Тема 2. Элементы аналитической геометрии.

Прямоугольные координаты в пространстве. Векторы и простейшие действия над ними. Скалярное и векторное произведение. Смешанное произведение векторов.

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Предел функции в точке и на бесконечности. Производная, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции с помощью первой производной. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков функций.

Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям).

Определенный интеграл, его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла.

Перечень рекомендуемой литературы

• Григорьев С.В. Математика. – М.: Академия, 2013

• Дадаян А.А. Математика. – М.: ФОРУМ, 2011.
• Дадаян А.А. Сборник задач по математике. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2011.
• Подольский В. А., Суходский А. М. Сборник задач по математике.— М.: Высшая школа, 2005г.

 

Интернет-ресурсов:

http: //lib.ulsu.ru/downloads/internrt.pdf

http: //window.edu.ru/library/pdf2txt/175/19175/1531

Теоретическая справка. Основные понятия и формулы. Примеры задач с решениями

 

Тема 1. Матрицы и определители.

Матрицы. Матрица есть таблица чисел, алгебраических выражений и т.д., взятых в круглые скобки и всегда остается таблицей. Матрицы обозначаются буквами А, В, С, ... латинского алфавита.

, где – элементы матрицы,

i – число строк, ј – число столбцов.

Матрица А имеет размерность m * n (m – строк, n – столбцов). Если m ≠ n, то матрица называется прямоугольной, если m = n – квадратной. Для квадратной матрицы можно говорить о главной диагонали, побочной диагонали, также об определителе матрицы. Матрицы записываются как в круглых, так и в квадратных скобках. Используется также компактная запись:

Транспонированием матрицы называется замена строк столбцами. Операция транспонирования будет обозначаться буквой «Т». Прямоугольная матрица после транспонирования переходит в матрицу размером n*m. Квадратная матрица n-го порядка после транспонирования остается квадратной матрицей, но не равной исходной матрице.

Пример 3. Транспонировать матрицу прямоугольную размерности 2*3:

.

Решение:

, - размер (3*2).

Пример 4. Транспонировать квадратную матрицу второго порядка.

.

Решение:

, .

Типы матриц.

1. Матрица - строка, размерность 1*n;

(а₁ а₂ …а_n)

2. Матрица – столбец, размерность m*1;

3. Нулевая матрица - матрица, все элементы которой нулевые (обозначают 0).

4. Единичная матрица (обозначают Е):

, и т. д.

Понятие единичной матрицы имеет место только для квадратных матриц. Единичная матрица играет роль единицы при умножении соответствующих квадратных матриц.

5. Диагональная матрица:

Диагональная матрица характеризуется тем, что все ее элементы вне главной диагонали - нулевые. Е – частный случай диагональной.

Действия над матрицами.

1. Складываются (вычитаются) только матрицы одинаковых размеров. Операция производится покомпонентно.
2. При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.

Пример 5.

Вычислить 2А-В.

Решение:

2А-В = 2*

1. Умножение матрицы на матрицу. Не любые две матрицы можно перемножить. Перемножаются только матрицы размеров соответственно (m * n) и (n * s), при этом получается матрица размеров (m * s). Для того, чтобы перемножить матрицы, нужно первую матрицу поочередно умножить на каждый из столбцов второй матрицы. Из существования произведения матриц А * В не следует существование произведения В * А.

Пример 6.

Вычислить: А * В и В * А.

Решение:

= ,

т.е. из (3*2) и (2*2) следует (3*2).

- не определено, т.к. - невозможно.

Определители. Ниже указаны соответственно определители первого, второго, третьего и n-го порядков:

, где - элементы определителя, индекс «i» - номер строки, индекс «ј» - номер столбца.

В результате вычисления определителя получается число (или алгебраическое выражение) следующим образом:

1)

2)

Вычисление определителя в п.2 называется «разложением определителя по первой строке». При этом А₁₁, А₁₂, А₁₃ называются алгебраическими дополнениями. Алгебраическое дополнение элемента определителя , где – определитель, который получается из элементов определителя после удаления строки или столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка .

Решение: = 2*3 – 1*(-5) = 6+5 =11.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка .

Решение: Отметим, что перед , будет знак «+», если сумма индексов i+ ј – четное число, знак «-», если сумма i+ ј – нечетное число.

Определители четвертого порядка можно решить разложением по первой строке и т.д. Понятие алгебраического дополнения элемента , данное выше, носит общий характер и подходит для определителя любого порядка.

Подробнее свойства определителей можно изучить по рекомендуемой литературе. Перечислим только важнейшие из них:

1. Определитель при транспонировании (замены строк соответствующими столбцами) не меняется.

2. Определитель можно разложить по любой строке (столбцу). Поэтому при вычислении определителя удобно выбирать строку (столбец), где максимальное число нулевых элементов.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определителя изменяется только (на противоположный) знак определителя.

4. Определитель, имеющий нулевую строку (одинаковые строки, пропорциональные строки), равен нулю.

5. Определитель «треугольного» вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т.е.

6. Общий множитель строки (столбца) определителя можно

выносить за знак определителя.

 

Обратная матрица. Пусть А – квадратная матрица. Матрица называется обратной к матрице А, если справедливо А * = * А = Е. Не каждая квадратная матрица имеет обратную, все зависит от определителя матрицы. Если = 0, то обратной матрицы не существует, если же 0, то существует и находится по следующему алгоритму:

Находим алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы .

Составляем матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А, т.е. .

Транспонируем матрицу , получаем матрицу .

Находим обратную матрицу по формуле

.

Пример 7.

Найти ?

Решение:

1. = -4+6 = 2 - существует.

2. А₁₁ = (-1)² * 2 = 2, А₁₂ = (-1)³ * 1 = -1, А₂₁ = (-1)³ * (-6) = 6, А₂₂ =(-1)⁴ * (-2) = -2.

3. .

4. .

5. = .

Проверка: = = Е, что и требовалось.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: