ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Косвенные измерения, как и прямые, оцениваются абсолютной и относительной погрешностями результата. Существуют два способа в определении абсолютной и относительной погрешности измерений.

Используя первый или второй способы в расчете абсолютной и относительной ошибок измерений для часто встречающихся зависимостей, можно воспользоваться соответствующими формулами, которые сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Вид функции	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
F = α + b	(Dα + Db)
F = α + b + c	(Dα + Db + Dc)
F = α - b	(Dα + Db)
F = α Чb	(α ЧDb + bЧDα )
F = α ЧbЧс	(bЧcЧDα + α ЧcЧDb +α ЧbЧDc)
F = α n	nЧα n-1ЧDα
F = en	Dn× en	Dn
F = ln α
F = sin φ	cosφ ЧDφ	ctg φ Ч Dφ
F = cos φ	sinφ Ч Dφ	tg φ Ч Dφ
F = tg φ
F = ctg φ

Правило I.Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.

Рассмотрим это более подробно. Допустим, что физическая величина F является функцией многих переменных:

F = f (x, y, z...).

 

Вначале находят абсолютную погрешность величины F, а затем относительную погрешность.

Для этого необходимо:

1. Найти полный дифференциал функции

.

2. Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, ... соответствующими абсолютными ошибками аргументов Dx, Dy, Dz, … (при этом знаки " минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками " плюс", так чтобы величина ошибки была максимальной):

.

Применяя это правило к частным случаям, получим:

- абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Если F= a + b, то DF = Da + Db;

- абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Если F = a - b, то DF = Da + Db;

- абсолютная погрешность произведения двух сомножителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (a_ср) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (b_ср) на абсолютную погрешность первого.

Если F = аb, то DF = a_ср Db + b_ср Dа.

Если F = a ⁿ , то DF = n а_ср^n-1Dа;

- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

Если F = , то DF = .

3. По определению найдем относительную погрешность

.

Правило II.Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий. Сначала находят относительную погрешность величины F, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.

1. Логарифмируют функцию F = f (x, y, z, ...).

2. Дифференцируют полученный логарифм по всем аргументам.

3. Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, ... абсолютными ошибками соответствующих аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки " минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками " плюс" ).

4. После вычислений получают относительную погрешность Е_F.

5. Абсолютную погрешность находят из формулы DF = F_ср × Е_F.

Примеры расчета погрешностей при косвенных измерениях.

1. В результате изучения равноускоренного движения некоторого тела (см. лабораторную работу 1) имеем его кинематическое уравнение

V₀ = (25 ± 1) м/с;

a = (1.5 ± 0.5) м/с²;

t = (50 ± 1) с;

S_ср. = 25 × 50 + = 3125м.

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда

.

V_0ср = 25 м/с; DV_0ср = 1 м/с;

t_ср = 50 с; Dt = 1 с;

a_ср = 1.5 м/с²; Da = 0.5 м/с².

Подставив эти величины в формулу для DS, получим

DS = 50 с × 1 м/с + 25 м/с × 1 с + 1/2 × 625 с² × 0.5 м/с² + 1.5 м/с² × 50 c × 1 c =50 м +25 м +156, 25 м +75 м = 306.25 м » 300 м.

Полученный результат показывает, что при определении пути (3125) цифра 1 является сомнительной. Значит, S = 3100 м. Тогда

E_S = × 100% = 0.096 × 100% = 9.6%.

Окончательный результат будет иметь вид:

S = (3100 300) м; Е_S = 9.6%.

2. При определении момента инерции физического маятника, пользуются формулой

I =

В результате измерений получено:

m = (1± 0.01) кг;

T = (1.45 ± 0.01) с;

D = (1 ± 0.05) м;

I_ср. = = 0.523 кг · м ²

Для определения абсолютной и относительной ошибок при оценке момента инерции в данном случае удобно пользоваться правилом II, т.к. функция I = f (m, d, T) удобна для логарифмирования. Тогда

ln I = ln m + ln g + ln D + 2ln T – ln 4 – 2 ln π.

Продифференцировав это равенство, получим

;

Так как

m_ср = 1 кг; Dm = 0.01 кг;

T_ср = 1.45 с; DT = 0.01 с;

D_ср = 1 м; DD = 0.05 м;

; E_F = 1.4%;

DI = I_ср × E_I = 0.523 Н × 0.014 = 0.007322 Н = 0.007 Н.

При определении момента инерции четвертая цифра слева является сомнительной и I =0.523 Н. Окончательный результат запишется в виде

I = (0.523 ± 0.007) Н; E_F = 1.4%.

ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

Любое округление чисел дает систематическую погрешность, следовательно, окончательный результат следует записывать с числом значащих цифр, на единицу превышающим число значащих цифр, полученных при измерении

При округлении необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. При округлении до определенного разряда числа производится простое отбрасывание цифр, стоящих после него, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5. Например, 54, 2641 округлим до третьего знака после запятой (это 4), 54, 264.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то цифра в выбранном для округления разряде числа увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр - 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, различные округления числа 12.878 будут 12.88; 12.9; 13.

3. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная. Например, 0.785 округляем до 0.78; 0.735 округляем до 0.74. В этом случае при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно так же часто, как и недостаточные, т.е. будет иметь место их взаимная компенсация.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: