Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

В подавляющем большинстве случаев на практике системы мас­сового обслуживания являются многоканальными, и, следователь­но, модели с п обслуживающими каналами (где п > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моде­лью, характеризуется интенсивностью входного потока Л, при этом параллельно может обслуживаться не более М клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняет­ся . Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Ре­жим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих ка­налов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель исполь­зования п параллельно включенных обслуживающих каналов за­ключается в повышении (по сравнению с одноканальной систе­мой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания од­новременно п клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслужи­вания с отказами имеет вид, показанный на рис. 10.3.

Рис. 10.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами.

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S ₀ - все каналы свободны;

S₁ - занят один канал, остальные свободны;

S_к — заняты ровно к каналов, остальные свободны;

S_n - заняты все п каналов, заявка получает отказ в обслужива­нии.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы Р₀, ..., Р_к, ..., Р_n будут иметь следующий вид:

Начальные условия решения системы таковы:

Стационарное решение системы имеет вид:

 

где p=L/M.

Формулы для вычисления вероятностей Р_к называются форму­лами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

• вероятность отказа:

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все п каналов заняты. Величина Р_0ТК характеризует полноту обслужива­ния входящего потока;

• вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) допол­няет Р_ОТКдо единицы:

• абсолютная пропускная способность

• среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее:

Величина к характеризует степень загрузки СМО.

Пример 10.4 . Пусть n-канальная СМО представляет собой вы­числительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступаю­щих на ВЦ, имеет интенсивность X = 1 задаче в час. Средняя про­должительность обслуживания t _обсл = 1, 8 час. Поток заявок на ре­шение задач и поток обслуживания этих заявок являются простей­шими.

Требуется вычислить финальные значения:

вероятности состояний ВЦ;

вероятности отказа в обслуживании заявки;

относительной пропускной способности ВЦ;

абсолютной пропускной способности ВЦ;

среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживания:

2. Приведенная интенсивность потока заявок

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эр­ланга (10.27):

3. Вероятность отказа в обслуживании заявки

Ротк = Рз = 0, 180.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

q = 1-P_отк= 1- 0, 180=0, 820

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

А = Л*q= 1 • 0, 820 = 0, 820.

7. Среднее число занятых каналов ПЭВМ

к = р • (1 - _Ротк) = 1, 8 • (1 - 0, 180) = 1, 476.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1, 5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно счи­тать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р₃ — 0, 180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сокра­тить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0, 0180. Для этого используем формулу (10.28):

Составим следующую таблицу:

n
P0	0, 357	0, 226	0, 186	0, 172	0, 167	0, 166
Pотк	0, 643	0, 367	0, 18	0, 075	0, 026	0, 0078

 

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расшире­ние числа каналов ВЦ при данных значениях X и ц до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение за­дач на 99, 22%, так как при

п = 6 вероятность отказа в обслужива­нии (Р_отк) составляет 0, 0078.

 

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характери­зуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями Ли М соответственно; параллельно обслуживаться могут не более С клиентов. Система имеет С кана­лов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/М.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описа­но с помощью системы алгебраических уравнений:

Решение системы уравнений имеет вид

(10.32)

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:

Вероятностные характеристики функционирования в стационар­ном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной оче­редью определяются по следующим формулам:

• вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслу­живании, определяется по формулам (10.32);

• среднее число клиентов в очереди на обслуживание

• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание) в очереди

• средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на об­служивание) в очереди

• средняя продолжительность пребывания клиента в системе

.

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового об­служивания с ожиданием.

Пример 10.5. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неис­правных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность л = 2, 5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t= 0, 5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской мо­жет расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероят­ностных характеристик системы:

вероятности состояний системы;

среднее число заявок в очереди на обслуживание;

среднее число находящихся в системе заявок;

среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживания

 

2. Приведенная интенсивность потока заявок

при этом Л/М* с = 2, 5/2 • 3 = 0, 41.

Поскольку с <, то очередь не растет безгранично и в сис­теме наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

 

 

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

Р_отл.= Ро + Р₁ + Р₂ + Рз =0, 279 + 0, 349 + 0, 218 + 0, 091 = 0, 937.

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

6. Среднее число находящихся в системе заявок

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очере­ди на обслуживание

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

⇐ Предыдущая12345

Поделиться: