Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).

Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, …, xn – xn-1 = Dxn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.

[x0, x1] ® m1, M1; [x1, x2] ® m2, M2; … [xn-1, xn] ® mn, Mn.

Составим суммы:

n = m1Dx1 + m2Dx2 + … +mnDxn =

n = M1Dx1 + M2Dx2 + … + MnDxn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма – верхней интегральной суммой.

Т.к. mi £ Mi, то n £ n, а m(b – a) £ n £ n £ M(b – a)

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку e.

x0 < e1 < x1, x1 < e < x2, …, xn-1 < e < xn.

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].

Sn = f(e1)Dx1 + f(e2)Dx2 + … + f(en)Dxn =

Тогда можно записать: miDxi £ f(ei)Dxi £ MiDxi

Следовательно,

Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим maxDxi – наибольший отрезок разбиения, а minDxi – наименьший. Если maxDxi® 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. Если , то

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение: , где а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

 

Свойства определенного интеграла

1)

2)

3)

4) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] a < b, то

5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8)

Теорема Ньютона – Лейбница

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то - это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

 

5. Основные методы интегрирования в определенном интеграле

Замена переменных в определенном интеграле

Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢ (t) непрерывны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) определена на отрезке [a, b], то

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

 

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Если функции u = j(x) и v = y(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.

 

Задания для выполнения контрольной работы по теме 2.

 

Задание 3. Вычислить неопределенные интегралы (выбрать один вариант):

1.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

2.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

3.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ; 10) .	8) ;	9) ;
4.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

5.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .
6.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

7.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

8.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

9.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

 

10.	1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) .

Задание 4 вычислить определенные интегралы (выбрать один вариант):

1.	1) ; 2) .	2.	1) ; 2) .	3.	1) ; 2) .
4.	1) ; 2) .	5.	1) ; 2) .	6.	1) ; 2) .
7.	1) ; 2) .	8.	1) ; 2) .	9.	1) ; 2) .
10.	1) ; 2) .

 

ТЕМА 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема: Алгебра событий

План:

1. События, их классификация, вероятность события.

2. Операции над событиями.

3. Непосредственные вычисления вероятности (классический, геометрический, статистический метод).

4. Теорема сложения и умножения вероятностей.

5. Формула Бернулли. Формулы полной вероятностей и Байеса.

6. Локальная и интегральная теорема Лапласа.

1. События, их классификация, вероятность события.

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности. Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей .

 

Операции над событиями.

События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

 

Объединением или суммой событий А_k называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий А_k.

Пересечением или произведением событий A_k называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.

 

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

 

Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

 

3. Непосредственные вычисления вероятности (классический, геометрический, статистический метод).

Классический метод определения вероятности.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: