Частные случаи, связанные с нечётностью по sin и cos.

 

Случай 1. Если функция в интеграле нечётная относительно косинуса, то есть , нужна замена: .

В чём её смысл. .

Далее, , поэтому .

Таким образом, будет корень в нечётной степени, полученный при замене в самой функции, и ещё один - из дифференциала. А если корень нечётной степени или умножить, или поделить на ещё один, то в итоге получится корень в чётной степени, то есть просто целая степень от , т.е. какой-то многочлен от . Таким образом, эта замена сводит всё к целым степеням от .

 

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Видим, что здесь функция нечётная относительно косинуса, то есть . Поэтому применим замену .

 

В этом случае , , .

= . Нечётная степень этого корня сократится с одним дополнительным корнем, который появился при пересчёте дифференциала, и станет чётная степень корня квадратного.

= = .

Знак модуля здесь вовсе не нужен, ведь с областью значений , так что заведомо выполняется .

= = .

Случай 2. Нечётная относительно sin функция в интеграле, то есть выполняется свойство . Тогда замена: .

В этом случае , , .

В результате тоже получается корень в чётной степени.

 

Случай 3. Если при смене знака и синуса, и косинуса знак итогового выражения по меняется 2 раза, то есть останется прежним.

Это означает, что суммарная степень чётна. Замена: .

, соответственно, .

Выразим синус и косинус. . Нужно выразить синус того угла, тангенс которого равен t. Рассмотрим прямоугольный треугольник, обозначим противолежащий и прилежащий катеты: t и 1. Но тогда по теореме Пифагора, гипотенуза равна . Подпишем её тоже.

А теперь можно выразить синус и косинус:

, .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Степени обеих функций нечётны, суммарная степень чётна. То есть, это как раз тот случай, когда можно сделать замену .

= = =

= = = = .

 

Ответ. .

 

Интегрирование выражений, содержащих

, , или .

Они сводятся к тригонометрическим функциям.

Случай 1. .

Замена: (или ).

Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .

Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.

Пример. Вычислить интеграл .

Здесь , потому что .

Замена . Корень при этом превратится в .

Итак, = = = .

после обратной замены, это .

Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .

Ну а тогда косинус равен .

= = .

Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.

Пример. С помощью данной замены доказать формулу из таблицы интегралов:

 

Сделаем замену , тогда = = = , и обратная замена приводит к .

Случай 2. .

Здесь замена (либо аналогично ).

Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,

= = = = = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.

 

Случай 3. .

Замена (либо ). Как действует такая замена.

, = = = = =. .

Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.

А тогда уже 2-я замена после этого приведёт к рациональной дроби, для которых затем разложение на простейшие. То есть, здесь бывают задачи, которые решаются в 3 шага, рассмотрим их на практике.

ЛЕКЦИЯ № 3. 28. 02. 2017

Определённый интеграл.

 

Определение. Пусть функция определена и непрерывна на . Введём разбиение отрезка на n частей: . Каждый из n элементарных отрезков обозначим , а его длину . Возьмём какую-то произвольную точку на каждом из этих отрезков, . Следующая сумма: называется интегральной суммой. Предел при и при условии, что (то есть разбиение отрезка измельчается повсюду, а не только в какой-то его части) называется интегралом функции по отрезку .

Обозначение: .

Геометрически означает сумму площадей прямоугольников, высота каждого из которых равна значению в выбираемой точке :

Чем больше n, тем более узкие прямоугольники получаются, и в пределе эта величина стремится к величине площади между графиком и осью. Геометрический смысл интеграла: площадь криволинейной трапеции под графиком (если график выше оси). Впрочем, интеграл может быть и меньше нуля, так, если то это площадь, расположенная между графиком и осью 0х, взятая с отрицательным знаком.

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: