Коэффициенты и критерии подобия

 

При механическом моделировании различают простое и расширенное подобие. При простом подобии коэффициенты подобия для величин, которые имеют одинаковые размерности (например, геометрические размеры), должны быть одинаковыми. При расширенном подобии указанные величины могут иметь различные коэффициенты подобия.

Методика изучения коэффициентов подобия в общем случае имеет следующий вид. Например, в механике основными величинами считаются длина , время и масса . Их коэффициенты подобия выбираются произвольно, где основные величины натурного объекта, соответствующие величины модели.

Остальные коэффициенты подобия могут быть получены на основании физических законов. Для скорости и коэффициенты подобия можно выразить через коэффициенты подобия длины и времени в виде .

В соответствии со вторым законом Ньютона сила связана с ускорением зависимостью . Коэффициент подобия для силы будет иметь вид . Таким образом, могут быть найдены коэффициенты подобия для других физических величин.

При физическом моделировании экспериментальные результаты обобщают при помощи критериев подобия. Количество таких критериев может быть значительно меньшим, чем количество параметров, описывающих процесс. Сократить количество параметров, которые описывают какое-либо явление или процесс, можно путем их группирования в безразмерные комплексы, которые складываются из размерных величин исходя из природы и условий исследуемого процесса или явления. Эти безразмерные комплексы называют критериями подобия.

Равенство всех одинаковых критериев подобия для двух физических явлений (процессов, систем) – необходимое и достаточное условие их подобия. Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут значительно отличаться между собой. Одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия, характеризующие натурный объект и модель. Это свойство подобных явлений составляет основу физического моделирования реальных объектов. Если уравнения, описывающие физическое явление, известны, то критерий подобия формулируется путем приведения этого уравнения к безразмерному виду.

В механике для моделирования процессов используют ряд классических критериев подобия. Известный закон Ньютона, который описывает движение материальной точки под действием силы , в дифференциальной форме имеет вид

(1)

где масса материальной точки; ее координата; время. Учитывая, что символы дифференцирования и интегрирования, входящие в исходные уравнения, могут быть отброшены как не имеющие размерности, уравнение можно представить в виде

(2)

Теперь, разделив правую часть полученного уравнения на левую, получим критерий подобия Ньютона:

(3)

где одинаково для всех рассматриваемых объектов.

Для системы материальных точек, между которыми действует связь, можно записать: если скорости тел с разными массами, которые перемещаются на одинаковые расстояния, одинаковы, то действующие на них силы пропорциональны соответствующим массам тел. При свободном падении тел закон Ньютона можно записать в виде соотношения

(4)

где ускорение свободного падения. Тогда для свободного падения критерий подобия имеет следующее выражение:

(5)

Умножив этот критерий на квадрат критерия гомохронности (критерий подобия механического движения), получим критерий подобия, известный в литературе под названием критерия Фруда:

(6)

Определим критерий подобия упругих тел. Упругую силу деформированного элемента механической системы (например, при растяжении упругого стержня) можно записать в виде

(7)

где модуль упругости первого рода; соответствующая площадь поперечного сечения деформируемого элемента. Кроме того, в соответствии с законом Ньютона

(8)

Приравняв правые части двух последних выражений (7), (8) получим:

(9)

Заменив в этом уравнении (где плотность материала элемента), будем иметь:

(10)

Используя правило получения критерия подобия, получим:

(11)

Разделив квадрат критерия гомохронности на критерий , будем иметь:

(12)

Извлекая квадратный корень из этого выражения, находим критерий подобия, имеющий название критерия Коши:

(13)

Величина представляет собой скорость распространения звуковых (колебательных) волн в упругой среде.

Каждый из критериев подобия имеет свой физический смысл. Так, последний критерий подобия показывает соотношение между скоростью движения тела и скоростью распространения звуковых волн в упругой среде.

Критерии подобия физических явлений, процессов, независимые друг от друга, после их объединения дают новые критерии, отображающие те или иные физические свойства.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: