I. Теоретический обзор математического аппарата изучения функциональных зависимостей

Стр 1 из 4Следующая ⇒

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Реферат

Выполнил: мл. с-т Панкратов Д.А.(411 уч.гр.)

Руководитель: профессор кафедры математики

Голицына И.А

Ярославль

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.
I. Теоретический обзор математического аппарата изучения функциональных зависимостей.
1.1.Понятие функции.
1.2.Периодические функции. 1.3.Свойства периодических функций.
1.4. Примеры периодических функций и их графиков.

II. Приложения периодических функций. Периодические колебания.
2.1. Колебания
2.2. Периодические колебания
2.3. Гармонические колебания. Гармонический осциллятор
2.4. Свободные колебания
2.5.Звуковые колебания
2.6. Вынужденные колебания. Резонанс
2.7 Автоколебания
2.8. Колебания тела человека и их регистрация
2.9. Вибрация
Заключение
Список литературы
Приложения

Введение

Впервые, начиная с 173 года, термин «функция» начал использовать в своих работах Готфрид Вильгельм Лейбниц (немецкий философ и математик). Спор о том, что такое функция, продолжался до XIX века, когда сформировалось такое определение функции: « переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у». Когда была создана общая теория множества, оказалось, что х и у не обязательно должны быть числами. Теперь под функцией понимают соответствие между любыми двумя множествами X и Y.

Цель данной работы: выделить среди функциональных зависимостей периодические зависимости. Расширить представления о периодических функциях и их применениях. Установить связь между разделами математики, физики, подготовить материалы, которые могли лучше усваивать общеинженерные дисциплины.

I. Теоретический обзор математического аппарата изучения функциональных зависимостей

Понятие функции

Традиционно понятие функции рассматривается как закон f или соответствие между двумя множествами X и Y, при котором каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент у из множества Y. Если элементы множеств X, Y некоторые числа, то закон f задает числовую функцию. В курсе математики общеобразовательной школы мы рассматривали следующие основные элементарные функции: степенная функция ; показательная функция ;

логарифмическая функция ; тригонометрические функции ;

обратные тригонометрические функции ; ; .

Из этих основных элементарных функций можно получить путем конечного числа арифметических операций и операции образования сложной функции (суперпозиции, т.е. составления из двух функций сложной функции ). К элементарным функциям относятся: целая рациональная или многочлен, дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов), иррациональные функции.

Периодические функции

В процессе изучения вопроса, мы встретились с различными определениями периодической функции в учебной литературе для высших учебных заведений

Периодическая функция ― это функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Можно определить периодическую функцию следующим образом: функция называется периодической, если существует такое число T≠ 0 (период), T> 0, что на всей области определения функции выполняется равенство:

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство , где - любое целое число. (Советская энциклопедия).

Или

Период и ческая ф у нкция - это функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Или

Функция с областью определения называется периодической, если существует хотя бы одно число , такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки принадлежат области определения для любого ;

2) для каждого имеет место соотношение:

Или

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается вещественные числа с операцией сложения или — комплексные числа). Функция называется периодической с периодом , если справедливо:

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериодическо й.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериодической функцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме натянутом на .

Замечание

Период функции определяется неоднозначно. В частности, если — период, то и любой элемент вида = , где — произвольное натуральное число, так же является периодом.

Примеры периодических функций и их графиков.

Примерами периодических функции могут служить тригонометрические функции. Рассмотрим основные из них.

Функция F(x) =sin(x)

а) Область определения: D (sin x) = R.

б) Множество значений: E (sin x) = [– 1, 1].
в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д) Нули функции: sin x = 0 при , n Z.

е) Промежутки знакопостоянства функции:

при , ;

при

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает при ;

функция убывает при ,

з) Экстремумы функции:
; .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

Функция F(x) = cos(x)

а) Область определения .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом .

д)Нули функции: при .

е)Промежутки знакопостояннства:

;
.

ж) Промежутки монотонности:

функция возрастает при ;

функция убывает при

з) Экстремумы:

; .

График функции y= cosx изображен на рисунке.

Функция F(x) = tg(x)

а) Область определения:

б) Множество значений: E ( )

в) Четность, нечетность. Функция нечетная.

г) Периодичность. Функция периодическая с основным периодом

д) Нули функции.: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

Функция F(x) = ctg(x)

а) Область определения: D (ctg x) = R \ { n( n Z ) }.

б) Множество значений: E (ctg x ) = R.
в) Четность, нечетность функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства;

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

Интересные графики получаются с применением суперпозиции-образования сложных функций на основе тригонометрических периодических функций.

График периодической функции

Колебания.

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебания являются процессами, повторяющимися через одинаковые промежутки времени (при этом далеко не все повторяющиеся процессы являются колебаниями). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.п. При механических колебаниях периодически изменяются положения и координаты тел. При электрических – напряжение и сила тока. В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные колебания, вынужденные, автоколебания и параметрические колебания.

Повторяющиесяпроцессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, склонен к колебаниям.

Периодические колебания.

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

• период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

• частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

Параметрические колебания осуществляются при периодическом изменении параметров колеблющейся системы (качающийся на качелях человек периодически поднимает и опускает свой центр тяжести, тем самым меняя параметры системы). При определенных условиях система становится неустойчивой - случайно возникшее отклонение из положения равновесия приводит к возникновению и нарастанию колебаний. Это явление называется параметрическим возбуждением колебаний (т.е. колебания возбуждаются за счет изменения параметров системы), а сами колебания – параметрическими. Несмотря на разную физическую природу, для колебаний характерны одни и те же закономерности, которые исследуются общими методами. Важной кинематической характеристикой является форма колебаний. Она определяется видом той функции времени, которая описывает изменение той или иной физической величины при колебаниях. Наиболее важными являются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Они называются гармоническими. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер очень близких к гармоническим. Во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение, или суперпозиция, гармонических колебаний.

Гармонический осциллятор

Пусть гармоническое колебание описывается периодическим законом:

(*)

Рис. Гармоническое колебание

Здесь x(t) - характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.), A - амплитуда колебаний, - фаза колебаний, - начальная фаза, - циклическая частота; - величину называют также собственной частотой колебаний. Такое название подчеркивает, что эта частота определяется параметрами колебательной системы. Система, закон движения которой имеет вид (*), называется одномерным гармоническим осциллятором.

Свободные колебания.

Свободными или собственныминазываются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении сообщается потенциальная энергия.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Звуковые колебания

Колеблющийся предмет толкает воздух, смещает частицы воздуха из тех положений, в которых они находились ранее. Понятно также что дело не может ограничиться влиянием лишь на близлежащий слой воздуха. Тело сожмет ближайший слой, этот слой давит на следующий - и так слой за слоем, частица за частицей приводится в движение весь окружающий воздух. Мы говорим, что воздух пришел в колебательное состояние или что в воздухе происходят звуковые колебания. При звуковых колебаниях каждая частица воздуха в среднем остается на месте - она совершает лишь колебания около положения равновесия. В самом простейшем случае частица воздуха может совершать гармоническое колебание, которое, как мы помним, происходит по закону синуса. Такое колебание характеризуется максимальным смещением от положения равновесия - амплитудой и периодом колебания, т. е. временем, затрачиваемым на совершение полного колебания. Для описания свойств звуковых колебаний чаще пользуются понятием частоты колебания, нежели периодом. Частота v = 1/T есть величина, обратная периоду. Единица частоты - обратная секунда (с^-1), однако такое слово не распространено. Говорят - секунда в минус первой степени или герц (Гц). Если частота колебания равна 100 с-1, то это значит, что за одну, секунду частица воздуха совершит 100 полных колебаний. Так как в физике весьма часто приходится иметь дело с частотами, которые во много раз больше герца, то имеют широкое применение единицы килогерц (1 кГц = 103 Гц) и мегагерц (1 МГц = 106 Гц).

При прохождении равновесного положений скорость колеблющейся частицы максимальна. Напротив, в положениях крайних смещений скорость частицы, естественно, равняется нулю. Мы уже говорили, что если смещение частицы подчиняется закону гармонического колебания, то и изменение скорости колебания следует тому же закону. Громкий разговор приводит частицы воздуха в колебание с амплитудой смещения всего лишь в несколько миллионных долей сантиметра. Амплитудное значение скорости будет величиной порядка 0, 02 см/с. Другая важная физическая величина, колеблющаяся вместе со смещением и скоростью частицы, - это избыточное давление, называемое также звуковым. Звуковое колебание воздуха состоит в периодическом чередовании сжатия и разрежения в каждой точке среды. Давление воздуха в любом месте то больше, то меньше давления, которое было при отсутствии звука. Этот избыток (или недостаток) давления и называется звуковым. Звуковое давление составляет совсем небольшую долю нормального давления воздуха. Для нашего примера - громкий разговор - амплитуда звукового давления будет равна примерно миллионной доле атмосферы. Звуковое давление прямо пропорционально скорости колебания частицы, причем отношение этих физических величин зависит только от свойств среды. Например, звуковому давлению в воздухе в 1 дин/см ² соответствует скорость колебания 0, 025 см/с.

