Линейных математических моделей.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

В качестве примера рассмотрим реальную схему электрической системы (рис.2.1), которая включает в себя тепловую электростанцию (ТЭС), линии электропередач различных номинальных напряжений (Л1-Л6), понизительные подстанции и обобщенные нагрузки (Н1-Н4).

Рис. 2.1

Предварительным этапом перед проведением расчета установившегося режима является переход от принципиальной к схеме замещения, а затем к расчетной схеме, формируемой на основе теории графов.

Под схемой замещения ЭС понимается совокупность схем замещения отдельных элементов, соединенных в той же последовательности, что и в реальной схеме.

Теория формирования схем замещения рассматривается в специальных курсах. Ограничимся примером формирования схемы замещения простейшей электрической системы, в объеме необходимом для понимания структуры расчетной схемы.

Будем рассматривать симметричные установившиеся режимы, при которых используется схема замещения одной фазы.

Принципиальная схема любой ЭС включает в себя три группы элементов:

· источники энергии,

· потребители или нагрузку

· электрические сети, соединяющие источники с потребителями.

Возможны следующие варианты схем замещения для источников энергии: источник напряжения с ЭДС и внутренним сопротивлением (рис.2.2, а); источник тока J, равный току установившегося режима (рис.2.2, б); задающий ток J, равный току источника тока (рис.2.2, в). Использование задающих токов J, как модели источника энергии, повышает наглядность схем замещения сложных электрических систем.

Потребители электроэнергии (нагрузка) моделируются с помощью следующих схем замещения: сопротивление нагрузки Z (рис.2.3, а); источник тока J, равный взятому с обратным знаком току нагрузки (рис.2.3, б); задающий ток J, равный току источника тока (рис.2.3, в);

Схемы замещения элементов электрической сети представляют собой сопротивления Z, причем схемы замещения трансформаторов подстанций объединяются со схемами замещения источников энергии и нагрузок.

С учетом рассмотренных схем замещения отдельных элементов, приведем вариант схемы замещения (рис.2.4) электрической системы, представленной на рис.2.1.

При этом произведем, известные из курса ТОЭ, преобразования: приведем схемы к одному номинальному напряжению, схемы замещения трансформаторов подстанций объединим со схемами замещения источников питания и нагрузок; смоделируем нагрузку и генерацию мощности с помощью задающих токов.

Введены обозначения полученных в ходе преобразования сопротивлений и узлов схемы замещения, из которых один узел генераторный и 4 узла — нагрузочных.

По такой схеме замещения может быть составлен топографический направленный граф, который используется как расчетная схема (рис.2.5).

Данная расчетная схема содержит четыре независимых узла (1, 2, 3, 4) и один балансирующий узел (Б). Задающие токи в узлах 1, 2, 3, 4 моделируют нагрузку и имеют отрицательные значения. В качестве балансирующего выбран генераторный узел, в котором задано значение напряжения . Каждая ветвь схемы имеет произвольное направление.

Расчетная схема содержит два независимых контура (I, II), направление обхода каждого заданно произвольно.

Схемы замещения современных электрических систем имеют сотни узлов и ветвей, образующих сложно-замкнутую структуру. Расчет режимов функционирования подобных технических систем невозможен без использования вычислительной техники. Поэтому важное значение приобретает использование единого формализованного подхода, основанного на аппарате алгебры матриц и позволяющего дать описание схем любой сложности и конфигурации. Матричная форма представления обеспечивает компактность и наглядность представления большого количества исходной и результирующей информации при проведении расчета режимов сложных схем.

Уравнения состояния ЭС.

Основные формы уравнений состояния ЭЭС: обобщенное уравнение состояния, уравнения узловых напряжений, контурные уравнения подробно описаны в [1].

В качестве примера линейных математических моделей рассмотрим наиболее широко используемые на практике формы уравнений состояния - обобщенное уравнение состояния и уравнение узловых напряжений в матричной форме или в виде системы уравнений, которые описывают нормальный режим работы ЭЭС.

Обобщенное уравнение состояния в матричной форме имеет вид:

, (2.1)

где - объединенная матрица коэффициентов, которая включает в себя две матрицы , и имеет следующую структуру:

- матрица инцидениций 1-го рода, предназначена для описания структурных связей узлов и ветвей в расчетной схеме. ( - количество узлов, - количество ветвей);

Структура:

Правило формирования: каждый элемент матрицы , располагается на пересечении строки (номер узла) и столбца (номер строки), его значение определяется следующим образом:

-1, если ветвь входит в узел

= 1, если ветвь выходит из узла

0, если ветвь не соединена с узлом .

-произведение двух матриц:

- структурная матрица инциденций второго рода, отражающая связь ветвей в независимые контуры .

Структура:

Правило формирования:

-1, если направление ветки

противоположно направлению обхода контура

1, если направление ветки совпадает с

направлением обхода контура

0, если ветвь не входит в контур

- матрица сопротивлений ветвей.

- объединенная матрица свободных членов, включающая в себя:

- вектор задающих токов; - вектор ЭДС контуров.

При использовании обобщенного уравнения состояния расчет установившегося режима ЭЭС производится в следующем порядке: вначале определяются токи в ветвях схемы , а затем рассчитываются падения напряжения в ветвях , напряжения в узлах , потоки активной и реактивной мощностей и т.д. Пример расчета приведен ниже при описании реализации в среде Mathcad.

Общий вид уравнения узловых напряжений [1, 2]:

, (2.2)

где - матрица узловых проводимостей;

- матрица проводимостей ветвей, обратная матрице сопротивлений ветвей ;

- матрица узловых напряжений;

- базисное напряжение балансирующего узла.

Для большинства реальных схем замещения нагрузка и генерация мощности моделируются с помощью задающих токов , поэтому ЭДС в ветвях отсутствует. Тогда (при ) уравнение узловых напряжений имеет вид:

, (2.3)

Матрица узловых проводимостей рассчитывается по формуле:

, (2.4)

где

- транспонированная матрица инциденций первого рода;

— матрица узловых проводимостей.

Структура определяется физическим смыслом ее элементов:

· на главной диагонали расположены собственные проводимости узлов , равные сумме проводимостей ветвей, соединенных с узлом ;

· симметрично относительно главной диагонали расположены взаимные проводимости (со знаком минус), которые равны проводимости ветви, находящейся между узлами и , или нулю при отсутствии связи между узлами.

Матрица является симметричной и слабо заполненной, т.е. содержит большое число нулевых элементов. Эти свойства позволяют реализовать на ЭВМ эффективные алгоритмы расчета режимов с учетом слабой заполненности массивов.

Использование уравнений узловых напряжений приводит к следующему порядку расчета режима ЭС: в начале определяются значения напряжений в узлах схемы , затем рассчитываются токи и падения напряжения в ветвях схемы, потоки активной и реактивной мощности , потери мощности в электрической сети и т.д.

Пример расчета на основе линейной модели.

Условие задачи: Для расчетной схемы, представленной на рис. 2.5 записать матричное уравнение узловых напряжений и рассчитать значения узловых напряжений методом Гаусса.

Исходные данные:

- сопротивления

ветвей;

- задающие токи, моделирующие

подключение нагрузки.

Расчет начинается с формирования уравнения состояния по расчетной схеме:

1. Составим матрицу инциденций 1-го рода.

1 2 3 4 5 6

При правильном составлении матрицы М строка, соответствующая балансирующему узлу, дополняет каждый столбец до нуля.

2.Составим транспонированную матрицу

3.Определяем матрицу узловых проводимостей

В матричной форме уравнение узловых напряжений имеет вид:

(2.5)

5. Перейдем к системе уравнений:

(2.6)

Далее, используя уравнения узловых напряжений, можно провести расчет установившегося режима в следующем порядке:

1. Решая систему уравнений вида (1.12), определяются значения узловых напряжений . Произведем расчет с помощью метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса состоит из однотипных шагов, связанных с формированием из матрицы коэффициентов верхней треугольной матрицы.

Шаг 1. Получим первое ключевое уравнение, для чего разделим первое уравнение системы (2.5) на коэффициент при , а затем исключим из всех уравнений, расположенных ниже ключевого.

(2.7)

Шаг 2. Принимаем за ключевое второе уравнение (разделим все коэффициенты на ) и исключим из уравнений ниже ключевого.

Преобразованная система, начиная с ключевого уравнения имеет вид:

(2.8)

Шаг 3. Принимаем за ключевое третье уравнение и исключаем из всех уравнений ниже ключевого, преобразованная система, начиная с ключевого уравнения имеет вид: