Построение касательных и нормалей к плоским кривым

 

 

Для проведения касательной к кривой необходимо задать уравнение кривой в каком либо виде: Y=F(x); или F1(x, y)=0; или X=Fx(t); Y=Fy(t); и координаты точки на кривой (xi, yi).

 

Уравнение касательной к кривой имеет вид:

 

(x-xi)*dY/dx =(y-yi); или (x-xi)*dFy/dt = (y-yi)*dFx/dt;

 

где dY/dx = dF(x)/dx = - (¶F1(x, y)/¶x)/(¶F1(x, y)/¶y);

 

Уравнение нормали к кривой имеет вид:

 

(x-xi) = -(y-yi)*dY/dx; или (x-xi)*dFx/dt = -(y-yi)*dFy/dt;

 

Пусть уравнение кривой имеет вид: X=A*cos(t); Y=B*sin(t); - эллипс. Алгоритм построения касательной к кривой в расчетной области X_Min< =x< =X_Max, Y_Min< =y< =Y_Max следующий.

 

1) Находим производные dFx/dt=-A*sin(t); dFy/dt=B*cos(t).

2) В области изменения параметра " t" задаем ti и определяем координаты точки Xi, Yi и производные dXi= (dFx/dt)_i, dYi= (dFy/dt)_i в точке " ti".

 

3) Находим точки " 1" и " 2" пересечения касательной с границами расчетной области:

при dXi< > 0 полагаем x1=x_Min и находим y1=(x1-xi)*dYi/dXi + yi;

если y1< y_Min, то y1=y_Min и определяем x1= (y1-yi)*dXi/dYi + xi;

если y1> y_Max, то y1=y_Max и определяем x1= (y1-yi)*dXi/dYi + xi;

аналогично, при dXi< > 0 полагаем x2=x_Max и находим y2 по приведенной выше схеме с корректировкой значений y2 и x2.

При dXi=0 полагаем x1=xi и y1=y_Max и x2=xi и y2=y_Min.

4) Через точки " 1" и " 2" проводим прямую.

L   Yi L     Xi

 

 

Несколько проще алгоритм построения касательной постоянной длины " 2*L" к плоской кривой. В этом случае:

при dXi< > 0 находим alf=arctg(dY/dx)_i; иначе alf=90⁰; и определяем:

 

x1 = xi + L*cos(alf); y1 = yi + L*sin(alf);

x2 = xi - L*cos(alf); y2 = yi - L*sin(alf);

При построении нормали используется уравнение нормали к кривой и приведенные выше алгоритмы.

Практическое задание N 2. 8

В заданной прямоугольной области построить серию касательных, либо нормалей к плоским кривым: эллипсу, параболе, гиперболе и т. п.

2. 1. 5. Двумерные преобразования координат

Преобразование координат графических объектов используется с целью модификации, зеркального отображения и перемещения объекта. Основные случаи:

- преобразование системы координат, например, из полярной в декартову,

- изображение типовых или повторяющихся деталей объекта,

- построение проекций трехмерных объектов,

- направленная деформация при синтезе новых форм,

- мультипликация и создание узоров.

Различают двумерные ( 2D ) и трехмерные ( 3D) преобразования. Рассмотрим двумерные аффинные преобразования, когда в получаемом новом изображении объекта сохраняется прямолинейность и параллельность прямых, а также деление отрезков в заданных соотношениях.

Общий вид формул двумерных аффинных преобразований:

 

x₁= a₁₁ x + a₁₂ y + a₁₃ или в x₁ a₁₁ a₁₂ a₁₃ x

матричном y₁ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ * y

y₁= a₂₁ x + a₂₂ y + a₂₃ виде: z₁ 0 0 1 z

 

Здесь x, y - координаты исходного, а x₁, y₁ - преобразованного объекта.

Коэффициенты преобразований a _{I J} сохраняют в виде матрицы, расширенной до квадратной, - при для вычисления коэффициентов составного преобразования перемножают соответствующие матрицы коэффициентов типовых преобразований.

Примеры типовых преобразований и соответствующие им матрицы:

( Ф - исходная фигура, Ф₁ - преобразованная )

 

Y

dx Ф₁ Параллельный 1 0 dx

dy перенос 0 1 dy

Ф 0 0 1

X

 

Y

Ф₁ Масштабирование Sx 0 0

Sx = x₁/x; Sy = y₁/y 0 Sy 0

Ф 0 0 1

X

 

Y

Ф₁

Поворот относительно cos a -sin a 0

начала координат sin a cos a 0

Ф 0 0 1

a

X

 

 

 

Зеркальное отображение:

Y

Ф₁ cos(2*A) sin(2*A) 0

относительно оси Y=Х sin(2*A) - cos(2*a) 0

Ф проходящей под углом “A” 0 0 1

₀ X

Ф₁ относительно начала -1 0 0

координат 0 -1 0

0 0 1

 

Y

Y₁

a Ф₁

Деформация сдвига : 1 tg(a) 0

Ф X₁ в направлении X - a tg(b) 1 0

в направлении Y - b 0 0 1

b

X

 

Составные преобразования обычно представляют в виде комбинаций типовых преобразований. Например, поворот относительно произвольной точки ( Xc, Yc) можно представить как комбинацию трех преобразований:

- параллельный перенос, переводящий центр поворота в начало координат,

- поворот относительно начала координат,

- параллельный перенос, противоположный первоначальному.

 

Перемножение матриц выполняется следующим образом:

 

a₁₁ a₁₂ a₁₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ c₁₁ c₁₂ c₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃ * b₂₁ b₂₂ b₂₃ = c₂₁ c₂₂ c₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃ b₃₁ b₃₂ b₃₃ c₃₁ c₃₂ c₃₃

 

где c_{I J} = a_{I 1}* b_{1 J} + a_{I 2}* b_{2 J} + a_{I 3}* b_{J 3} , i= 1, 2, 3; j= 1, 2, 3.

 

то есть элемент матрицы “C”, расположенный в I-строке и J-столбце, равен сумме произведений элементов I -ой строки матрицы “A“ на соответствующие элементы J-го столбца матрицы B.

В приведенной ниже программе плоская фигура задается в виде линий, последовательно соединяющих координаты массива точек (xa, ya) на чертеже ( x, y - в системе координат экрана ). Эти координаты подвергаются аффинным преобразованиям, коэффициенты преобразования хранятся в двумерном массиве r. Начальному положению фигуры соответствует единичная матрица R (единицы на главной диагонали, остальные члены - нули). При очередном преобразовании коэффициенты матрицы R пересчитываются путем умножения на нее матрицы этого преобразования (А), получаемая матрица (В) снова записывается в R. Новые координаты x, y высчитываются в процедуре NEW_XY, которая вызывается непосредственно при выводе фигуры на экран процедурой PICTURE.

uses Graph, Crt; {------- Аффинные преобразования плоских фигур -------- }

var Gd, Gm, n, i, j, k, l, m, xc, yc, xc1, yc1: integer; {-- описание --}

{ глобальных переменных}

xa, ya: array[1..50] of real; { исходные координаты фигуры }

x, y: array[1..50] of integer; { новые координаты фигуры }

a, b, r: array[1..3, 1..3] of real; { массивы коэффициентов матриц 3*3 }

 

PROCEDURE I_R; {-------- присвоение матрице R значения единичной ---------}

Begin

for i: =1 to 3 do begin { 1 0 0 }

for j: =1 to 3 do r[i, j]: =0; { 0 1 0 }

r[i, i]: =1; end; { 0 0 1 }

end;

 

PROCEDURE MULT; {---------- умножение матриц А и R: R = B = A*R ------------}

var z: real;

Begin

for i: =1 to 3 do

for j: =1 to 3 do begin z: =0;

for k: =1 to 3 do z: =z+a[i, k]*r[k, j];

b[i, j]: =z end;

for i: =1 to 3 do

for j: =1 to 3 do r[i, j]: =b[i, j] end;

 

PROCEDURE MOVE(dx, dy: real); {---- расчет матриц А и R для переноса фигуры ---}

begin { --- на dx, dy--- }

for i: =1 to 3 do begin { 1 0 dx }

for j: =1 to 3 do a[i, j]: =0; { 0 1 dy }

a[i, i]: =1 end; { 0 0 1 }

a[1, 3]: =dx; a[2, 3]: =dy;

MULT; end;

 

PROCEDURE SCALE(sx, sy: real); {-расчет матриц А и R для масштабирования ----}

begin {--фигуры: по оси Х - умножение на sx, по оси Y - на sy --}

for i: =1 to 3 do

for j: =1 to 3 do a[i, j]: =0; { sx 0 0 }

a[1, 1]: =sx; { 0 sy 0 }

a[2, 2]: =sy; a[3, 3]: =1; { 0 0 1 }

MULT; end;

 

PROCEDURE ROTATE(alfa: real); {- расчет матриц А и R для поворота фигуры--}

var c, s: real; {---на угол alfa(рад)---}

begin { cos(alfa) -sin(alfa) 0 }

for i: =1 to 3 do { sin(alfa) cos(alfa) 0 }

for j: =1 to 3 do a[i, j]: =0; { 0 0 1 }

a[3, 3]: =1;

c: =cos(alfa); a[1, 1]: = c; a[2, 2]: =c;

s: =sin(alfa); a[1, 2]: =-s; a[2, 1]: =s;

MULT; end;

PROCEDURE MIRROR(alfa: real); {---- расчет матриц А и R для зеркального ----}

var c, s: real; {----отражения объекта на угол alfa(рад)--}

begin { cos(2*alfa) sin(2*alfa) 0 }

for i: =1 to 3 do { sin(2*alfa) -cos(2*alfa) 0 }

for j: =1 to 3 do a[i, j]: =0; { 0 0 1 }

a[3, 3]: =1;

c: =cos(2*alfa); a[1, 1]: =c; a[2, 2]: =-c;

s: =sin(2*alfa); a[1, 2]: =s; a[2, 1]: =s;

MULT; end;

PROCEDURE AXES(alfa, beta: real); {расчет матриц А и R сдвига осей координат }

{--- ось x смещается на угол alfa, ось y - на угол beta --}

Begin

for i: =1 to 3 do begin { 1 tg(beta) 0 }

for j: =1 to 3 do a[i, j]: =0; { tg(alfa) 1 0 }

a[i, i]: =1 end; { 0 0 1 }

a[1, 2]: =sin(beta)/cos(beta);

a[2, 1]: =sin(alfa)/cos(alfa); MULT;

end;

PROCEDURE NEW_XY; {---- расчет новых координат фигуры по исходным ------ }

begin {----- с использованием матрицы преобразования R ------}

for i: =1 to n do begin

x[i]: =round( xa[i]*r[1, 1]+ ya[i]*r[1, 2]+ r[1, 3] );

y[i]: =round( xa[i]*r[2, 1]+ ya[i]*r[2, 2]+ r[2, 3] ) end;

end;

 

PROCEDURE PICTURE; {--- рисование фигуры по координатам X, Y --- }

begin moveto(x[n], y[n]);

for i: =1 to n do lineto(x[i], y[i]);

end;

 

PROCEDURE ROT_XY(xc, yc, beta: real); {- поворот фигуры вокруг точки ( хс, ус)--}

begin {-- на угол beta --}

MOVE(-xc, -yc); { Смещение центра поворота в центр начала координат }

ROTATE(beta); { поворот относительно начала координат }

MOVE(xc, yc); { обратное смещение фигуры }

end;

{------примеры аффинных преобразований исходной фигуры ------}

Var alfa: real;

BEGIN n: =4; { число вершин фигуры }

m: =12; { число зеркальных отображений фигуры }

xc: =5; yc: =5; {" центр" фигуры}

xa[1]: =5; ya[1]: =5; { координаты вершин фигуры на чертеже }

xa[2]: =70; ya[2]: =20;

xa[3]: =15; ya[3]: =55; 0 X

xa[4]: =20; ya[4]: =20;

 

Gd: = Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'C: \tp7\bgi'); Y

xc1: =GetMaxX div 2; yc1: =GetMaxY div 2; { центр экрана }

I_R; NEW_XY; { исходные координаты фигуры }

SetWriteMode(1);

{-------------- Вращение вокруг смещающегося центра -----------}

for l: =1 to 150 do begin

PICTURE;

xc: =xc+3; yc: =yc+2; putpixel(xc, yc, 12); { смещение центра xc, yc }

MOVE(3, 2); { перенос фигуры соответственно смещению центра }

ROT_XY(xc, yc, -0.3); { поворот на 0.3 рад относительно xc, yc }

delay(2); PICTURE; NEW_XY;

end;

readln; ClearDevice;

SetWriteMode(0);

{--------- Зеркальные отображения фигуры -------------}

I_R; PICTURE;

for i: =1 to n do begin

xa[i]: =x[i]; ya[i]: =y[i] end; {задание исходных координат фигуры}

for l: =1 to m do begin alfa: =2*Pi*(l-1)/m; {угол наклона зеркала к оси X}

{ Line(xc1-round(xc1*cos(alfa)), yc1-round(xc1*sin(alfa)),

xc1+round(xc1*cos(alfa)), yc1+round(xc1*sin(alfa))); {линия зеркала}

MOVE(-xc1, -yc1); MIRROR(alfa); MOVE(xc1, yc1); { преобразования}

NEW_XY; PICTURE; { расчет и рисование новых координат фигуры}

end;

readln;

CloseGraph;

END.

В первой части программы фигура вращается вокруг точки, перемещающейся по диагонали экрана. Во второй части программы фигура последовательно отображается вокруг осей, проходящих через центр экрана.

Практическое задание N 2. 9

 

1. С использованием процедур зеркального отображения фигуры относительно оси, проходящей под углом “А” через начало координат и параллельного переноса, составить программу “ калейдоскоп” - последовательное отображение фигуры относительно “n” осей, проходящих через центр экрана.

2. С использованием процедур масштабирования и параллельного переноса, составить программу последовательного увеличения и уменьшения фигуры, расположенной в центре экрана.

3. С использованием процедур сдвига и параллельного переноса, составить программу искажения и восстановления формы фигуры, расположенной в центре экрана.

4. С использованием процедур зеркального отображения фигуры относительно начала координат и параллельного переноса, составить программу последовательного отображение фигуры, расположенной в центре экрана, относительно “n” точек, расположенных на окружности, проходящей через центр экрана.

⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒

Поделиться: