Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Раздел 3. Теория вероятностей и математическая статистика

 

Практикум

 

Минск 2011

 

 

Тематический план

 

1. Определение вероятности.

Случайные события и их вероятности.

2. Действия над случайными событиями.

Основные теоремы и формулы теории вероятностей.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

3. Случайные величины.

Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

4. Некоторые распределения случайных величин.

Формула Бернулли. Распределение Пуассона.

Равномерное и показательное распределения. Закон Гаусса.

5. Системы случайных величин.

Плотность вероятности двумерной СВ и ее числовые характеристики.

Коэффициент корреляции. Регрессия.

6. Предельные теоремы теории вероятностей.

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

7. Элементы математической статистики.

Статистический материал и его обработка.

8. Выборочный метод.

Статистическое распределение выборки.

Выборочные ряды и их характеристики.

9. Эмпирическая функция распределения.

Полигон и гистограмма.

10. Статистическая оценка параметров распределения.

Свойства статистических оценок.

Точечные и интервальные оценки.

11. Статистическая гипотеза. Статистические критерии.

Статистическая проверка статистических гипотез.

 

 

Рекомендуемая литература

1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. Экспресс-Курс. – М.: 2007.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов. – М.: 2008.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – М.; 2009.

4. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – Мн.: ТетраСистемс, 2009.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2008.

6. Булдык Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач и упражнений. – ИПД, 2007.

7. Рябушко А.П. Индивидуальные задания по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. – Мн.: Вышэйшая школа, 2009.

При необходимости преподаватели кафедры ждут Вас для консультации в Дни заочника, проводимые в одну из суббот каждого месяца согласно графику.

Контактные телефоны:

Кафедра высшей математики и информатики – 247-06-22

деканат факультета экономики и бизнеса – 385-96-54

 

Базовые определения и примеры

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события

Опытом или испытанием называют осуществление на практике какого-либо набора условий, при которых может наблюдаться изучаемое явление.

Существует множество задач, для решения которых нужно учитывать случайные факторы, вносящие в исход опыта элемент неопределенности.

В вероятностном эксперименте (опыте), результат невозможно предсказать заранее, так как он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин.

Примеры: бросание игрального кубика или монеты, карточные игры, лотерея и др.

Любое действие в экономике по своей сути является вероятностным экспериментом. Например, строительство автомобильного завода в контексте получения прибыли является вероятностным экспериментом.

Событие – это любой исход (результат) или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Например, получение прибыли можно рассматривать как результат строительства завода.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игрального кубика имеется одна и та же возможность появления любой из цифр от 1 до 6, при бросании монеты выпадение «орла» и «решки» также считается равновозможным.

Все события делят на три основные группы:

1) невозможные события - те, которые не происходят никогда при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра 8);

2) возможные (вероятные, достоверные) события - те, которые обязательно произойдут при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра от 1 до 6);

3) случайные события - те, которые при заданных условиях могут произойти, а могут и не произойти (на игральном кубике выпала цифра 4).

Теория вероятностей изучает случайные события, которые можно повторить неограниченное или достаточно большое число раз в неизменных условиях, а также количественные законы, связанные с этими событиями.

Элементы комбинаторики

Для каждого вероятностного эксперимента можно определить пространство элементарных событий. Если это пространство содержит сравнительно небольшое количество событий, то их можно выписать и пересчитать. Если же элементарных событий достаточно много, то для нахождения вероятности нужно вычислить их количество.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются методы подсчета количества различных элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Перестановкой из n элементов называется их произвольный набор.

Количество перестановок из n элементов:

(читается “эн-факториал”)

Если необходимо выбрать m элементов из n, то следует учитывать состав элементов и в некоторых случаях их порядок.

Размещения – это комбинации из n элементов по m, которые отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования.

Количество размещений из n элементов по m:

.

Сочетаниями называются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов.

Общее число сочетаний из n элементов по m обозначается и определяется из формулы:

, .

Пример 2. Рассмотрим различные комбинации чисел 1, 2. 3.

Перестановки из чисел 1, 2, 3: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

.

Размещения из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2}.

.

Сочетания из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

.

Дискретные и непрерывные случайные величины (СВ)

 

Закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь между возможными значениями СВ х и соответствующими им вероятностями p, что можно представить в табличном виде:

х1	х2	…	хk
p1	p2	…	pk

 

Функцией распределения непрерывной СВ называется функция

F(x), выражающая вероятность того, что значение случайной величины Х, меньше чем х:

F(x) = .

Плотность вероятности непрерывной СВ: при этом .

Вероятность попадания значения СВ в заданный интервал (а; b):

.

Числовые характеристики СВ:

Математическое ожидание МХ = x_ip_i

или МХ= - среднее значение СВ в центре ее распределения.

Дисперсия (рассеяние) DX = М[(x - MX)²] = (x_i –M(x))²p_i

или - мера рассеяния данной СВпо отношению к ее ожиданию

Среднее квадратичное отклонение: .

 

Пример 14. Дан законраспределения дискретной случайной величины(ДСВ):

 

х
р	0, 1	0, 2	0, 4	0, 2	0, 1

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для заданного распределения, найти моду ДСВ.

Решение: МХ = ∑ x_ip_i = 2 4 0, 2 + 7 0, 4 + 9 0, 2 +11 0, 1 = 6, 7

Для нахождения DХ по соответствующей формуле, вместо (х_i – МХ)² Р_i найдем М(х²) согласно таблице:

 

х
р	0, 1	0, 2	0, 4	0, 2	0, 1

 

М(х²) = 4 0, 1 + 16 0, 2 + 49 0, 4 + 81 0, 2 + 121 0, 1 = 0, 4 + 3, 2 + 19, 6 + 16, 2 +12, 1 = 51, 5

DX = )) – М²(х) = 51, 5 – 6, 7² = 6, 61

= = 2, 57, М_о = 7(р_мах =0, 4).

 

Пример 15. Непрерывная СВ задана функцией распределения

 

F(x) =

Найдите: f(x), МХ, DX, р .

Решение:

f(x) = МХ = ;

 

DX =

 

= = 0, 236; р = F - F = .

 

Решение типовых заданий

Задание 1

Пример 1. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров

а) 2 голубых;

б) все красные.

Решение.

а) Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е.

.

Т.к. из 6 выбранных шаров должно быть 2 голубых, остальные 4 должны быть красными. Число благоприятных исходов равно произведению

.

Искомая вероятность определяется формулой

.

Ответ: .

б) Общее число элементарных исходов данного опыта равно числу сочетаний из 15 по 6, т.е.

.

Т.к. из 6 выбранных шаров все должны быть красными, то число благоприятных исходов равно

.

Искомая вероятность определяется формулой

.

Задание 2

Пример 1. В квадрат вписана окружность радиуса R, а в окружность вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, попадет в треугольник.

Решение.

Вероятность попадания точки в треугольник равна отношению площади треугольника к площади квадрата:

,

при этом сторона квадрата, описанного около окружности радиуса R, равна 2R, а площадь ; площадь треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна . Тогда

.

Ответ: .

Пример 2. В цилиндр (радиус основания равен R, высота равна R) вписан конус, основание которого совпадает с основанием цилиндра. Найти вероятность того, что точка, выбранная наугад внутри цилиндра, окажется внутри конуса.

Решение.

Вероятность попадания точки в конус равна отношению объема конуса к объему цилиндра:

.

Объем цилиндра, высота которого равна H, а радиус основания R, определяется по формуле , а так как , то .

Объем конуса, высота которого равна H, а радиус основания R, вычисляется по формуле . Т.к. высота конуса равна высоте цилиндра, то для конуса , тогда . Отсюда .

Ответ: .

Задание 3

Пример 1. Вероятность попадания в цель для каждого из трех орудий равна соответственно 0, 5; 0, 8; 0, 6. Найти вероятность того, что при залпе из трех орудий

а) все орудия попадут в цель;

б) не попадет в цель ни одно орудие;

в) попадет в цель только одно орудие;

г) попадет в цель хотя бы одно орудие;

д) попадут в цель только два орудия.

Решение.

Обозначим через событие «i-е орудие при одном выстреле попадает в цель», i = 1, 2, 3. Тогда вероятности этих событий по условию равны:

, , .

а) Событие : «все орудия попадут в цель». Три попадания будут тогда и только тогда, когда попадание наступит при каждом выстреле, т.е. . Тогда по теореме умножения

.

б) Событие : «ни одно орудие не попадет в цель». Три промаха будут тогда и только тогда, когда промах явится результатом каждого выстрела, т.е. события осуществляются все вместе: . Тогда по теореме умножения

.

Учитывая, что

,

,

,

получаем

.

в) Событие : «попадет в цель только одно орудие». При трех выстрелах возможны следующие варианты: первое орудие попадет, второе и третье не попадут; второе попадет, первое и третье не попадут; третье орудие попадет, первое и второе не попадут. Тогда . Поскольку события несовместны, то по теореме сложения

г) Событие : «попадет в цель хотя бы одно орудие». Это означает, что в цель могут попасть одно, или два, или три орудия, что является противоположным событию «ни одно орудие не попадет в цель», которое рассматривалось в п. б) данной задачи и обозначалось . Следовательно, , и

.

д) Событие : «попадут в цель только два орудия». При трех выстрелах возможны следующие варианты: первое и второе орудие попадут, третье не попадет; первое и третье попадут, второе не попадет; второе и третье попадут, первое не попадет. Тогда . Поскольку события несовместны, то по теореме сложения

Задание 4

Пример 1. Больница специализируется на лечении заболеваний А, Б и В. Количества больных, поступающих в эту больницу с заболеваниями А, Б, В, находятся в отношении 5: 3: 2 соответственно. Вероятность полного излечения болезни А равна 0, 7, для болезней Б и В эти вероятности равны соответственно 0, 8 и 0, 9. Найти вероятность того, что поступающий в больницу больной будет выписан здоровым.

Решение.

Обозначим через , , соответственно следующие события: «больной страдает болезнью А», «больной страдает болезнью Б», «больной страдает болезнью В». Пусть С – событие «больной будет выписан здоровым». Поскольку , , составляют полную группу попарно несовместных событий, то для определения вероятности события С применим формулу полной вероятности:

.

По условию , , . Кроме того, поскольку количество больных, А, Б и В, находятся в отношении 5: 3: 2, то , , .

В итоге имеем: .

Ответ: 0, 77.

Пример 2. Решить предыдущую задачу при условии, что требуется найти вероятность того, что выписанный здоровым больной страдал заболеванием В.

Решение.

Сохраним обозначения, использованные при решении предыдущей задачи. В этих обозначениях требуется найти условную вероятность , где событие означает «выздоровевший больной страдал болезнью В». Воспользуемся формулой Байеса: .

Ответ: .

Задание 5

Дано распределение дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Х
Р	0, 1	0, 4	0, 5

 

Решение.

Математическое ожидание:

.

Дисперсию можно вычислить по формуле:

.

Определим случайную величину Х²:

 

Х2
Р	0, 1	0, 4	0, 5

 

и ее математическое ожидание:

.

Тогда дисперсия случайной величины Х равна

.

Среднеквадратическое отклонение:

.

Задание 6

Пример 1. Плотность вероятности случайной величины Х равна , . Определить константу с.

Решение.

Согласно свойству плотности непрерывной случайной величины . Но

.

Следовательно, , .

Пример 2. Плотность вероятности случайной величины Х равна

Найти функцию распределения случайной величины Х и вероятность попадания Х в промежуток .

Решение.

Поскольку все значения случайной величины Х сосредоточены на промежутке , то при верно , а при верно , где - функция распределения случайной величины Х. Пусть . Тогда по определению функции распределения непрерывной случайной величины имеем:

И наконец, .

Пример 3. Вычислить математическое ожидание случайной величины Х, плотность вероятности которой равна

Решение.

Используем формулу для вычисления математического ожидания непрерывных случайных величин:

.

Вначале найдем первообразную функции методом интегрирования по частям:

Итак, .

Задание 7

Пример 1. Книга издана тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0, 0001. Найти вероятность того, что тираж содержит

а) не более двух бракованных книг;

б) более двух бракованных книг.

Решение.

Пусть случайная величина Х выражает число бракованных книг в тираже. Тогда случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами , .

а) Утверждение «тираж содержит не более двух бракованных книг» означает, что бракованных книг может быть 0 (ни одной), 1 или 2. Тогда искомая вероятность будет равна

.

Эта формула хоть и точная, но трудновычислима. Воспользуемся тем, что поскольку число n велико, а вероятность p мала, случайную величину Х приближенно можно считать распределенной по закону Пуассона с параметром np, т.е. . В нашем случае . Поэтому искомая вероятность будет приближенно равна

.

Ответ: 0, 003.

б) Поскольку , то, используя ранее вычисленное значение, получим

.

Ответ: 0, 997.

Пример 2. Длительность Т телефонного разговора является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Известно, что средняя длительность телефонного разговора равна 3 минутам. Найти вероятность того, что разговор будет длиться

а) не более трех минут;

б) более трех минут.

Решение.

По условию задачи параметр показательного распределения длительности Т равен .

а) .

Ответ: 0, 632.

б) .

Ответ: 0, 368.

Задание 8

Пример 1. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 20 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Систематические ошибки отсутствуют. Найти вероятность того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 4 мм.

Решение.

Известно, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и , , где - функция распределения стандартного закона. В нашем случае , , . Поэтому вероятность того, что при одном измерении ошибка не превзойдет 4 мм, будет равна , где значение берется из таблицы, приведенной выше.

Таким образом, вероятность того, что в каждом из трех независимых измерений ошибка превзойдет по абсолютной величине 4 мм, будет равна

.

Отсюда искомая вероятность равна 1 - 0, 5957 = 0, 4043.

Ответ: 0, 4043.

Пример 2. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами 10 (математическое ожидание) и 2 (среднеквадратическое отклонение). Найти вероятность того, что в результате испытания она примет значение из промежутка (12, 14).

Решение.

Известно, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и , .

В нашем случае , , , , откуда искомая вероятность будет равна:

Ответ: 0, 1359.

Пример 3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания этой случайной величины, в который она попадет с вероятностью 0, 9973 в результате одного испытания.

Решение.

Обозначим через длину искомого интервала, а через а – математическое ожидание случайной величины Х. Тогда

.

Следовательно, , откуда - квантиль уровня 0, 9987 стандартного закона. Воспользовавшись таблицей, приведенной выше, получим:

, , .

Задание 9

Пример. В страховой компании 10000 клиентов. В случае наступления страхового случая страховое возмещение равно 500 ден. ед. Вероятность наступления страхового случая, по оценкам экспертов, равна 0, 006. Найти вероятность того, что компания окажется в убытке к концу года, если страховой взнос равен 3, 5 ден. ед.

Решение.

Пусть случайная величина Y выражает число наступлений страховых случаев в течение года. Тогда общая сумма страхового возмещения составит 500Y ден. ед. Обозначим через x минимальную стоимость страхового взноса каждого клиента. Тогда 10000x – суммарный страховой взнос. Компания будет в убытке, если величина 500Y превзойдет 10000x.

Согласно условию, должно выполняться неравенство

.

Отсюда имеем: , .

Но по интегральной теореме Муавра-Лапласа

,

где , - функция распределения стандартного закона. Следовательно, .

Отсюда ввиду монотонности функции , где - квантиль уровня 0, 9938 стандартного закона. По таблице определяем, что . Поэтому , или , т.е. минимальный страховой взнос должен составить 4 ден. ед.

Ответ: 4 ден. ед.

Задание 10

Вероятность приема каждого из 100 передаваемых сигналов равна 0, 8. Найти вероятность того, что будет принято: а) 85 сигналов; б) не менее 70 и не более 90 сигналов.

Решение.

а) Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа. Из условия следует, что

Определяем .

По таблице (см. приложение) найдем

Согласно формуле получаем искомую вероятность

б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Из условия следует, что

Определяем ;

.

По таблице значений функции Лапласа (см. приложение) находим

Согласно формуле получаем искомую вероятность

Задание 11

Пример 1. На основании анализа производительности труда 20 человек, выбранных из достаточно большой генеральной совокупности, было установлено, что среднее квадратическое отклонение суточной выработки составляет 15 кг в час, а выборочная средняя производительность – 620 кг в час. Предполагая, что производительность имеет нормальное распределение, найти границы, в которых с надежностью 0, 9 заключены соответственно средняя суточная производительность всей генеральной совокупности и ее дисперсия.

Решение.

Поскольку объем генеральной совокупности достаточно большой (это сказано в условии), то выборку из 20 человек можно считать повторной. Известно, что если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то доверительные интервалы с надежностью γ соответственно для ее математического ожидания и дисперсии равны

, .

где n – объем повторной выборки, и - соответственно выборочные средняя и дисперсия, - квантиль уровня t-распределения с степенями свободы, - квантиль уровня -распределения с степенями свободы. В нашем случае , , , , . Поэтому искомые доверительные интервалы для генеральных средней и дисперсии соответственно равны (614, 05; 625, 95), (149, 5; 445, 5).

Пример 2. При обследовании выработки рабочих большого завода по схеме собственно-случайной повторной выборки было отобрано 100 рабочих и по этой выборке получены следующие данные: средняя выработка равна 119, 2 %, среднее квадратическое отклонение равно 9, 353 %. Определить границы, в которых с вероятностью 0, 9 заключена средняя выработка рабочих завода; определить объем выборки, при котором с вероятностью 0, 9 отклонение средней выработки рабочих в выборке от средней выработки рабочих завода не превзойдет 1 %.

Решение.

Известно, что для выборок большого объема доверительный интервал с надежностью для генеральной средней приближенно равен

,

где n – объем выборки, и s – соответственно выборочные средняя и дисперсия, - квантиль уровня нормального закона. В нашем случае , , , . Поэтому искомый доверительный интервал равен (117, 67; 120, 73).

Задание 12

Пример 1. В следующей таблице приводятся данные по расходу сырья на единицу продукции в зависимости от использования новой и старой технологий:

 

Старая технология

 

Новая технология

 

Полагая, что расходы сырья по каждой технологии имеют нормальные распределения с одинаковыми дисперсиями, на уровне значимости 0, 05 выяснить, дает ли новая технология экономию в среднем расходе сырья.

Решение.

Вначале определим выборочные средние:

, .

Теперь определим выборочные дисперсии:

, .

Проверяется нулевая гипотеза Н₀ о равенстве генеральных средних. В качестве альтернативной берется гипотеза о преимуществе новой технологии над старой. Для проверки нулевой гипотезы используется статистика

,

которая имеет t-распределение Стьюдента с степенями свободы.

123Следующая ⇒

Поделиться: