Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MM_o на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½ MM_o½ = z. Обозначим r =½ OM½, y =Ð M_oOM ; при этом, если z > 0, то считаем, что y > 0, а если z < 0, то y < 0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки M_o на

плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2. Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, M_o= O и тогда j считается неопределенным.

Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки M. Из DOMM_o находим, что

r = r × cosy, r = ,

z = r × siny. (15) y = arcsin (15¢ )

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢ ) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x = r cos j × cosy, r =,

y = r sin j × cosy, (16) j = ± arccos , (16¢ )

z = r × siny. y = arcsin( z /r) .

Во второй формуле из (16¢ ) знак выбирается в соответствии со знаком y.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(j, z).

 

 

Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий.

§16. Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и O¢ x¢ y¢, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O¢ разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O¢.

Пусть нам известны координаты точки O¢ относительно первой СК: O¢ (a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x¢, y¢ ) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

(a, b), (x, y), (x¢, y¢ ).

По правилу треугольника сложения векторов

= + .

Отсюда

x = x¢ + a, x¢ = x – a,

y = y¢ + b. y¢ = y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O¢ (a, b, c), то к

формулам (17) и (17¢ ) только добавятся равенства z¢ = z + c и z = z¢ + c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

Пусть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Ox¢ y¢. Пусть a – ориентированный угол между положительными направлениями осей Ox и Ox¢. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол a. Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x¢, y¢ ) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть j – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором, а y – между Ox¢ и. Тогда j = y + a. Обозначим r =½ OM½. Тогда

x = r cos j, x¢ = r cos y,

y = r sin j. y¢ = r sin y.

x = r cos (y + a) = r cos y × cos a – r sin y × sin a = x¢ × cos a – y¢ × sin a,

y = r sin (y + a) = r cos y × sin a + r sin y × cos a = y¢ × sin a + y¢ × cos a.

Итак,

x = x¢ × cos a – y¢ × sin a,

y = x¢ × sin a + y¢ × cos a.

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – a, то с учетом cos(-a) = cos a, sin(-a) = – sin a, из (18) получаем

x¢ = x × cos a + y × sin a,

y¢ = – x × sin a + y × cos a.

Если в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18¢ ). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

Важно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M ¢ (x¢, y¢ ) получается из точки M(x, y) поворотом вокруг начала координат на угол a . Для того, чтобы найти, как выражаются (x¢, y¢ ) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол – a . Поэтому имеем формулы

x¢ = x × cos a – y × sin a,

y¢ = y × sin a + y × cos a.

Допустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и O¢ x¢ y¢. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O¢ (получим промежуточную СК O¢ x² y² ), а затем – поворот координатных осей. Тогда

x² = x – a, x = x² + a,

y² = y – b. y = y² + b.

x¢ = x² × cos a + y² × sin a, x² = x¢ × cos a – y¢ × sin a,

y¢ = –x² × sin a + y² × cos a. y² = y¢ × sin a + y¢ × cos a.

Подставляя x² и y² из первой системы в третью, получаем, что

x¢ = (x – a) × cos a + (y – b) × sin a,

y¢ = –(x – a) × sin a + (y – b) × cos a.

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x¢, y¢ ).

§17. Общее преобразование координат в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R = {O, , , } и R ¢ = {O, , , } – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x₁, x₂, x₃) – его координаты в первой СК, (, x₂¢ , x₃¢ ) – во второй. Будем называть (x₁, x₂, x₃) старыми координатами вектора, а (, x₂¢ , x₃¢ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢ = { , , } по первому базису B = { , , } :

= с₁₁ + с₂₁ + с₃₁,

= с₁₂ + с₂₂ + с₃₂, (20)

= с₁₃ + с₂₃ + с₃₃.

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с₁₁ с₁₂ с₁₃

С = с₂₁ с₂₂ с₂₃

с₃₁ с₃₂ с₃₃ .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

= x₁ + x₂ + x₃

= x₁¢ + x₂¢ + x₃¢ .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

= x₁¢ (с₁₁ + с₂₁ + с₃₁) + x₂¢ (с₁₂ + с₂₂ + с₃₂ ) + x₃¢ (с₁₃ + с₂₃ + с₃₃ ).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

= (с₁₁x₁¢ + с₁₂x₂¢ + с₁₃x₃¢ ) + (с₂₁+ с₂₂x₂¢ + с₂₃x₃¢ ) + (с₃₁+ с₃₂x₂¢ + с₃₃x₃¢ ).

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x₁= с₁₁x₁¢ + с₁₂ x₂¢ + с₁₃ x₃¢ ,

x₂ = с₂₁+ с₂₂ x₂¢ + с₂₃x₃¢ , (21)

x₃ = с₃₁+ с₃₂x₂¢ + с₃₃ x₃¢ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x₁ x₁¢

X = x₂ X ¢ = x₂¢

x₃, x₃¢ ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

X = CX ¢ (21¢ )

Þ X ¢ = C ^–1X , (22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C ^–1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений (21) относительно неизвестных x₁¢ , x₂¢ , x₃¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢ ) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢ ) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку O¢ (a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x₁= x₁¢ + a, x₁¢ = x₁ – a,

x₂ = x₂¢ + b, (22) x₂¢ = x₂ – b, (22¢ )

x₃ = x₃¢ + c. x₃¢ = x₃ – c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.

Примеры решения задач.

1. ABCD – параллелограмм, O – его центр, M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы = и = выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора в базисе {, }.

Решение. По правилу треугольника = + ; =, а по

правилу параллелограмма сложения векторов = + = +. Поэтому = (+ ) + = + . Значит, .

Ответ: .

2. Даны координаты векторов (17, 0) и (–1, 1) в ортонормированном базисе. Найти такое l, при котором вектор = +l имеет абсолютную величину || = 25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный .

Решение. Вектор = +l· имеет координаты (17 – l, 0 + l). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного l:

(17 – l)² + l² = 625,

2l² – 34l + 289 = 625 Û 2l² – 34l – 336 = 0, Û

Û l² – 17l – 168 = 0.

Решая его, находимl₁ = – 7; l₂= 24.Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся l₁= – 7.Тогда находим координаты вектора (24, 7). И, чтобы получить единичный вектор ‌ ||, мы делим координаты вектора на длину этого вектора, т.е. на 25: .

Ответ: l₁= – 7, .

3. Даны координаты вектора (–2, –2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора , полученного из поворотом: a) на угол a = 120^o, б) на угол b = 90°.Пусть =. Вычислить полярные координаты точки A, если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора (x¢, y¢ ), полученного из вектора (x, y) поворотом на угол a, вычисляются по формулам:

x¢ = x· cos a – y· sin a,

y¢ = x· sin a + y· cos a.

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей! )

а) В нашем случае имеем cos a = –, sin a =.

x¢ = – (–2) + 2· = 2,

y¢ = –2· – 2· (– ) = –2.

б) Имеем sin 90°=1; cos 90°= 0 и по тем же формулам находим (2, –2).

Если известны декартовы координаты точки А(x, y), то ее полярные координаты (r, φ ) находятся по формулам:

r =,

cos j =, sinj =.

Декартовы координаты точки А совпадаютс координатами ее радиус-вектора. Поэтому А(–2, –2). Отсюда находим r = 4; cos j = – ; sin j = – .Значит j =. А(4, ).

Ответ: а) (2, –2); б) (2, –2); А(4, ).

4. Даны координаты двух вершин A(3, -2), B(8, 5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Решение. Находим (5, 7). Вектор может быть получен из поворотом на 90^о, либо на –90^о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же, как и в предыдущей задаче находим, что (–7, 5), либо (7, –5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора: D(- 4, 3). Далее используем, что = и находим координаты C(1, 10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ: C(1, 10), D(– 4, 3), C¢ (15, 0), D¢ (10, –8).

5. Вершины четырехугольника находятся в точках A(1, 2), B(7, – 6), C(11, –3), D(8, 1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosÐ DAB.

Решение. Находим координаты векторов (6, –8), (4, 3), (–3, 4), (7, –1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

– = – – верно, значит коллинеарен.

= – неверно, значит неколлинеарен.

Таким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются AB и CD. Находим длины сторон:

½ ½ = = 10,

и аналогично ½ ½ = 5; ½ ½ =5; ½ ½ = 5.

Обозначим a =Ð BAD.

cos a = = =,

следовательно Ð BAD = 45^o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cos a, находим

sin a = =.

Tогда h =½ ½ · sin a = 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S =(AB + CD)· h = .

Ответ: ½ ½ = 10, ½ ½ = 5, cos a =, S_ABCD =.

6. Дано ½ ½ = 10, ½ ½ = 3, a =Ð (, ) = 30^o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах = – 3 и = 2 + 5, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: S_Δ = ½ ´ ½. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

½ ´ ½ =½ ( – 3 )´ (2 + 5 )½ =½ ´ + 5 ´ – 3´ – 15 ´ ½ =

=½ + 5 ´ + 3 ´ +15½ = 8½ ´ ½ = 8½ ½ ·½ ½ ·sin a =

= 8·10·3· = 120.

S_Δ = ½ ´ ½ = 60 .

Если AD – медиана DABC, то = ( +). В нашем случае, если

– вектор, задающий медиану, то = ( + ) = +.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора ² = · равен квадрату его длины ½ ½ ². Имеем

½ ½ ²= · = ( + )·( + ) = ² + 3 · + ²=

= ½ ½ ²+ 3½ ½ ·½ ½ · cos a +½ ½ ² =

= ·100 + 3·10·3· + 9 = 234 + 45.

Значит, ½ ½ =.

Ответ: S_Δ = 60, длина медианы равна.

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение ² вместо ´ ; ²означает ·. Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство ´ = – ´ .

7. Докажите, что векторы (10, 11, 2) и (10, –10, 5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Решение. Для того, чтобы векторы и могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

· = 10·11 + 11·(–10) + 2· 5 = 0 Þ ^ ,

| | = = 15,

| | = = 15.

Вектор, задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен и и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ будет перпендикулярен и . Выясним, какую он будет иметь длину:

½ ´ ½ =½ ½ · ½ ½ × sinÐ ( , ) = 15·15· sin 90^o= 225.

Искомый вектор должен иметь длину 15. Следовательно, = ´ . Находим

´ = = 75 i – 30 j – 210 k, (5, –2, –14).

Очевидно, что вектор = – тоже удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: (5, –2, –14), (–5, 2, 14).

8. Даны координаты вершин треугольной пирамиды SABC: A(4, 0, 1), B(5, –1, 1), C(4, 7, –5), S(7, 5, 2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол Ð BAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат.

Решение. Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

(1, –1, 0), (0, 7, – 6), (3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда: V= ½ ½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

=

Но, поскольку для вычисления площади основания нам понадобится векторное произведение ´, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: =(´ )· . При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.

´ = = i – j + k = 6 i + 6 j + 7 k.

S_{Δ ABC} = ½ ´ ½ = = .

(´ )· = 6× 3 + 6× 5 + 7× 1 = 55. V = ½ (´ )·½ = .

C другой стороны, V = S_{Δ ABC} ·h . Отсюда h = = = 5.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ перпендикулярен и. Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6, 6, 7). Угол Ð BAC ищется так же, как и в задаче 5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

 

 

Ответ: V = , S_{Δ ABC} = , h = 5, (6, 6, 7).

9. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B(6, ), C(4, ). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

Решение. Нарисуем чертеж к задаче, построив точки B и C по их полярным координатам. Из чертежа и геометрического смысла полярных координат находим, что

Ð BAC = j₁– j₂ = – = ,

AB = 6, AC = 4.

Тогда

S_{Δ ABC} = AB× AC× sinÐ BAC = × 6× 4× sin = 12× = 6.

По теореме косинусов

BC²= AB² + AC² – 2× AB× AC× cosÐ BAC = 36 + 16 – 2× 6× 4× (– ) = 76.

Ответ: S_{Δ ABC}= 6, BC = = 2.

10. Новая декартова СК получена из старой переносом начала в точку O¢ (2, –1) и поворотом на угол a = arccos .

а) Выпишите формулы, выражающие новые координаты через старые. Найдите новые координаты точки A, если известны её старые координаты: A(6, 2).

б) Выпишите формулы, выражающие старые координаты через новые. Найдите старые координаты точки B, если известны её новые координаты: B(5, 5).

Решение. а) Новые координаты выражаются через старые по формулам

x¢ = (x – a) × cos a + (y – b) × sin a,

y¢ = –(x – a) × sin a + (y – b) × cos a,

где (a, b) – координаты точки O¢, a – угол поворота координатных осей. Зная cos a находим sin a и подставляем в формулы:

x¢ = (x – 2) + (y + 1),

y¢ = – (x – 2) + (y + 1).

Для точки A(6, 2)_Oxy находим x¢ = 5, y¢ = 0. Значит A(5, 0)_{O¢ x¢ y¢} .

б) Старые координаты выражаются через новые по формулам

x = x¢ × cos a – y¢ × sin a + a,

y = x¢ × sin a + y¢ × cos a + b.

В нашем случае

x = x¢ – y¢ + 2,

y = x¢ + y¢ – 1.

Подставляя сюда координаты точки B(5, 5)_{O¢ x¢ y¢} находим B(3, 6)_Oxy.

Ответ: A(5, 0)_{O¢ x¢ y¢} , B(3, 6)_Oxy .

ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: