Кафедра высшей математики и информатики – 247-06-22

деканат факультета экономики и бизнеса – 385-96-54

 

Базовые определения и примеры

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события

Опытом или испытанием называют осуществление на практике какого-либо набора условий, при которых может наблюдаться изучаемое явление.

Существует множество задач, для решения которых нужно учитывать случайные факторы, вносящие в исход опыта элемент неопределенности.

В вероятностном эксперименте (опыте), результат невозможно предсказать заранее, так как он является случайным в силу сложного сочетания естественных причин.

Примеры: бросание игрального кубика или монеты, карточные игры, лотерея и др.

Любое действие в экономике по своей сути является вероятностным экспериментом. Например, строительство автомобильного завода в контексте получения прибыли является вероятностным экспериментом.

Событие – это любой исход (результат) или совокупность исходов какого-либо вероятностного эксперимента. Например, получение прибыли можно рассматривать как результат строительства завода.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игрального кубика имеется одна и та же возможность появления любой из цифр от 1 до 6, при бросании монеты выпадение «орла» и «решки» также считается равновозможным.

Все события делят на три основные группы:

1) невозможные события - те, которые не происходят никогда при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра 8);

2) возможные (вероятные, достоверные) события - те, которые обязательно произойдут при заданных условиях (на игральном кубике выпала цифра от 1 до 6);

3) случайные события - те, которые при заданных условиях могут произойти, а могут и не произойти (на игральном кубике выпала цифра 4).

Теория вероятностей изучает случайные события, которые можно повторить неограниченное или достаточно большое число раз в неизменных условиях, а также количественные законы, связанные с этими событиями.

Действия над случайными событиями

Случайные события обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С и т.д. Невозможное событие будем обозначать , а множество всех возможных событий – .

Пусть А и В – некоторые события.

1. Событие С будем называть объединением событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит или А, или В. Запись: C = или С = А + В.

2. Событие D будем называть пересечением событий А и В, если D происходит тогда, когда происходят А и В одновременно. Запись: D = или D = AB.

3. Событие будем называть дополнением к событию А ( противоположным к А), если оно происходит тогда, когда не происходит А. .

4. Событие C называется разностью событий А и В, если С происходит тогда, когда происходит А и не происходит В. Запись: С= .

Два события являются противоположными, если одно их них происходит тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Пример 1. Бросают игральный кубик. Пусть событие А = {выпадет четное число}, событие В = {выпадет число, которое делится на 3}. Найти сумму, произведение, разность событий А и В, противоположные к ним события.

Решение.

А = {2, 4, 6}; B = {3, 6}.

А + В ={2, 3, 4, 6}.

AB = {6}

={2, 4}.

={1, 3, 5}, ={1, 2, 4, 5}.

Иногда случайные события можно записать как объединение некоторых других событий из всего множества возможных событий, например, в примере 1 A = , где A₁ = {2, 4}, A₂ = {6}.

Случайные события, которые нельзя разложить в объединение некоторых других событий, называются элементарными событиями.

Таким образом, если мы имеем правильный игральный кубик, то элементарными событиями являются {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

Элементы комбинаторики

Для каждого вероятностного эксперимента можно определить пространство элементарных событий. Если это пространство содержит сравнительно небольшое количество событий, то их можно выписать и пересчитать. Если же элементарных событий достаточно много, то для нахождения вероятности нужно вычислить их количество.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются методы подсчета количества различных элементов (перестановки, размещения, сочетания).

Перестановкой из n элементов называется их произвольный набор.

Количество перестановок из n элементов:

(читается “эн-факториал”)

Если необходимо выбрать m элементов из n, то следует учитывать состав элементов и в некоторых случаях их порядок.

Размещения – это комбинации из n элементов по m, которые отличаются не только составом элементов, но и порядком их следования.

Количество размещений из n элементов по m:

.

Сочетаниями называются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов.

Общее число сочетаний из n элементов по m обозначается и определяется из формулы:

, .

Пример 2. Рассмотрим различные комбинации чисел 1, 2. 3.

Перестановки из чисел 1, 2, 3: {1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}.

.

Размещения из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1}, {2, 3}, {3, 2}.

.

Сочетания из чисел 1, 2, 3 по два: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: