Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Выборка из двумерной генеральной совокупности
Системой случайных величин (СВ) называют совокупность СВ, характеризующих состояние рассматриваемой системы или исход данного опыта. Обозначение: – n-мерная СВ. Каждую из величин называют составляющей или компонентой. Различают дискретные и непрерывные многомерные СВ: дискретные – если составляющие этих величин дискретны, и непрерывные – когда составляющие этих величин непрерывны. Полной характеристикой ССВ является ее закон распределения, который может иметь разные формы: функция распределения, плотность распределения, таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т.д. Рассмотрим двумерную СВ , возможные значения которой – пары чисел . Закон распределения дискретной двумерной СВ может быть задан таблицей распределения ( матрицей распределения ) (таблица 3), элемент которой, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, равен вероятности того, что двумерная случайная величина имеет значение : . Таблица 3
События при образуют полную группу, поэтому сумма всех вероятностей равна единице: . Зная матрицу распределения двумерной ДСВ можно найти законы распределения каждой из составляющих. Чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина Х или Y примет значение или , следует сложить все вероятности , стоящие в строке с номером i или столбце с номером j. Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. В противном случае величины Х и Y называются зависимыми. При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики одномерных составляющих Х и Y - математические ожидания и дисперсии: . Также рассматриваются условные математические ожидания и условные дисперсии. Например, условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в систему , называется ее математическое ожидание, вычисленное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном , т.е. функция , называется функцией регрессии случайной величины Y относительно случайной величины Х (у на х). График этой функции называется линией регрессии у на х. Аналогично определяется функция регрессии х на у, Числовые характеристики системы не исчерпываются числовыми характеристиками случайных величин, входящих в систему. Может иметь место взаимная связь между случайными величинами, составляющими систему. Для ее описания вводят в рассмотрение числовую характеристику – корреляционный момент. Корреляционным моментом (или ковариацией ) случайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих математических ожиданий: . Эта характеристика помимо рассеяния величин Х и Y описывает еще и связь между ними. Если случайные величины Х и Y независимы друг от друга, то корреляционный момент равен нулю. Обратное утверждение неверно, т.е. из равенства нулю корреляционного момента не следует независимость случайных величин Х и Y. Формула для вычисления корреляционного момента дискретных случайных величин: . Для характеристики связи между величинами Х и Y в чистом виде переходят от момента к безразмерной характеристике - коэффициенту корреляции случайных величин Х и Y: , где и – средние квадратические отклонения величин Х и Y. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке : . Если случайные величины Х и Y независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Случайные величины, для которых корреляционный момент, а значит и коэффициент корреляции, равен нулю, называется некоррелированными (несвязанными). Две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Обратное утверждение не всегда верно, могут быть случаи, когда случайные величины являются некоррелированными, но зависимыми. Если , где n – число двумерных случайных величин, то связь между случайными величинами Х и Y достаточно вероятна. Рассмотрим выборку из двумерной генеральной совокупности, отождествляемой с системой двух случайных величин . В результате n независимых наблюдений получили n пар чисел: . Статистический материал сводят в корреляционную таблицу (таблица 4): Таблица 4
где - частоты наблюденных пар значений признаков , , n – объем выборки. Если по данным корреляционной таблицы построить законы распределения для каждой компоненты X и Y, то числовые характеристики выборки можно найти по формулам: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 340; Нарушение авторского права страницы