Струна, колеблющаяся по закону синуса, приводит и частицы воздуха в гармоническое колебание. Шумы и музыкальные аккорды приводят к значительно более сложной картине. На рис. 6.9 показана запись звуковых колебаний, а именно звукового давления в зависимости от времени. Эта кривая мало похожа на синусоиду. Оказывается, что любое сколь угодно сложное колебание может быть представлено как результат наложения одной на другую большого числа синусоид с разными амплитудами и частотами. Эти простые колебания, как говорят, составляют спектр сложного колебания. Для примера такое сложение колебаний показано на рис.

С вопросом о звуковых колебаниях мы частично ознакомились на сайте http: //www.xliby.ru/fizika/fizika_dlja_vseh_molekuly/p8.php#metkadoc10. Эти материалы могут быть использованы при изучении курсантами, как математики, так и физики.

Автоколебания

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой. То есть система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

Автоколебания - это незатухающие колебания, которые могут существовать в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причём амплитуда и период колебаний определяются свойствами самой системы. Этим автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, амплитуда и период которых определяются характером внешнего воздействия (приставка «авто» и указывает на то, что колебания возникают в самой системе, а не навязываются внешним воздействием). Автоколебания отличаются и от свободных колебаний (например, колебаний свободно подвешенного маятника, колебаний силы тока в электрическом контуре) тем, что, во-первых, свободные колебания постепенно затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального «толчка», создающего эти колебания. Примерами автоколебаний могут служить колебания, совершаемые маятником часов, колебания струны в смычковых или столба воздуха в духовых музыкальных инструментах, электрические колебания в ламповом генераторе. Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными.

Вибрация

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.

Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, в руке человека, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.

Заключение.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. До сегодняшнего дня наша жизнь полностью связана с функциями. Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце вместе со всеми своими планетами вечно летит в космические дали. Кажется, причем здесь математика, а тем более функции и графики. Но, как образно заметил великий Г. Галилей (1564-1642гг), книга природы написана на математическом языке и ее буквы — математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. Очень многие процессы в окружающем нас мире имеют повторяющийся характер. Например, раз в год повторяется взаимное расположение Земли и Солнца. С течением времени повторяются день и ночь, приливы и отливы. Струи бьющих фонтанов привлекают правильностью и красотою своих линий, хотя не каждый знает, что это параболы. Если рулончик бумаги разрезать наискось и развернуть его, то край бумаги окажется разрезанным по синусоиде. Свет и звук имеют волнообразную природу, которую можно изобразить в виде синусоиды. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Функции вокруг нас, и являются частью нашей жизни, их можно использовать для описания физических явлений.

Выводы по работе. В результате исследования различных теоретических источников, нами выделен материал, который можно использовать в качестве повышения мотивации изучения математики. Данные материалы могут быть использованы для понимания связи между различными изучаемыми дисциплинами. В данной работе мы расширили имевшиеся у нас представления о функциях, в частности, о периодических функциях, на основе имеющихся знаний. Мы полагаем, что данная работа будет продолжена в плане установления связи между математикой и инженерными дисциплинами

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов
2. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х томах. Т.1.: Учебник для студентов вузов. – Минск: Тетрасистемс, 2003- 544с.
3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Учебник в 2-х частях. Ч.1. М.: МГУ. - 2007

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х томах. Т.1.- М.: -Интеграл-пресс, 2004. -416

5. Сильванович А.П. Математический анализ. Введение в анализ и дифференциальное исчисление. Учебное пособие для слушателей и курсантов вузов ПВО.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.
7. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики (в двух томах). 8. Макарова М.С. БМП-209. 9. Медицинская биологическая физика. Курс лекций с задачами: учебное пособие В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов. – 2008г.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Таблицы.

Комментарий. Приведены три таблицы, которые могут быть использованы курсантами в качестве опорных по некоторым вопросам данной темы

Приложение 2. Колебания. Звук. Музыка.

Комментарий. Данное приложение для установления связи между математикой, физикой и искусством.

Физические свойства звука

Элементарная теория музыки. ЭТМ – это изучение принципов нотного письма и основных элементов музыки: звукорядов, интервалов, аккордов, ладов, тональностей, ритма, метра и пр. Изучение теории музыки связано с изучением звуков. Музыка оперирует звуками. Теория музыки изучает закономерности, связанные со звуками. Итак, что же такое звук? Любой ли звук можно считать музыкальным?

Звук в физическом смысле - упругие волны, распространяющиеся в среде и создающие в ней механические колебания; Музыкант воспринимает звук иначе. Для музыканта звук – это ощущение, имеющее определенные музыкальные характеристики, такие как

· высота, длительность, тембр, сила, ладовая принадлежность

Большинство из перечисленных свойств звука имеет и сугубо физическое, научное объяснение. Рассмотрим основные свойства звука

Высота

Итак, колебания упругого тела создают звуковые волны, распространяющиеся в окружающей среде:

Рис. 1

Важная характеристика звука – количество колебаний в единицу времени (секунду). Чем больше количество колебаний в единицу времени, тем выше воспринимается человеком звук. На следующем рисунке показана частота в два раза большая, чем на рис. 1.

Это означает, что данный звук будет воспринят музыкантом на октаву выше от предыдущего. Пример на гитарной струне, сначала на открытой, потом зажатой по середине. Чем короче струна, тем выше частота ее колебаний при одинаковой силе натяжения. Толщина струны ограничивает ее максимальную частоту как снизу, так и сверху: более толстые струны можно «отпустить» больше, а более тонкие «натянуть» сильнее. Это в полной мере касается и человеческих связок. Сомкнутые связки – тоже упругое тело, способное под давлением воздуха из легких колебаться, издавая звук определенной высоты. У более низких голосов(альтов, басов) связки более длинные и более толстые, а высоких(сопрано, тенор) связки более короткие и более тонкие.

Вывод: высота звука напрямую зависит от частоты колебаний.

Частота звука измеряется в Герцах.

Для справки:

Герц — единица измерения частоты периодических процессов. Один герц соответствует одному периоду колебаний в секунду. Обозначается Гц или Hz. Назван в честь немецкого учёного-физика XIX века Генриха Герца.

Частотные границы восприятия звука человеком от 20 Гц – 20 000 Гц (20кГц). Частотный диапазон фортепиано, простирается от звука " ля" суб-контроктавы (частота 27, 5 Гц [интересно – это на границе слышимости! ]) до звука " до" пятой октавы (частота 4 186 Гц). Этот диапазон частот применяется в музыке. Только некоторые инструменты могут извлекать более низкие и более высокие звуки (орган, например[непроверено]). Большая часть всех музыкальных инструментов входит в диапазон, представленный фортепиано.

Длительность. Характеризует время колебания упругого тела с одной и той же частотой. Т.е. – время звучания. Длительность звука связана у человека с восприятием частоты. Необходимо некоторое минимальное количество колебаний в секунду для того, чтобы человек мог судить о высоте звука. Исследования показали, что минимальная длительность звука, необходимая для определения его высоты, зависит от его частоты.

Для G1, (контроктавы) требуется 0, 080 сек.; для g (малой октавы), 0, 035, для h2 (второй октавы), 0, 015; для h3 (третьей октавы), 0, 013; для h4 (пятой октавы), 0, 018; для es6 (шестой октавы), 0, 030.

Наиболее короткие звуки возможны в области частот от 700 до 3 200 к/с, т. е. от f2 до g4.

В низком регистре, в области субконтроктавы и контроктавы, длительность звука должна быть довольно большой. Не все инструменты могут извлекать звуки какой угодно длительности. Очень длинные звуки можно извлекать на органе, электроинструментах, относительно длинные – голосом и на струнных инструментах. Такие как рояль, пианино, акустическая гитара, обладают быстро угасающим звуком. В физике длительности измеряются в единицах времени, в музыке – записываются нотами. Паузы – перерывы в звучании так же имеют нотные обозначения.

Сила звука (Громкость)

Громкость звука напрямую зависит от амплитуды колебаний.

Рис. 3.

(пример на гитаре, щипая струну очень слабенько, видно как она колеблется, отклоняясь от положения равновесия очень немного, однако ее высота от щипка [почти] не зависит).

Тембр

Важная характеристика звука – форма звуковой волны.

Различные формы создаются колебанием всего упругого тела, и его частей.

Основная волна создает основной тон, чаще всего он самый громкий и его мы слышим как высоту звука. Колебания остальных частей создают более высокие, но гораздо более тихие(с меньшей амплитудой) призвуки – обертоны. Обертоны (нем. Obertö ne) — так называются высшие гармонические тоны, сопровождающие основной тон и обусловливающие собой так называется оттенок или тембр звука. Вывод. Таким образом, тембр (окраска звука) благодаря которому мы различаем звучание различных инструментов, обуславливается наличием различных составов обертонов. http: //kurs.mksat.net/_kurs1/lesson1_kurs1.htm