Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F^′ (х) = = f(х) или dF(х) = f(х)dх.

Любая непрерывная функция f(х) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Общее выражение F(х) + С совокупности всех первообразных для функции f(х) называется неопределенным интегралом от этой функции:

f(х)dх = F(х) + С.

Свойства:

1^о. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от него равен подынтегральному выражению:

( f(х)dх )^′ = f(х); d( f(х)dх) = f(х)dх.

2^о. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: f(х) + С.

3^о. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: к * f(х)dх = к * f(х)dх.

4^о. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций:

[f₁(х) f₂(х)]dх = f₁(х)dх f₂(х)dх.

Таблица основных интегралов:

1. dх = + C (n ≠ -1)

2. = ln + С.

3. dх= + С, dх = + С.

4. cos х dх = sin х + С.

5. sin х dх = - cos х + С.

6. = tg х + С.

7. = - сtg х + С.

8. ⁼ аrcsin + С.

9. = аrctg + С.

10. = + С.

11.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени.

= 3 x^-7dx = 3 + C= - = - + C.

Пример 2. Найти интеграл ^.

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени:

=

Пример 3. Найти интеграл

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями и найдем неопределенный интеграл от степени:

= = = = = = + C =

= - + C.

Пример 5.Найти интеграл ctg² х dх.

Решение: Воспользуемся формулой ctg² х = и свойствами неопределенного интеграла:

сtg²xdx = = - = - ctg x –x + C.

Интегрирование методом подстановки. Сущность этого метода заключается в преобразовании интеграла f(х)dх в интеграл F(u)du который легко вычисляется по табличным интегралам.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение: Произведем подстановку 5 – 3х = u, тогда -3dх = du, откуда dх = -1/3du. Далее получаем

= =

=

Пример 7.Найти интеграл sin хdх.

Решение: Предположим 2 + сos х = u, тогда -sinх dх = du, откуда sinхdх = - du. Далее получаем

sin хdх =

Пример 8. Найти интеграл

.

Решение: Предположим 2 +3 = u, тогда 3 dx = du, откуда dx = du. Далее получаем

= = = ln + C = ln + C.

В практике часто встречаются следующие формулы интегрирования:

1. dх = + С.

2. dх =

3. sin кх dх = -

4. сos кх dх =

5. =

6. = -

7.

8.

Определенный интеграл. Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, в] на n частей точками а= х_о < х₁ < ….< х _n = b, выберем на каждом элементарном отрезке [х_к-1, х_к] произвольную точку Е_к и обозначим через ∆ х_к длину каждого такого отрезка. Интегральной суммойдля функции f(х) на отрезке [а, b] называется сумма вида:

f(Е_к) ∆ х_к = f(Е₁)∆ х₁ + f(Е₂)∆ х₂ + ….+ f(Е_n)∆ х_n.

Определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для любой функции f(х), непрерывной на отрезке [а, b], всегда существует определенный интеграл .

Свойства:

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

=

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(х) в том

случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(х)_, служит формула Ньютона- Лейбница:

_,

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение: Применив указанную формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

= (4² – (- )² ) = (16 – ) = * = = 7, 875.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение: Пользуясь определением степени с дробным и отрицательным показателем, вычислим определенный интеграл:

= .

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем: часть подынтегральной функции заменить новой переменной u; найти новые пределы определенного интеграла u_н и u_в; найти дифференциал от обеих частей замены; все подынтегральное выражение выразить через новую переменную; вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 11. Вычислить интеграл .

Решение: Введем подстановку 8 – х = u, тогда -dх = du, dх = - du. Определим пределы интегрирования для переменной u. При х = 0, получаем u_н = 8 – 0 = 8, при х = 7 получаем u_в = 8 – 7 = 1. Далее получим

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение:

=

= .

 

 

Контрольная работа

1.1) Выполнить действия над матрицами:

1.1.	А*(В-А). А= , В= .	1.2.	2*(А+В)*А. А= , В= .
1.3.	А*(*А+В). А= , В= .	1.4.	2*АВ+А. А= , В= .
1.5.	2*(В+А)*В. А= , В= .	1.6.	В*(А-В). А= , В= .
1.7.	(А+В)*А. А= , В= .	1.8.	В*(2*А+3*В). А= , В= .
1.9.	А- . , В= .	1.10.	(А-В)*А. А= , В= .
1.11.	А- . А= , В= .	1.12.	А= .
1.13.	(2*В-А)*В. А= .	1.14.	2*(А+В)*А. А= , В= .
1.15.	2*(А-0, 5*В)*В. А= .	1.16.	3*(А+0, 5*В)*А. А= , В= .
1.17.	А*(*А+В). А= , В= .	1.18.	А*(В-А). А= , В= .
1.19.	А2+2*В. , .	1.20.	А2-2*А+3. .
1.21.	3*(А+0, 5*В)*А. , .	1.22.	А*(В-А). , .
1.23.	3*А*В. , .	1.24.	(2*А+В)*В. , .
1.25.	А*(В-А). , .	1.26.	2*В*(А+В). , .
1.27.	А2-(А+В). , .	1.28.	А*В+3*В. , .
1.29.	А-В2. , .	1.30.	А2+В. , .

2) Средствами матричного исчисления, методом Крамера и Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений:

1.1.	1.2.
1.3.	1.4.
1.5.	1.6.
1.7.	1.8.
1.9.	1.10.
1.11.	1.12.
1.13.	1.14.
1.15.	1.16.
1.17.	1.18.
1.19.	1.20.
1.21.	1.22.
1.23.	1.24.
1.25.	1.26.
1.27.	1.28.
1.29.	1.30.

Векторы.

2.1. Даны векторы =(4; -3; 1) и =(5; -2; -3). Найти скалярное произведение векторов.

2.2. Даны векторы = -4 - 3 +5 и = -2 + 3 + 5 . Найти угол между ними.

2.3. Найти скалярное произведение векторов = (3; -2; 1) и = (4; -7; -3).

2.4. Найти скалярное произведение векторов =( ; ; ) и =( ; ; ).

2.5. Даны векторы = +3 - , = -2 - 4 + 3 и = 4 - 2 - 3 . Найдите скалярное произведение ( + ) .

2.6. Найдите угол между векторами = 3 - 4 и = 5 - 12 .

2.7.Найдите угол между векторами = (-2; 2; -1) и =(-6; 3; 6).

2.8. Найдите угол между векторами + и - , если = (1; -1; 2) и = (0; 2; 1).

2.9. Даны вершины треугольника А (-1; 4; 1), В (3; 4; -2) и

С (5; 2; -1). Найти ( , ).

2.10. Дан треугольник А(2; 4; 5), В(-3; 2; 2), С(-1; 0; 3).Покажите, что .

2.11. Проверьте, перпендикулярны ли векторы = (3; 0; -6) и =(4; 7; 2).

2.12. Проверьте, перпендикулярны ли векторы =(3; 0; -6) и = (6; -3; 1).

2.13. Даны векторы =(-2; у; 1) и = (3; -1; 2). Найдите координату у, если известно, что .

2.14.Дано: =4, =5, ( , )= 30^о. Найти векторное произведение .

2.15. Найти векторное произведение векторов = 3 -2 + 5 и

2.16. Найти векторное произведение векторов =2 + +2 и

2.17. Вычислить векторное произведение векторов = (2; 3; -1) и = (-1; -1; 3).

2.18. Дано: = 4, = 6, ( , ) = . Найдите , если .

2.19. Дано: = 4, = 6, ( , )= 90^о. Найти .

2.20. Дано: = 4, = 6, ( , ) = 150^о. Найдите .

2.21. Найдите векторное произведение векторов =2 +3 -4 и

= - +3 .

2.22. Найдите векторное произведение векторов = + - и

= 2 - + 2 .

2.23. Даны векторы = (2; -4; 5) и = (4; -3; 5). Вычислите косинус угла между ними.

2.24. Найдите векторное произведение векторов = 2 + 4 + 3 и = 3 + +2 .

2.25. Вектор задан координатами своих концов А(2; 4; -3) и В(6; -3; 1). Вычислите его длину.

2.26. Дан треугольник с вершинами А(-2; -4; 0), В(-2; -1; 4) и С(-2; 3; 1). Вычислите угол между векторами и .

2.27. Вычислите векторное произведение векторов = 3 +5 + 4 и = +2 +3 .

2.28. Найти угол между векторами = 3 - 4 и = 5 -12 .

2.29. Зная координаты точек А 4; -3; 2) и В(-2; 4; -3), М(0; 5; 1) и N(-4; 0; -3), найдите координаты векторов и .

2.30. Вычислить длину вектора 3 + 2 , если = (2; 0; 0) и = (1; 1; -1).

Производные.

3.1. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 4 .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 2 – 8х.

3.2. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 5 .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = -3х² + 12х.

3.3. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 2 .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х² + 5х + 4.

3.4. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = х² +sinх.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = -х² +2х +15.

3.5. 1) Найти пределы:

2)Найти производную функции у = tg х + х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ – 9.

3.6. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = сtg х + tg х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ – 3х.

3.7. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции f(х) = е^х х².

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 3х³ – х.

3.8. 1) Найти пределы:

,

2) Найти производную функции f(х) = е^-2х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = -х³ + х.

3.9. 1) Найти пределы:

,

2) Найти производную функции f(х) = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ +6х² + 9х +8.

3.10. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции f(х) = хе^2х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 2х³ – 3х²–12х – 1.

3.11. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции f(х) = 3ln х – х².

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ – 6х² + 16.

3.12.1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 2х³ + 3х² -12х -10.

3.13. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = (х³ – 1)⁶.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х⁴ – 5х² + 4.

3.14. 1) Найти пределы:

, ,

2) Найти производную функции у = 2х³ * .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = -х⁴ + 8х² +9.

3.15. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 5 .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.16. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постойте график у = .

3.17. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.18. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.19. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = x ln x.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ – 3х –2.

3.20. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = tg² х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = х³ – 3х².

3.21.1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.22. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = е^{sin 2х}

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 2х³ – 3х².

3.23. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.24. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 4 + 3 + 3х.

3) Исследуйте функцию и постройте график у = .

3.25. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = .

3) Исследуйте функцию и постройте график у = 4х³ – 2х² + х-5.

3.26.1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у =(2х +1)*(х² +3х – 1).

3) Исследуйте функцию и постройте график у = -х³ + 9х² + х-1.

3.27. 1) Найти пределы:

2) Найти производную функции у = 2 + –

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: