Один корень несколько корней

1 x³ - 4*x² - x + 1 0... 1 -2... 6

2 2*x³ - 6*x² - x - 1 -1... 0 -1... 4

3 x - 2 + 4*SIN(x) 0... 1 0... 7

4 x² - LN(1+x) - 3 -0.9... 1 -0.9... 3

 

 

В общем случае уравнение F(x) = 0 решается итерационными методами.

 

Метод итераций (повторений) основан на расчете значения переменной по рекуррентным формулам. Общая итерационная формула имеет вид:

 

x_i = F_i(x_i-1); где i = 1, 2, ..., m; x₀ - начальное приближение.

 

Для сходимости итерационной схемы должно выполняться условие: |dF_i(x)/dx|< 1;

В случае линейной итерационной схемы x_i = x_i-1 - K_i-1*F(x_i-1);

Коэффициент K_i-1 зависит от выбранной схемы и может существенно повлиять на количество итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью.

Получим итерационную формулу для расчета корня из числа " a", т. е. x= Ö a;

 

(x- Ö a)² = x² - 2*x* Ö a + a =0; откуда Ö a = (x + a/x)/2; где a > 0.

 

полагая Ö a = x_i; и x = x_i-1; получаем: x_i = (x_i-1 + a/x_i-1)/2;

_n

В более общем виде для x = Ö a; x_i = ((n-1)*x_i-1 + a/(x_i-1)^(n-1))/n;

Практическое задание N 2. 29

Составить функцию

1_1. Итерационного расчета корня n-ой степени из положительного числа " a".

1_2. Итерационного расчета корня уравнения: x= Ln(A+x); при x> 0; A> 1;

1_3. Итерационного расчета корня уравнения: x= Arctg(x); при x< > 0;

 

Аппроксимация по методу наименьших квадратов

 

Y Y(x) * * *   0 X

 

Пусть для некоторых значений аргумента " х_i" известны значения " y_i". Функция " Y", значения которой Y(x_i) можно использовать вместо " y_i", называется аппроксимирующей функцией. Как правило, аппроксимация применяется для получения функциональной зависимости, описывающей экспериментально полученные значения " y_i" при различных " х_i".

 

Рассмотрим разработанный Гауссом метод наименьших квадратов, при котором получается наилучшее приближение функции Y(x_i) к значениям y_i.

Метод заключается в аппроксимации " N" значений " y_i" полиномом степени " m":

Y(x) = A₀ + A₁ * x + A₂ * x² +... + A_m * x^m для которого сумма квадратов отклонений D_i = Y(x_i)-y_i минимальна. Коэффициенты A₀, A₁, A₂, ..., A_m находятся при решении системы уравнений: ¶S/¶A₀=0; ¶S/¶A₁=0; ¶S/¶A₂=0; ... ¶S/¶A_m=0;

где S = D₁² + D₂² + D₃² +... + D_N²;

В случае аппроксимации линейной функцией Y(x)= A₀ + A₁*x; для определения коэффициентов A₀ и A₁ необходимо решить систему двух уравнений:

 

N*A₀ + [X]*A₁ = [Y]; [X]*A₀ + [X²]*A₁ = [XY];

 

где [X]= x₁ + x₂ + x₃ +... + x_N; [X²]= x₁² + x₂² + x₃² +... + x_N²;

[Y]= y₁ + y₂ + y₃ +... + y_N; [XY]= x₁*y₁+ x₂*y₂+ x₃*y₃+...+ x_N*y_N;

Решая систему, получаем:

 

A₀ = ([XY]*[X]-[Y]*[X²])/([X]*[X] - N *[X²]);

A₁ = ([X] *[Y]-[XY]*N) /([X]*[X] - N *[X²]);

 

 

Практическое задание N 2. 30

 

1. Составить процедуру линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов массива значений, полученных экспериментально в шести сериях по 10 замеров согласно зависимости:

 

1. 1. y_i= A + B*x_i + 0. 5-Random; где A=10; B=3; C=2; x_i=8*i;

1. 2. y_i= A + sin(x_i)*Random; где A=15; x_i=i; где i=1, 2, ..., 6.

 

Нарисовать график функции Y(x) = A₀ + A₁*x; и экспериментальные точки y_i.

 

Численный расчет интегралов

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке " x_i" этого отрезка:

_b f(x_i)

S = ò f(x)*dx =(b-a)*f(x_i); a < = x_i < = b,

^a

a x_i b

где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определенный интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной " b-a" и высотой " f(x_i)". Здесь значение x_i, а значит и f(x_i) неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков " dx_i", в которых значение функции f(x_i) можно принять постоянным, то

_b

S = ò f(x)*dx = f(x₁)*dx₁ + f(x₂)*dx₂ + f(x₃)*dx₃ +... + f(x_N)*dx_N;

^a

где dx₁ + dx₂ + dx₃ +... + dx_N = b - a;

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция " f(x)" задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.

При равномерном разбиении отрезка [a, b] на " N" малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции " f(x_i)" в " M" точках внутри отрезка [a, b].

Метод прямоугольников основан на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую f(x) на каждом малом интервале " h" заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:

 

S₁ = f₁ * h; - на одном отрезке.

S =( f₁ + f₂ +... + f_M )*h; - на M отрезках.

 

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/N; x_i = a - h/2 + h*i; i = 1, 2, ...,

 

 

Y Y Y Y

f (x) f (x) f (x) f(x)

 

 

a x₁ x₂ x₃ b X a x₁ x₂ b X a x₁ x₂ x₃ b X a x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ b X

 

Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале " h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N-1. Интеграл вычисляется по формуле:

S₁ =((f_a + f_b)/2)* h; - на одном отрезке.

S = ((f_a + f_b)/2 + f₁ + f₂ +... + f_M )*h; - на N отрезках.

Здесь f_i = f(x_i); h = (b-a)/N; x_i = a + h*i; i = 1, 2, ..., M.

Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

S₁ =((f_a + 4*f₁ + f_b)/3)* h - на одном отрезке.

S=(f_a+f_b+ 2*(f₂+f₄+...+f_M-2)+ 4*(f₁+f₃+...+f_M-1))*h/3; - на N отрезках.

Здесь f_i = f(x_i); h = (b-a)/(2*N); x_i = a + h*i; i = 1, 2, ..., M.

Метод " трех восьмых" основан на интерполяции функции на малом отрезке кубической параболой, проходящей через крайние и две равноотстоящие по " x" точки кривой f(x). При этом M=3*N-1, а интеграл вычисляется по формуле:

 

S₁ =((f_a + 3*(f₁+f₂) + f_b)*3/8)* h - на одном отрезке.

S = (f_a+f_b+ 2*(f₃+f₆+...+f_M-3)+ 3*(f₁+f₂+...+f_M-1))*3*h/8; - на N отрезках.

Здесь fi = f(xi); h = (b-a)/(3*N); xi = a + h*i; i = 1, 2, ..., M.

Операторы для вычисления интеграла в этом случае имеют вид:

 

m: = 3*n-1; h: = (b-a)/(3*n); s: = f(a) + f(b);

for i: =1 to m do begin

x: = a+h*i; if i mod 3 = 0 then S: = S+2*f(x) else S: = S+3*f(x)

end;

S: = 3/8*S*h;

Отметим, что методы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, формулы Симпсона и " трех восьмых" - для многочленов третьей степени.

Практическое задание N 2. 31

1. Рассчитать определенные интегралы с заданной погрешностью двух последовательных приближений от функций: f(x) = sin(x); на интервале [0.. pi], и f(x) = cos(x); на интервале [-pi/2.. pi/2]. Сравнить результат с точным значением интеграла от функции.

2. Показать на примерах точность квадратурных формул при n=1. Например: метод прямоугольников и трапеций для f( x) = x+5; на интервале [ 1.. 3], формулы Симпсона и " трех восьмых" - для f( x) = x³/4 + 1; на интервале [ 0.. 4].

Можно построить квадратурные формулы, точные для многочленов k -ой степени. С помощью замены переменных x= (b-a)*u/2 + (a+b)/2; и V(u) = (b-a)*f(x)/2; получаем:

_{b 1}

S = ò f(x)*dx = ò V(u)du = A₁*V₁ + A₂*V₂ + A₃*V₃ +... + A_M*V_M ;

^{a -1}

 

где V_i = V(u_i); Такого вида формулы получены Чебышевым и Гауссом. Для различных значений " M" (числа точек интегрирования) приводятся таблицы данных для коэффициентов " A_i" и аргументов " u_i". В формуле Чебышева A₁=A₂=A₃=... =A_M=2/M. Формула Чебышева точна для многочленов M -ой степени (при четных M - для многочленов M+1 -ой степени), формула Гаусса - для многочленов 2*M-1 -ой степени. Приведем данные для M=3 и M=6.

⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒

Поделиться: