|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Кафедра «Информационных технологий и математики»Стр 1 из 4Следующая ⇒
Кафедра «Информационных технологий и математики» МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания к контрольным работам для студентов заочной формы обучения
Санкт-Петербург
Одобрено на заседании кафедры «Информационных технологий и математики» протокол №____ от «___» ________ 2015 г.
Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочной формы обучения.
Сборник содержит задачи контрольных работ по математической статистике для студентов заочной формы обучения всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПбУУЭ.
Составители: к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская к.э.н. Т.А. Черняк
Рецензент:
© Санкт-Петербургский университет управления и экономики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Требования к оформлению Контрольных работ 1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию, имя, отчество и личный шифр студента. 2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу. 3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение. 4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.
Формирование исходных данных к задачам Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника. Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу. Числовые значения параметров т и п определяются по двум последним цифрам личного шифра (А – предпоследняя цифра, В – последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п – из таблицы 2. Числа т и п следует подставить в условия задач контрольной работы.
Таблица 1 (выбор параметра т)
Таблица 2 (выбор параметра п )
Например, если шифр студента 1037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 1. Полученные т = 4 и п = 1 подставляются в условия всех задач контрольной работы студента.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература: 1. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ. Учебник для вузов. — М.: Издательство Юрайт, 2010 г. — 679 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9916-0229-7 2. Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Флинта, 2011 г. — 220 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9765-1192-7 3. Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Стандарт третьего поколения. — СПб.: Питер, 2012 г. — 192 с. — Электронное издание. — УМО. — ISBN 978-5-496-00120-5 4. Маталыцкий М.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. — Минск: Вышэйшая школа, 2012 г. — 720 с. — Электронное издание. — МО. — ISBN 978-985-06-2105-4 5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. Пособие: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.
б) дополнительная литература: 6. Богомолов, Н.В., Математика: учебник для бакалавриата: рекомендовано Мин. образования/ Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2012. - 396 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-1631-7: 291.61 р. 7. Гмурман, В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов: рекомендовано Мин. образования/ В. Е.Гмурман. - 11-е изд., перераб. и доп.. - М.: Юрайт, 2011. - 404 с. - (Основы наук). - Приложения: с. 388.. - ISBN 978-5-9916-1266-1: 336.71 р.
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 2 и решение типовых задач
Пример Результаты измерений некоторой физической величины представлены в таблице:
1. Найти функцию распределения выборки 2. Построить гистограмму относительных частот. 3. Найти числовые характеристики выборки: выборочное среднее 4. Используя функцию Лапласа, построить доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности 5. С помощью критерия Решение Объем выборки Таблица 1
1. Эмпирическая функция распределения Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:
График эмпирической функции распределения
-0, 25 2, 25 4, 75 7, 25 9, 75 12, 25 14, 75 17, 25 х
Рис. 1
2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.
0, 108
0, 08
0, 064
0, 032 0, 028
0, 02 0, 012
Рис. 2
3. Найдем числовые характеристики выборки. Выборочное среднее находим по формуле
Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле
4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
Используя таблицу значений функции Лапласа (приложение 1) находим Вычислим
или
5. Выдвигаем простую гипотезу
где
где Замечание. Если использовать таблицу значений функции Лапласа Для соблюдения условия Для вычисления критерия
Таблица 2
Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем Критерий
Находим критическую область Так как критерий
Условные средние компонент
где усреднение ведется в 1-ой формуле лишь по тем Функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей и может быть использована для прогнозирования значений одной из СВ, если известны значения другой СВ. Точность такого прогноза определяется условной дисперсией. Однако возможности практического применения функции регрессии весьма ограничены, так как для ее использования необходимо знать аналитический вид двумерного распределения
эта функция называется эмпирической функцией регрессии, а ее график – эмпирической линией (кривой) регрессии. На практике получают лишь оценку кривой регрессии, так как число значений величины Х в выборке конечно. Функция регрессии обладает замечательным свойством – она дает наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза, т.е. величина
является минимальной именно для функции
На этом свойстве построен метод наименьших квадратов для определения неизвестных параметров функции регрессии. Сущность метода наименьших квадратов состоит в выборе линии регрессии таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений Y от теоретических была наименьшей. Для иллюстрации метода рассмотрим частный случай линейной регрессии
По данным выборки требуется определить параметры а и b. Строим функцию
Используя корреляционную таблицу функцию
Составляем необходимые условия экстремума:
После упрощения система примет вид:
Последнюю систему называют нормальной, решая ее получаем значения неизвестных коэффициентов а и b. Уравнение регрессии можно также найти путем вычисления коэффициента регрессии. Уравнение регрессии у на х можно записать в виде
Число Пример Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом Таблица 5
1. Найти выборочные средние 2. Построить уравнение линии регрессии у на х в виде 3. На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки
Решение 1. Запишем законы распределения для случайных величин Х и Y:
Найдем числовые характеристики. Выборочные средние:
выборочные дисперсии:
2. Найдем уравнение линии регрессии
выше при вычислении числовых характеристик было найдено:
Используя корреляционную таблицу каждому варианту
результаты вычислений сведем в таблицу (таблица 6).
Таблица 6
Вычислим:
Подставим найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
Решим систему по формулам Крамера:
тогда
Таким образом, эмпирическая функция регрессии у на х имеет вид:
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии у на х путем вычисления коэффициента регрессии
Найдем:
выборочный корреляционный момент найдем по формуле
в нашем случае
выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
в нашем случае
Проверим гипотезу о существования связи между факторами Х и Y, вычислим
следовательно, связь достаточно вероятна. Подставим найденные значения
получим
после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии у на х
3. Изобразим корреляционное поле и построим прямую
Рис. 3
Краткое содержание (программа) курса
Математическая статистика Предмет и задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистический ряд распределения. Группированный статистический ряд. Полигон частот и относительных частот. Гистограмма частот и относительных частот. Эмпирическая функция распределения, ее свойства. Числовые характеристики выборки. Понятие точечной оценки. Критерии качества точечных оценок. Метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Доверительные интервалы. Основные этапы решения задачи о статистической проверке гипотез. Критерий согласия
Приложение 1 Значения функции Лапласа
Приложение 2 Таблица значений c2 в зависимости от r=n-1 и p. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 365; Нарушение авторского права страницы
………………………………….
и построить ее график.
и исправленную выборочную дисперсию 
.
.
(Пирсона) проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 
.
, длина интервала 
. Для нахождения эмпирической функции распределения 
, построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки 
каждого интервала, строкой относительных частот 
, строкой накопленных относительных частот 
и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот 
.
определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках 
.
0, 95
0, 88
0, 72
0, 52
0, 25
0, 11
0, 03
, в нашем случае
, в нашем случае
.
.
.
, тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
.
о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина
, 
находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе
, 
– функция Лапласа.
, то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле 
.
полагают 
, 
.
составим расчетную таблицу: 
.
равен сумме элементов последней строки таблицы 12: 
.
. Так как уровень значимости 
по условию, число степеней свободы 
, то согласно таблице распределения 
- 
, критическая область имеет вид 
.
не попал в критическую область 
, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности.
, 
, 
, которые появились совместно с данным у, а во 2-ой формуле лишь по тем 
, которые появились совместно с данным х.
. Поэтому идут на упрощение и вместо корреляционной зависимости рассматривают статистическую зависимость, которая устанавливает функциональную связь между значениями одной из величин и условным средним другой величины, например
, 
.
.
: 
.
можно записать в виде
.
.
.
.
называют коэффициентом регрессии у на х.
измерений задана корреляционной таблицей: 
и выборочные дисперсии 
.
.
и построить прямую 
, 
, 
, 
; 
, 
, 
, 
.
признака Х поставим в соответствие среднее арифметическое 
соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, т.е.
, 
.
.
.
, 
, 
, 
, 
, 
.
: 
, 
в уравнение
, 
.
(рис. 3).
(Пирсона). Выборка из двумерной генеральной совокупности, ее характеристики. Функция регрессии. Метод наименьших квадратов для нахождения неизвестных параметров функции регрессии.