток в две реобазы вызывает возбуждение этой ткани, называется хронаксией или временем возбуждения. Хронаксия и реобаза характеризуют возбудимость ткани и свидетельствуют о функциональном состоянии.

Законы теплового излучения

1. Закон Кирхгофа (1859 г.): Отношение спектральной излучательной способности тел к их спектральной поглощательной способности не зависит от природы излучающего тела и равно спектральной излучательной способности абсолютно черного тела при данной температуре:

где – спектральная излучательная способность абсолютно черного тела.

Тепловое излучение является равновесным – сколько энергии излучается телом, столько ее им и поглощается.

Рис. 41. Кривые распределения энергии в спектрах теплового излучения

различных тел (1 – абсолютно черное тело, 2 – серое тело,

3 – произвольное тело)

2. Закон Стефана – Больцмана (1879, 1884): интегральная излучательная способность абсолютно черного тела ( ) прямо пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры (Т).

где – постоянная Стефана – Больцмана

3. Закон Вина (1893): длина волны, на которую приходится максимум спектральной излучательной способности данного тела, обратно пропорциональна температуре.

, где = – постоянная Вина.

Рис. 42. Спектры теплового излучения абсолютно черного тела при различных температурах

Рентгеновское излучение

Рентгеновское излучение – это электромагнитные волны в пределах длин

от 10^-7 до 10^-14 м.

Свойства рентгеновских лучей:

Способность вызывать свечение некоторых веществ (люминофоров).

Значительная проникающая способность (проходят через стекло, бумагу, дерево, эбонит, вещества малой атомной массы; задерживаются свинцом).

Оказывают ионизирующее действие.

Засвечивают фотохимические материалы.

Не отклоняются в магнитном поле, не заряжены.

34. Одним из источников рентгеновского излучения является рентгеновская трубка.

Рентгеновская трубка – это вакуумный прибор с двумя электродами: катодом (–) и анодом (+).

Давление в трубке 10^-5–10^-6 мм рт.ст. (рис. 43).

Рис. 43

Если кВ – диагностическое рентгеновское излучение;

если кВ – терапевтическое (для удаления опухолей).

При подогреве катода излучаются электроны. Попадая в электрическое поле между катодом и анодом электроны разгоняются до больших скоростей и тормозятся веществом анода.

С движением электрического заряда связано магнитное поле, индукция которого зависит от скорости электрона. При торможении уменьшается магнитная индукция и, согласно теории

Максвелла, появляется электромагнитная волна (рентгеновское излучение).