Натуральный триэдр траектории.

КИНЕМАТИКА

__________________________________________________________

В разделе кинематики мы изучаем движение и устанавливаем основные пространственно – временные характеристики движения. В настоящем разделе, посвященном кинематике, отвлекаются от силовых взаимодействий между материальными телами и влияния на них силовых полей, а рассматривают механические движения тел, в отрыве от причин, которые создают и поддерживают эти движения. Движения в кинематике изучаются по отношению к некоторой системе отсчёта, представляющей жесткую, неограниченно простирающуюся во все стороны систему точек. В кинематике неважно, движется ли эта система или принимается неподвижной. Отметим, что такое равноправие систем не имеет места в динамике. В этом пространстве выбирается тело отсчёта, а в нём систему координат, например, три взаимно перпендикулярные координатные оси, служащие для определения положения отдельных точек тел.

Как указывалось в начале, пространство рассматривается как евклидово, так, применение теоремы Пифагора позволяет определить квадрат расстояния между двумя точками как сумму квадратов разностей соответствующих координат точек и т. п. Наряду с абсолютным пространством в классической кинематике используется понятие «абсолютного времени», одинаково и равномерно текущего во всех точках абсолютного пространства. В качестве такого времени принимается звёздное или среднее солнечное время. Заметим, что все выводы классической механики с достаточной для практики точностью справедливы, если скорости движения малы по сравнению со скоростью распространения света, а размеры областей пространства, в которых происходит движение, далеки от космических расстояний.

Глава 4.

Кинематика точки.

§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.

1. Координатный способ задания положения и движения точки. Положение точки в пространстве (рис. 17) будем определять ее вектор-радиусом , проведенным из произвольной, выбранной наперед точки О (начала координатной системы Oxyz). Из представленного рисунка (рис. 17) сразу видно, что проекции вектор-радиуса точки М на оси декартовых координат представляют не что иное, как координаты точки. Применяют и другие способы определения положения точки. Так, например, пользуются сферическими координатами: расстоянием r точки М от точки О (рис. 17), углом φ , и углом θ между осью OZ и вектор-радиусом . Вместо последнего угла θ можно рассматривать дополнительный угол ψ наклона вектор-радиуса к плоскости ОXY.

Координаты эти носят различные наименования в зависимости от области применения. Угол φ называют азимутом, иногда долготой, угол ψ - широтой, угол θ - полюсным углом. Если точка M лежит в плоскости Оху, то координаты φ и ρ носят наименование полярных координат. Для определения положения точки в пространстве существуют и другие системы координат, называемые вообще криволинейными координатами. Приведем формулы связи между декартовыми, цилиндрическими и сферическими координатами точки. Из рис. 17 следует:

х= ρ соsφ = r sin θ cos φ = r cos ψ соsφ,

у =ρ sin φ = r sin θ sin φ = r cos ψ sin φ, (2.1)

z = r cos θ = r sin ψ.

Если точка движется в пространстве, то ее координаты изменяются с течением времени. По закону изменения этих координат можно судить о характере движения точки. Предположим, что нам заданы координаты точки в функции времени, т. е. заданы уравнения

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах. Вместо декартовых координат х, у, z можно взять какие угодно другие координаты: полярные, сферические, цилиндрические и др. Выраженные в функции времени, они дадут уравнения движения точки в соответствующей системе координат.

2. Естественный способ задания точки.

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией. Для получения уравнений траектории необходимо из уравнений движения исключить время. При естественном способе задания движения точки задаётся траектория движения точки и дуга S(t), отсчитываемая от выбранного начала до положения точки на траектории. Можно представить траекторию движения как дорогу, по которой идёт человек, а S(t) как расстояние, пройденное по этой дороге.

Скорость точки.

Пусть за время точка пройдет по заданной траектории путь , тогда отношение характеризует среднюю быстроту изменения пути со временем за интервал или среднюю скорость движения точки за этот интервал. Предел средней скорости за интервал , при , называется скоростью в данный момент t

Условимся точкой, поставленной над буквой, в дальнейшем обозначать производную по времени. Для того, чтобы определить и направление движения, введём понятие вектора скорости. Пусть и определяют два положения точки на траектории за промежуток времени (рис. 22). Скоростью точки будем называть

или

(2.5)

Вектор скорости точки равен векторной производной вектор-радиуса точки по времени и направлен по касательной к траектории движения точки. Разложим вектор-радиус по соответствующим осям декартовой системы координат

Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая, что орты постоянны по величине и направлению будем иметь

что позволяет записать

. (2.6)

Модуль скорости равен

Ускорение точки.

В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и по направлению скоростью. Желая охарактеризовать изменение скорости, вводят меру быстроты этого изменения со временем — ускорение, которое должно учитывать векторное (геометрическое) изменение скорости, т. е. изменение ее по величине и по направлению. Для этого рассмотрим (как и для скорости) два значения скорости в моменты времени , и определим ускорение как

(2.6)

Если радиус – вектор представлен разложением по ортам декартовой системы координат

, тогда

Модуль ускорения равен

Считая координатами точки N – конца вектора , можно рассматривать вектор скорости, согласно (2.5), как скорость конца вектора , а считая - координатами точки М – конца вектора , можно рассматривать вектор ускорения, как скорость конца вектора . Применяя полученные выражения единичных вектором осей натурального триэдра траектории, найдем составляющие вектора ускорения по этим осям. Вспомнив, что вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости, получим

но , откуда следует

(2.7)

Равенство (2.7) представляет собой разложение вектора ускорения по осям натурального триэдра. Обозначив коэффициенты при единичных векторах, и записав проекции ускорения на оси натурального триэдра, соответственно через будем иметь:

причем из (2.7) следует, что

Последнее равенство говорит о том, что вектор ускорения перпендикулярен к бинормали, т. е. ускорение лежит в соприкасающейся плоскости. Первое слагаемое в разложении (2.7) - дает касательную (тангенциальную) составляющую ускорения, второе - нормальную составляющую ускорения. Иногда для кратко сти их называют просто касательным и нормальным ускорением. В случае ускоренного движения знаки и одинаковы, в случае замедленного движения - противоположны, т. е. при ускоренном движении касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и вектор скорости, а при замедленном движении имеет направление, противоположное скорости (рис. 23).

Итак, вектор ускорения в криволинейном движении может быть представлен как геометрическая сумма двух ускорений: касательного и нормального. Величина ускорения может быть представлена так:

Рассмотрим два частных случая:

а) Случай равномерного движения; величина скорости постоянна, так что , и величина ускорения равна в этом случае

б) Случай прямолинейного движения; кривизна прямой линии равна нулю и, следовательно, , и .

Из сопоставления этих двух случаев следует, что в равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю.

Отметим, что не следует смешивать и так как первое выражение определяет величину полного ускорения, а второе - абсолютное значение лишь одной его касательной составляющей. На различие этих величин указывалось уже выше (формула (2.2)). Разложение ускорения на касательную и нормальную части имеет простое кинематическое значение. Вектор ускорения, определяющий быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, представляется суммой касательного ускорения, характеризующего изменение величины скорости, и нормального, характеризующего изменение ее по направлению.

Твердого тела.

Перемещение любой точки тела, как было показано, складывается из поступательного перемещения, равного перемещению полюса, и вращательного вокруг оси, проходящей через полюс. Если рассматривать только бесконечно малые перемещения тела, соответствующие переходу тела из данного положения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно малых высших порядков можно представить вращательное перемещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота на вектор-радиус рассматриваемой точки по отношению к полюсу.

Так как , то , где -скорость полюса, разделив полученное выражение на , получим

. (2.30)

Эта основная формула кинематики твердого тела дает закон распределения скоростей в твердом теле в общем случае его движения.

Слагаемое определяет поступательную составляющую скорости, равную скорости полюса, второе слагаемое представляет собой вращательную составляющую скорости тела вокруг полюса О'.

Зная движение полюса и закон вращения тела вокруг полюса, т. е. имея уравнения движения, можем по формуле (2.30) определить скорость любой точки тела. Проекции скорости на оси получим по общим правилам проектирования векторных выражений. Выпишем проекции скорости на неподвижные оси:

Здесь Переходим к рассмотрению вопроса о распределении ускорений. Для этого продифференцируем левую и правую части (49) по времени; получим

или

(2.31)

Первое слагаемое определяет поступательное ускорение, равное ускорению полюса, а второе и третье: и - вращательную и центростремительную составляющие ускорения вращения тела вокруг полюса. Таким образом, получаем: ускорение точки твердого тела в общем случае его движения складывается из трех составляющих: 1) поступательного ускорения, одинакового в данный момент для всех точек тела и равного ускорению полюса; 2) вращательного ускорения вокруг полюса ( направлено по мгновенной оси и характеризует изменение угловой скорости по величине, - характеризует изменение угловой скорости по направлению и оно перпендикулярно мгновенной оси), 3) осестремительного ускорения, равного по величине произведению квадрата угловой скорости на кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Глава 8.

Вопросы для самопроверки по кинематике.

1. Векторная формула скорости точки. Чему равна скорость точки, если ее движение задано законом

2. Векторная формула ускорения точки. Чему равно ускорение точки, если ее движение задано законом x(t)=

y(t)= z(t)= ?

3. Формула нормального ускорения точки. Когда оно равно нулю?

4. Чему равно касательное ускорение точки, если ее движение задано законом ?

5. Как направлен вектор угловой скорости и вектор углового ускорения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

6. Какие ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Вам известны?

7. Чему равно и как направлено осестремительное ускорение (скалярная и векторная форма записи)?

8. Векторная формула скоростей точек плоской фигуры, постройте план скоростей.

9. Определите скорости и угловую скорость плоской фигуры, представленной на рис., если известны , АВ=1м, α =π /4, β =π /6.

10.

Определите угловые скорости стержней АВ и ВС, если угловая скорость стержня ОА равна ω =2 (1/сек), углы ОАВ=2π /3, угол АВС- прямой ОА=АВ=ВС/2.

11. Приведите примеры нахождения мгновенного центра скоростей. Где находится мгн. центр скоростей стержня АВ в указанном примере?

12. Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, если АВ=l.

13. Какие углы определяют положение тела, вращающегося вокруг неподвижной точки?

14. Векторная формула скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

15. Как определяется угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, прокомментируйте введенные обозначения.

16. Векторная формула сложения скоростей, чему равна переносная скорость точки?

17. Векторная формула сложения ускорений.

18. Чему равно абсолютное ускорение точки в указанном примере? Кольцо радиуса R вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω.. По кольцу движется точка с постоянной скоростью u. Определить абсолютное ускорение точки, когда она находится в верхнем положении.

19. Чему равно ускорение Кориолиса (формула), когда оно равно нулю?

20. Чему равно и как направлено ускорение Кориолиса точки, двигающейся со скоростью 2 м/с по шатуну АВ, когда кривошип ОА вращается с угловой скоростью 1рад/с. Угол наклона кривошипа с горизонтальной плоскостью равен π /3, АВ=3 АО?

21. Угловая скорость вращения тела относительно параллельных осей. Что такое мгновенно поступательное движение?

48. Напишите формулу Виллиса.

КИНЕМАТИКА

__________________________________________________________

Глава 4.

Кинематика точки.

§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.

х= ρ соsφ = r sin θ cos φ = r cos ψ соsφ,

у =ρ sin φ = r sin θ sin φ = r cos ψ sin φ, (2.1)

z = r cos θ = r sin ψ.

2. Естественный способ задания точки.

Натуральный триэдр траектории.

Прежде всего несколько разовьем ранее сказанное о вектор-функции и ее производной. Пусть - непрерывная вектор-функция скалярного аргумента u, геометрически изображаемая своим годографом, т. е. траекторией конца N векторов при непрерывно изменяющихся значениях аргумента u, и начало этих векторов откладывается от некоторого полюса О (Рис 19). Производная от вектор – функции по скалярному аргументу u, определяется как предел

(2.1)

и представляет вектор, имеющий направление касательной к годографу, проведенной в сторону, соответствующую возрастанию аргумента u. Вектор характеризует быстроту изменения по величине и направлению вектора с изменением аргумента u.

Величину или модуль производной будем обозначать через . Модуль производной вектора не равен значению производной его модуля.

(2.2)

При дифференцировании векторов сохраняются те же правила, что и при дифференцировании функций:

производная геометрической суммы (разности) вектор–функции равна геометрической сумме (разности) производных. Точно так же сохраняется и правило дифференцирования произведения скалярной функции X (u) на вектор :

Понятие вектор – функции и её производной облегчают рассмотрение основных геометрических свойств траектории, необходимых для развития представления о скорости и ускорения точки. Рассмотрим некоторую кривую, лежащую (вообще говоря) не в одной плоскости. Возьмём на этой кривой три точки М1, М2 и М. Проведём через эти три точки плоскость (предполагается, что три точки не лежат на одной прямой). Устремим точки М1 и М2 к точке М. Проведённая плоскость при этом будет каким – то образом поворачиваться и займёт предельное положения, когда все три точки сольются. Это предельное положение назовём соприкасающейся плоскостью (СП), в которой проведём касательную к кривой в точке М. Орт касательной в точке М обозначим . Проведем в точке М плоскость перпендикулярную к орту , эту плоскость назовём нормальной плоскостью (НП) кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна к , т. е. будет нормалью кривой; линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей определяет главную нормаль кривой. Иными словами, главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью кривой. Если, в частности, кривая — плоская, то соприкасающейся плоскостью будет плоскость, в которой расположена кривая, а главной нормалью — нормаль кривой, лежащая в этой плоскости.

Совокупность трех взаимно перпендикулярных осей: 1) касательной, направленной в сторону возрастания дуги, 2) главной нормали, направленной в сторону вогнутости кривой, и 3) бинормали, перпендикулярной к касательной и главной нормали образует так называемый натуральней триэдр кривой.

Единичные векторы этих осей обозначим соответственно через . Найдем выражения этих трех единичных векторов натурального триэдра через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги: . Найдем прежде всего . По определению векторной производной вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания дуги S. С другой стороны, численная величина производной равна . Таким образом, векторная производная представляет искомый единичный вектор касательной

(2.3)

Для определения единичного вектора главной нормали обратимся к рис. 20 и рис. 21.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами

. Если точка М1 взята на весьма малом расстоянии Δ S от точки М, то угол α (угол смежности) будет также мал и вектор

, с тем меньшей ошибкой, чем меньше Δ S, можно считать перпендикулярным к

и, следовательно, параллельным вектору нормали

, лежащему с

в одной и той же плоскости. По абсолютной величине

(как основание равнобедренного треугольника с малым углом α при вершине и боковыми сторонами, равными единице) будет равен

Отсюда найдем (с точностью до малых высших порядков):

или

. Будем приближать Δ S к нулю, тогда точка M1 будет стремиться к М, единичный вектор нормали

— к искомому единичному вектору

, и мы будем иметь:

. Второй множитель определяет кривизну кривой в данной точке, величина обратная кривизне – ρ называется радиусом кривизны

Таким образом, имеем следующее выражение орта главной нормали . Или в более привычной записи

(2.4)