Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.Стр 1 из 6Следующая ⇒
Теорема 1. , где С = const. Теорема 2. Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Теорема 5. Если f(x)> 0 вблизи точки х = а и , то А> 0. Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0. Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и . Таблица пределов Замечательные пределы. Первый замечательный предел , Второй замечательный предел Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов. Кроме, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример . Найти предел: Пример . Найти предел:
Пример. Найти предел: . Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби. Тогда
Пример. Найти предел: . Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = . Пример. Найти предел: Пример. Найти предел: Разложим числитель и знаменатель на множители, тогда
Производная функции и дифференциал.
Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Например, дифференциал сложной функции. Пример. Задана функция . Найти
Задания для выполнения контрольной работы по теме 1. Задание 1. Вычислить пределы (выбрать один вариант):
Задание 2. Найти производные первого порядка данных функций, используя таблицу производных правила вычисления производных (выбрать один вариант): 1 вариант а) y = б) y = в) y = г) y = д) y = 2 вариант а) у = б) у = в) у = г) у = д) у = 3 вариант а) б) в) г) д) 4 вариант а) б) в) г) д) 5 вариант а) б) в) г) д) 6 вариант а) б) в) г) д) 7 вариант а) б) в) г) д) 8 вариант а) б) в) г) д) 9 вариант а) б) в) г) д) 10 вариант а) б) в) г) д) ТЕМА 2: НЕОПРЕДЕЛЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. План: 1. Понятие неопределенного интеграла. 2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. 3. Основные методы интегрирования в неопределенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям в неопределенном интеграле, интегрирование рациональных дробей. 4. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. 5. Основные методы интегрирования в определенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле, интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Понятие неопределенного интеграла. Определение. Функция называется первообразной функции заданной на интервале , если она дифференцируема и для любого из этого интервала . Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Свойства неопределенного интеграла. Пусть – одна из первообразных . 1. . 2. . 3. .
Таблица интегралов:
Непосредственное интегрирование.
3. Основныеметоды интегрирования в неопределенном интеграле: Замена переменной в неопределенном интеграле (или метод подстановки) Пусть требуется найти неопределенный интеграл , но непосредственно подобрать первообразную для не удается, хотя известно, что она существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов или легко вычисляется другим способом. Такой метод называется методом замены переменной (метод подстановки), или методом подстановки. Итак, введем новую переменную по формуле – дифференцируемая функция на некотором интервале, при этом функция непрерывна на соответствующем интервале изменения . Тогда – формула замены переменной в неопределенном интеграле. Пример. Найти . Сделаем замену переменной по формуле: . |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 1202; Нарушение авторского права страницы