Лекция 3 Динамика системы материальных точек.

Центр масс системы материальных точек.

 

C Y m1 А ·   r1= l1 · R l2 · В r2 m2 X   Рис.10. К опреде- лению центра масс.

Центром масс двух материальных точек А и В с массами m1 и m2 соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, соединяющем А и В, на расстояниях l1 и l2 от А и В, обратно пропорциональных массам точек (см. рис.10.), т.е. . ( 3-1 ) Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r1 и r2, то положение центра масс определяется радиусом - вектором R. Из рис.10 следует, что R = r1 + l1 и R = r2 + l2, ( 3-2 )

Умножая первое из этих уравнений на m₁, а второе - на m₂ и складывая их, получим:

. ( 3-3 )

Из рис.10 и равенства ( 3-1 ) следует, что m₂l₂ = - m₁l₁. С учетом этого соотношения из выражения ( 3-3 ) можно определить значение радиуса - вектора R:

. ( 3-4 )

Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:

, ( 3-5 )

где = М - полная масса системы точек.

Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):

. ( 3-6 )

Величины m_iv_i представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому урав-нение ( 3-6 ) можно переписать в следующем виде:

= Р, ( 3-7 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ), находим выражение для ускорения центра масс системы А:

. ( 3-8 )

 

Закон изменения импульса системы материальных точек.

 

Для простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на
каждую из которых действуют внутренние силы f_ik и внешние - F_i, где индекс i представляет номер точки. Уравнения движения для каждой точки имеют вид:

( 3-9 )

Складывая эти уравнения, получим:

( 3-10 )

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и противоположны по направлению ( например, f₁₂ = -f₂₁). Потому сумма всех внутренних сил равна нулю, и

, ( 3-11 )

где через Р обозначен суммарный импульс системы. Обобщая ( 3-11 ) для любого числа материальных точек, можно записать следующее выражение:

, ( 3-12 )

которое принято называть законом изменения импульса системы материальных точек. Как видно из этого выражения, изменение суммарного импульса определяется равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. Если же эта равнодействующая равна нулю ( или на систему не действуют никакие внешние силы), то суммарный импульс системы остается постоянным. Это следствие уравнения ( 3-12 ) называется законом сохранения импульса. Другим следствием рассмотренного закона изменения импульса служит теорема о движении центра масс, которая утверждает, что центр масс системы материальных точек под действием внешних сил движется как материальная точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы, и записывается в таком виде:

МА = . ( 3-13 )

Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).

Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.

Лекция 4. Динамика твердого тела.

Кинематические соотношения.

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления существенно затруднило бы описание движения всего конгломерата точек. Для полного описания движения одной точки необходимо знать ее три координаты, поэтому для N точек число необходимых координат, а следовательно, и число уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N может быть как угодно большим, то возможности строгого решения системы из 3N уравненийвесьма ограничены.
Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно различают поступательное, вращательное и плоское движения. При поступательном движении все точки тела движутся по параллельным траекториям, так что для описания движения тела в целом достаточно знать закон движения одной точки. В частности, такой точкой может служить центр масс твердого тела. В этом случае задача описания движения тела решается с помощью теоремы о движении центра масс. При вращательном движении все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной оси. Скорости точек на любой из окружностей связаны с радиусами этих окружностей и угловой скоростью вращения: v_i = [w r_i ]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою форму, радиусы вращения остаются постоянными и

= [ br_i]. ( 4-1 )

§ 4-2. Определение момента силы.

 

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы.При этом надо различать понятия момента силы

M   O f r a A

Рис.11. Момент силы от-

Носительно точки.