Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.

Определение. Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: = , = . Тогда углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB, т.е. a =Ð AOB. Пишем a =Ð ( , ).

Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если кратчайший поворот

от луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что a > 0, а если по часовой – то a < 0 . Таким образом, – p < a £ p. Если a > 0, то пара векторов (, ) называется правой, а если a < 0 – то левой.

В пространстве понятие ориентированного угла не имеет смысла. Если посмотреть на плоскость, в которой лежат лучи OA и OB с одной стороны, то увидим, что кратчайший поворот от OA к OB осуществляется в одном направлении, а если посмотреть на плоскость с другой стороны, то мы увидим тот же поворот в другом направлении.

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора, , . Отложим их из одной точки О: = , = , = . Тройка векторов (, , ) называется правой, если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C , выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (, , ) называется левой. На рисунке изображена правая тройка векторов.

Проекция вектора на ось.

Пусть l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку OÎ l и единичный вектор ||l.Построим направленный отрезок = . Прямая l с отрезком называется осью. Иногда говорят, что ось – это прямая, на которой задано направление.

Определение. Пусть – произвольный вектор, а – произвольный направленный отрезок, который представляет. Опустим перпендикуляры AA₁ и BB₁ на прямую l. Пусть = . Тогда вектор

называется векторной проекцией вектора на ось l и обозначается p_l.

Мы имеем ||. Поэтому согласно теореме 1 существует такое число p, что = p. Это число называется скалярной проекцией вектора на ось l. Поскольку –

единичный вектор, то p – это длина вектора, если ­­, и p = – ||, если ­¯. Будем обозначать скалярную проекцию так: P_l.

Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:

p_l = (P_l ); (*)

Если ^, то, очевидно, A₁= B₁ и P_l = 0.

Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка, который представляет вектор. Другими словами, если мы отложим вектор от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся, – и это надо доказать.

Проведем через точки A и B плоскости a и b перпендикулярно l. Тогда ½ p½ =½ P_l½ есть расстояние между a и b.Выберем другой направленный отрезок, представляющий и проведем через точки A¢, B ¢ плоскости a¢ и b¢ перпендикулярно l. Направленные отрезки и эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость a совместится с a¢, а плоскость b – с b¢. Значит, расстояние между a¢ и b¢ равно расстоянию между a и b, и оно равно ½ p½. Поэтому ½ p½ не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего. В силу равенства (*) p_l также не зависит от выбора направленного отрезка.

Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.

1. P_l =| |cosÐ (, );

2. P_l(l ) = lP_l , p_l(l ) = l(p_l );

3. P_l( + ) = P_l + P_l, p_l( + ) = p_l + p_l .

Доказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A , из которой отложен вектор, мы можем отложить его из точки О. Обозначим j =Ð (, ).

1 случай: j £ p/2. Тогда из DOBB₁ получим, что

p =½ OB₁½ =½ OB½ · cos j = | |cos j.

2 случай: j > p/2. Тогда из DOBB₁ получим, что

p = –½ OB₁½ = –½ OB½ · cos (p– j) = | |cos j.

2. Для скалярных проекций:

1 случай: l > 0. Тогда l ­­ и Ð (, l ) = j. Значит,

P_l(l ) =½ l½ cos Ð (, l ) =

= l| |cos j = lP_l .

2 случай: l < 0. Тогда l ­¯ ,

Ð (, l ) = p – j и cosÐ (, l ) = – cos j,

P_l(l ) =½ l½ cosÐ (, l ) = –l| |(– cos j) =

= l| |cosÐ (, ) = lP_l .

3случай: l = 0. Тогда равенство очевидно.

Для векторных проекций с помощью равенства (*) получаем:

p_l(l ) = (P_l(l )) · = l(P_l ) · = l(p_l ).

3. Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].

Для скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,

P_l( + ) = |A₁C₁|,

P_l = |A₁B₁|,

P_l = – |B₁C₁|,

и мы видим, что

|A₁C₁|= |A₁B₁|+(– |B₁C₁|).

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: