Замена в двойном интеграле. Полярные координаты.

Кроме пары чисел , которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим . Угол между осью и этим отрезком обозначим .

Так как это прилежащий катет, а гипотенуза, тогда , аналогично , откуда следуют такие формулы:

Также возможен обратный пересчёт: , а угол: (это верно для 4 и 1 четвертей, то есть там, где основная непрерывная ветвь тангенса) и для 2, 3 четвертей.

Полярная система фактически применяется в жизни, например в городах с радиальной сеткой улиц. Так, в Москве есть юго-западный округ, северо-восточный и т.д. То есть там практически важно расстояние от центра (Кремля) и направление от центра (на юг, запад, восток, северо-запад и т.д.).

 

При замене переменных, соответственно, надо все переменные , присутствующие в функции, заменить на , а все на , то есть получим . Однако необходимо ещё заменить дифференциал, если помните, в 1-мерном случае это делали так: например, при было . В двумерном случае, дополнительный множитель также есть. Если бы просто написали вместо , то неверно задали бы искажение сетки координат при замене. Еслди изобразить дуги и радиусы, то сектора круга сужаются к центру, а когда переносим изображение в плоскость параметров то мы растягиваем эту сетку на некоторый прямоугольник, зелёный сектор по площади гораздо меньше красного, но без правильного пересчёта дифференциалов они получились бы равны. Чертёж - слева в плоскости параметров , справа в плоскости .

При том же растворе угла, чем ближе сектор к центру, тем меньше его площадь, и соответственно, меньше его влияние на интеграл. Для правильного учёта этих искажений, надо умножить на определитель матрицы линейного оператора порядка 2, эта матрица в то же время и является производной матрицей отображения .

При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка. Строение этой матрицы: .

Она называется матрицей Якоби, а её определитель - определителем Якоби, или «якобианом». В данном случае,

= , определитель: = .

Итак, доказали, что определитель Якоби полярной системы координат: . Выражение заменяется на .

Интеграл по той части фигуры, которая ближе к центру, как раз и будет взят с меньшим весом, а которая дальше от центра - с большим весом, ведь там больше. При замене , где , множитель фактически является одномерным якобианом, но только для матрицы порядка 1 определитель вычислять было не нужно, так как он совпадает с самим этим элементом.

При переходе к полярным координатам, фрагмент круга фактически отображается в прямоугольную область. А это удобнее для вычисления, так как границы внутреннего и внешнего циклов становятся независимы друг от друга.

 

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

В декартовых координатах, этот интеграл имеет такой вид:

, что при вычислении внутреннего интеграла дало бы , в итоге привело бы к и потребовало бы ещё серию подстановок. В полярных координатах, решение гораздо более просто и удобно.

Луч находится в 1 четверти при . Радиус 1. Тогда:

= = = =

= = =

= = = .

Кстати, множители, не зависящие от , можно было сразу вынести во внешний интеграл, как видим, они всё равно умножаются на первообразную по и остаются неизменными, и выносятся во внешний интеграл по .

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

Решение. Так как надо вычислить площадь, то считаем .

= = = = = .

 

Цилиндрические и сферические координаты в пространстве.

Существует два различных обобщения полярных координат для трёхмерного пространства.

Цилиндрические координаты.

Соединим точку кратчайшей линией с осью , и это расстояние (отрезок PM) обозначим . В проекции на горизонтальную плоскость, такую же длину имеет отрезок ON, соединяющий точку с началом координат в плоскости. Получается, что в плоскости пересчёт в такой же, как и для полярных координат. Координата не меняется, они и в старой, и в новой системе одна и так же. Тогда формулы перехода:

Вычислим определитель Якоби.

= = = = .

Диапазоны изменения таковы: , , .

Сферические координаты.

Эта система очень сильно похожа на географические координаты на планете. Если соединим точку кратчайшей линией теперь не с осью , а с точкой , и именно это расстояние обозначим , то чертёж получается несколько иной, чем в прошлом случае.

Угол между отрезком, соединяющим с началом координат, и вертикальной осью, обозначим (греческая буква «тетта»), а угол в горизонтальной плоскости между осью и его проекцией обозначим .

Координата , равная расстоянию OP, это прилежащий катет угла , таким образом, .

Расстояние PM = ON, обозначенное буквой А на правом чертеже, это противолежащий катет, поэтому . А в треугольнике в плоскости , это А является гипотенузой, где , . Поэтому в итоге получаем:

.

Здесь это и есть , если географическая широта. В этой системе «широта» фактически отмеряется от северного полюса, на экваторе она равна 90 градусов, а на южном полюсе 180. Угол это аналог географической долготы.

Диапазоны изменения таковы: , ,

Рассматривать нет смысла, потому что до этой же самой точки можно будет от северного полюса провести более короткую дугу с другой стороны, по другому мередиану, при .

Для сферических координат якобиан: . Выведем в качестве задачи на практике.

 

Известно, что площадь сферы пропорциональная квадрату расстояния от центра, и как видим, в определителе Якоби присутствует . Появление также не случайно и физически понятно: ведь при приближении к полюсу, площадь сегмента сферы между соседними широтами меньше, чем на экваторе. Так, между 0 и 10 градусов помещается много экваториальных стран, а длина экватора 40 тыс.км, а вот между 80 и 90 градусов - очень небольшая территория, и параллель 80⁰ намного короче, чем 10⁰.

 

Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

Решение. В этом примере надо рассматривать функцию .

Для шара, , , .

Функция равна 1, и её умножаем на якобиан.

= = =

= = .

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Лекция № 1

1. Докажите формулу интегрирования по частям.

Лекция № 2

1. Доказать, что замена , где r = НОК (r₁,..., r_k) сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

2. Доказать, что замена замена сводит интеграл вида к интегралу от рациональной дроби.

3. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса

для универсальной тригонометрической замены .

4. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби.

5. Доказать, что в случае, когда

замена: сводит интеграл к рациональной дроби.

6. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

7. Доказать формулу

8. Доказать, что для интеграла вида замена своит интеграл к рациональной дроби.

9. Доказать, что для интеграла вида замена сводит интеграл к рациональной дроби.

 

Лекция № 3

1. Доказать, что функция является первообразной от функции .

2. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: .

3. Доказать формулу длины явно заданной кривой:

.

4. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах

Лекция № 4

Докажите теорему: сходится , сходится .

Лекция № 5

1. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности .

2. Вывод формул перехода к полярным координатам .

3. Вывод определителя Якоби полярных координат .

4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам .

5. Вывод определителя Якоби цилиндрических координат .

6. Вывод формул перехода к сферическим координатам:

.

 

 

Приложение 2.

Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).

 

Лекция № 1

1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются?

2. Объяснить, почему тоже является первообразной.

3. Напишите формулу интегрирования по частям.

4. Какая замена требуется в интеграле вида и каким образом она устраняет корни?

5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны.

6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.

 

Лекция № 2.

1. Напишите, какое разложение рациональной дроби на простейшие в случае, когда в знаменателе есть множитель 2 степени с отрицательным дискриминантом.

2. Какая замена сводит интеграл к рациональной дроби?

3. Что такие универсальная тригонометрическая подстановка?

4. Какие замены производятся в случаях, когда функция под знаком интеграла нечётна относительно синуса (косинуса)?

5. Какие замены производятся в случае наличия в подынтегральной функции выражений , , или .

 

Лекция № 3.

1. Определение определённого интеграла.

2. Перечислите некоторые из основных свойств определённого интеграла.

3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Напишите формулу объёма тела вращения.

5. Напишите формулу длины явно заданной кривой.

6. Напишите формулу длины параметрически заданной кривой.

 

Лекция № 4.

1. Определение несобственного интеграла (с помощью предела).

2. Чем отличаются несобственные интегралы 1 и 2 рода.

3. Приведите простые примеры сходящихся интегралов 1 и 2 рода.

4. При каких сходятся интегралы (Т1).

5. Как сходимость связана с конечным пределом первообразной (Т2)

6. Что такое необходимый признак сходимости, его формулировка.

7. Признак сравнения в конечной форме

8. Признак сравнения в предельной форме.

9. Определение кратного интеграла.

 

Лекция № 5.

1. Смена порядка интегрирования, показать на простейшем примере.

2. Напишите формулу площади поверхности.

3. Что такое полярные координаты, напишите формулы перехода.

4. Чему равен якобиан полярной системы координат?

5. Что такое цилиндрические и сферические координаты, в чём их отличие.

6. Чему равен якобиан цилиндрических (сферических) координат.

 

Приложение 3. Задачи из лекций.

Лекция № 1

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. Пример. .

Пример. . Пример. .

Лекция № 2

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

Пример. . Пример. .

 

Лекция № 3 , , , , .

Пример. Вычислить .

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Пример. Вывести формулу объёма шара .

Лекция № 4

Вычислить , , , .

Выяснить сходимость: , .

Вычислить , где есть квадрат: , .

Вычислить , где , D треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (1, 1).

 

Лекция № 5.

Пример. Сменить порядок интегрирования .

Пример. Вычислить интеграл где D куб .

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

 

Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

 

 

⇐ Предыдущая123456

Поделиться: