Наибольшее и наименьшее значения функции

В замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (так называемый глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений

В замкнутой области

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 3.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области , ограниченной линиями: .

Решение. 1) Строим замкнутую область , ограниченную линиями: .

Û , , , .

Таким образом, получаем четыре стационарные точки, ни одна из которых не принадлежит области .

3) Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков и .

а) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

б) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ и .

Далее .

в) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

г) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной :

Находим критические точки: .

Þ . Значит, на границе критических точек нет.

4) Находим значения функции в вершинах области: . Выше были найдены значения функции и , что соответствует значениям функции в точках и . Поэтому находим значения функции в точках и :

;

Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

; .

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Скалярное поле

Предположим, что в каждой точке некоторой области задано значение скалярной физической величины , т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом называется скалярной функцией точки, записывается это так . Область , в которой определена функция , может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.

Определение 4.1. Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Будем считать, что скалярное поле стационарное, т.е. величина не зависит от времени .

Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например, силовое поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и др.

Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точки равносильно заданию ее координат , и тогда функция можно записать в обычном виде функции трех переменных: .

Рассмотрим точки области , в которых функция имеет постоянное значение , т.е. . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.

Определение 4.2. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхности равного потенциала).

Если скалярное поле плоское, т.е. изучается распределение значений величины в какой-то плоской области, то функция зависит от двух переменных, например, и . Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции , т.е. .

В прикладных науках часто употребляются линии уровня для представления изучаемой функции двух независимых переменных. Так, например, рассматривая высоту точки местности над уровнем моря как функцию двух переменных – координат точки, на карты наносят линии уровня этой функции. Они называются в топологии горизонталями. С помощью сети горизонталей удобно следить за изменением высоты местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар (линий одинаковых средних температур и линий равных средних давлений), являющимися линиями уровня температуры и давления как функции координат точки местности.

Пример 4.1. Построить в плоскости линии уровня функции .

Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .

Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку . Тогда .

Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:

Перейдем к пределу при .

Определение 4.3. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е.

Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:

, (4.1)

где - направляющие косинусы вектора .

В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:

, (4.2)

где .

Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью измененияфункции в точке по направлению вектора .

Градиент

В каждой точке области , в которой задана функция , определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных в выбранной точке . Назовем этот вектор градиентом функции и обозначим его символами или (набла-оператор, записываемый в виде «вектора» с компонентами ).

Определение 4.4. Градиентом функции в точке называется вектор, проекции которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

. (4.3)

Подчеркнем, что проекции градиента зависят от выбора точки и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией , соответствует определенный вектор – градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции есть постоянный вектор .

Учитывая то, что скалярное произведение равно модулю одного вектора умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что: производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, т.е.

где j - угол между и направлением .

Установим некоторые свойства градиента.

Отсюда следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда , т.е. при .

1) Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно .

Таким образом, направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция будет быстрее всего убывать. - наибольшая скорость изменения функции в точке .

2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

3) Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящего через эту точку.

Пример 4.2. Дана функция . Найти: