ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ И КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

В.И. Бесшапошникова

 

 

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ И КАЧЕСТВА ПРОДУКЦИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Практикум лабораторных работ

Утверждено в качестве методического пособия

 

редакционно-издательским советом МГУДТ

 

Москва МГУДТ 2013

 

УДК [001: 67](075)

Б 53

 

 

Куратор РИС проф. В.И. Ракитянский

 

 

Работа рассмотрена на заседании кафедры материаловедения и рекомендована к печати

Зав. кафедрой д.т.н., проф. Е.А. Кирсанова

 

Автор		д.т.н., проф.В.И. Бесшапошникова
Рецензент		д.т.н., проф. С. В. Родэ

 

Б 53 В. И. Бесшапошникова, Оптимизация процессов и качества продукции легкой промышленности / Практикум лабораторных работ – М.: РИО МГУДТ, 2013. – 61 стр.

 

Приведены основные сведения о методах оптимизации процессов производства и качества изделий легкой промышленности, описываемых уравнением регрессии. Подробно рассмотрены методы оптимального одномерного и многомерного поиска: крутого восхождения, Гаусса-Зайделя и симплексного метода, последовательной дихотомии, метод Фибоначчи, метод золотого сечения и другие. Рассмотрены методы построения ортогональных и ротатабельных центральных композиционных планов для нахождения оптимума. Практикум предназначен для студентов направления подготовки 221700 «Стандартизация и метрология», а также магистров и аспирантов.

УДК [001: 67](075)

 

©Московскийгосударственный университет

дизайна и технологии, 2013

	СОДЕРЖАНИЕ	стр.
1.	Лабораторная работа №1 Оптимизация процессов и свойств продукции методами Гаусса-Зайделя, крутого восхождения и симплексным методом.............
2.	Лабораторная работа №2 Оптимизация методами последовательной дихотомии, Фибоначчи и золотого сечения…………………………………….
3.	Лабораторная работа №3 Исследование области оптимальных условий ортогональных планов второго порядка………………………….. ……………….
4.	Лабораторная работа №4 Исследование области оптимальных условий ротатабельных планов второго порядка……………………………
5.	Лабораторная работа №5 Каноническая модель уравнения регрессии второго порядка и ее анализ ………………………………………………………………...
	Список рекомендуемой литературы……………………………….
	Приложения…………………………………………………………

 

 

Лабораторная работа №1

 

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ И СВОЙСТВ ПРОДУКЦИИ МЕТОДАМИ ГАУССА-ЗАЙДЕЛЯ, КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ

И СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

 

Цель работы: Ознакомление с методами оптимального многомерного поиска методами крутого восхождения, Гаусса-Зайделя и симплексным методом.

Задание: 1. Изучить методы оптимального многомерного поиска.

2. По результатам лабораторной работы №4 (1 семестр) провести оптимизацию процесса или свойства продукции (с учетом вашего задания), описываемого уравнением регрессии у₁, методом крутого восхождения, а уравнением регрессии у₂ -симплексным методом.

 

Основные сведения

 

С помощью полного факторного эксперимента мы получили экспериментально-статистические модели в виде уравнений регрессии. В данной работе рассмотрим, как использовать эти модели для оптимизации процессов и свойств продукции.

Задачи отыскания экстремального значения функции отклика, когда эта функция зависит не от одного, а от п (п ≥ 2) факторов, встречаются на практике очень часто, несмотря на трудоемкость методов оптимизации. Эти трудности связаны, прежде всего, с тем, что при возрастании числа факторов возникает опасение, что функция отклика не сохранит свойство унимодальности. Кроме того, на ход поиска оптимума могут сильно влиять некоторые локальные свойства поверхности отклика, а также её особенности, такие как " овраги", " узкие хребты", " гребни", которые усложняют путь к экстремуму. Оптимизацию осуществляют в условиях ограничений на влияющие факторы и функции отклика.

Величина, характеризующая уровень оптимизации процесса, называется критерием оптимальности. Критерием оптимальности может быть одна из функций отклика, характеризующих процесс.

Оптимизация представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности, с учетом ограничений, наложенных на все влияющие факторы и функцию отклика.

Существует большое число разнообразных методов многомерного поиска оптимума. Эти методы можно разделить на две большие группы: на градиентные и неградиентные методы поиска экстремума.

Все градиентные методы основаны на предварительном определении градиента функции отклика φ:

grad φ = (d φ /dx₁) · i + (d φ / dx₂) · j +... + (d φ / dx_k) · k, (1.1)

 

где i, j,..., k - единичные векторы в направлении координатных осей; d φ /dx_i- частные производные функции по i-му фактору, оценками которых являются соответствующие коэффициенты регрессии.

Предполагается, что функция φ непрерывна и однозначна. Если ее разложить в ряд Тейлора в окрестностях точки, в которой берется значение градиента, и ограничиться лишь линейными членами, можно показать, что координаты градиента совпадают с коэффициентами полученного уравнения регрессии.

Рассмотрим градиентный метод поиска оптимума - Метод крутого восхождения (МКВ), который представляет собой процедуру изменения независимых переменных пропорционально величинам коэффициентов регрессии и последовательного перемещения в направлении градиента функции отклика по пути крутого восхождения, т.е. в направлении наибольшего увеличения отклика. Если поиск минимума параметра оптимизации, то мы говорим о методе крутого (наискорейшего) спуска.

Пусть, например, критерием оптимальности служит функция отклика у, представленная в виде (1.2):

y = b ₀ + b ₁x₁ + b ₂x₂ + b ₃x₃ + b ₁₂x₁x₂ + b ₁₃x₁x₃+…+ b _(к-1)кx_к-1x_к(1.2)

где у - отклик; b_o, b₁, b₂,... b_i,.., b_k - коэффициенты регрессии; x₁, x₂ , …, x_i, .. x_k - факторы; k - количество факторов.

Направление крутого восхождения - это направление, в котором у возрастает наиболее быстро и параллельно нормали к контурам поверхности отклика (рис. 1.1). Обычно в качестве пути крутого восхождения мы выбираем линию, проходящую через центр области экспериментирования и нормальную к контурам подобранной поверхности отклика. Сущность такой оптимизации состоит в следующем.

Рис. 1.1. Оптимизация по методу крутого восхождения.

1. Один из влияющих факторов Х_i принимают за базовый и для него вычисляют произведение соответствующего коэффициента регрессии b_i на шаг варьирования dх_i. Например, для первого фактора Х₁ это произведение имеет вид b₁ · х₁.

2. Затем для базового фактора Х₁ выбирают шаг движения ∆ х₁*, с которым будет осуществляться оптимизация. Шаг движения выбирается произвольно, однако он должен быть меньше интервала варьирования dх₁. При этом необходимо помнить, что небольшой шаг увеличит число опытов при движении к оптимуму, а большой шаг движения увеличивает вероятность проскочить область оптимума. Поэтому рекомендуется учитывать нижнюю границу, которая задается возможностью фиксирования двух соседних опытов, и верхнюю, которая ограничивается областью определения факторов.

3. После этого вычисляют шаг движения g по формуле:

g = ∆ х₁ */ b₁ · dх₁ (1.3)

Для всех остальных факторов шаги движения к оптимальным значениям рассчитывают по формуле:

∆ х_i *= g · b_i · dх_i (1.4)

Если какой-то фактор имеет ограничения, то его стабилизируют на максимально (минимально) возможном уровне, а другие продолжают изменять с тем же шагом.

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения.

Если же идет поиск минимума функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания ∆ х_i*. Такой способ оптимизации называют методом наискорейшего спуска.

Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:

1. Значения (одного или нескольких) факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.

2. Достигнут экстремум критерия оптимальности у.

В первом случае на этом оптимизация заканчивается, а во втором случае в области экстремума функции у ищут ее новоематематическое описание, используя полный факторный эксперимент или метод дробных реплик.

Если удается получить адекватное описание этой функции в виде (1.2), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения (рис. 1.1). Очевидно, оптимум, найденный в результате первого крутого восхождения, был локальным.

Если же в области оптимума не удается получить адекватного уравнения регрессии вида (1.2), то переходят к планированию эксперимента для получения математического описания функции у в виде многочлена второй степени. Методику проведения таких экспериментов будем изучать позже.

Пример 1.1. Пусть в результате полного факторного эксперимента получено адекватное линейное уравнение регрессии (лабораторная работа №4 методических указаний №1, у₁) вида:

y = 7 + 1, 54х₁ + 1, 0x₂ + 0, 85x₃ -1, 01x₂x₃-1, 64 x₁x₂ x₃

Уравнение является адекватным, при доверительной вероятности Р=0, 95, что позволяет оптимизировать процесс производства комплексных текстильных материалов высокой прочности клеевого соединения. Где Х₁ – температура прессования, ^оС; Х₂ - продолжительность, сек; Х₃ – давление прессующих поверхностей, 10^-2 МПа; у₁ -прочность при расслаивании клеевого соединения двух составляющих его слоев, Н/см.

Таблица 1.1. Основные характеристики плана эксперимента

Интервалы варьирования факторов	Факторы
Х1 = Т, температура, оС	Х2 = τ, время, сек	Х3=Р, давление, 10-2 МПа
Х10
∆ Х1*
dХi
Хi max
Хi min

Допустим, что ограничения на влияющие факторы имеют вид

100 ≤ Х₁≤ 170; 10 ≤ Х₂≤ 50; 3≤ Х₃≤ 7;

Будем оптимизировать прочность клеевого соединения слоев комплексных текстильных материалов методом крутого восхождения.

В качестве базового фактора возьмем температуру и примем шаг движения ∆ Х₁*на крутом восхождении 5°, тогда:

g = ∆ Х₁ */ b₁ · dХ₁ = 5 / (1, 54 · 30) =0, 1

Здесь интервал варьирования взят из условий плана ПФЭ (табл. 1.1). Шаг по времени на крутом восхождении равен:

∆ Х₂ *= g · b₂ · dХ₂ = 0, 1 · (+1, 0) · 20 = 2

Шаг по давлению пресса на крутом восхождении равен:

∆ Х₃ *= g · b₃ · dХ₃ = 0, 1 · (+0, 85) · 2 = 0, 17=0, 2

Для удобства допускается округление чисел до десятых. Результаты опытов, выполненных по методу крутого восхождения, свести в таблицу 1.2. Аналогично рассчитать шаг движения для кодированных переменных х₁, х₂ и х₃. Интервал варьирования взять из матрицы планирования ПФЭ, он всегда равен 1.

Центр плана для кодированных переменных нами выбран – ноль, начало координат. Его также можно рассчитать по формуле (1.5) с использованием физических переменных Х₁, Х₂, Х₃ и шагов варьирования, принятых ранее в полном факторном эксперименте.

х_i = (Х_i - Х_oi) / ∆ Х_i (1.5)

где i = 1, 2, …, n; ∆ Х_i – шаг варьирования или масштаб по оси Х_i; Х_i0 – центр варьирования переменных; х_i называют кодированной переменной.

∆ х₁ *= g · b₁ · dх₁ = 0, 1 · 1, 54· 1 =0, 2

∆ х₂ *= g · b₂ · dх₂ = 0, 1 · 1, 0· 1 =0, 1

∆ х₃ *= g · b₃· dх₃ = 0, 1 · 0, 85· 1 =0, 085=0, 1

Таблица 1.2. Результаты опытов по методу крутого восхождения

Характеристика и номер опыта	Х1	Х2	Х3	х1	х2	х3	ур	уэ
Центр плана							6, 9	7, 0
Интервал варьирования							-	-
Шаг движения			0, 2	0, 2	0, 1	0, 1	-	-
Крутое восхождение
Опыт №1			5, 2	0, 2	0, 1	0, 1	7, 48
Опыт №2			5, 4	0, 4	0, 2	0, 2	7, 92
Опыт №3			5, 6	0, 6	0, 3	0, 3	8, 30
Опыт №4			5, 8	0, 8	0, 4	0, 4	8, 61
Опыт №5			6, 0	1, 0	0, 5	0, 5	8, 81
Опыт №6			6, 2	1, 2	0, 6	0, 6	8, 89
Опыт №7			6, 4	1, 4	0, 7	0, 7	8, 84
Опыт №8			6, 6	1, 6	0, 8	0, 8	8, 62
Опыт №9			6, 8	1, 8	0, 9	0, 9	8, 23
Опыт №10			7, 0	2, 0	1, 0	1, 0	7, 64

Примечание: у₁^р и у₁^э - соответственно расчетные и экспериментальные значения параметра оптимизации.

 

Двигаясь по градиенту от центра плана на шаг движения, путем последовательного прибавления значения шага для каждого фактора, определим условия опытов крутого восхождения. Эти опыты часто называют мысленными.

Подставляя полученные кодированные переменные в уравнение регрессии, получим расчетные значения у^р параметра оптимизации, прочности клеевого соединения при расслаивании в зависимости от условий опытов (технологических параметров) Х₁, Х₂, Х₃.

Значения кодированных переменных берутся по модулю |Х₁|, |Х₂ | и|Х₃|, так как знак указывает направление движения.

Значения у^р и у^э рассчитывают как среднее арифметическое значений у^р и у^э, взятых в лабораторной работе №4 методических указаний №1.

y₁ = 7 + 1, 54 · 0, 2 + 1, 0 · 0, 1 + 0, 85 · 0, 1 -1, 01 · 0, 1 · 0, 1 -1, 64 · 0, 2 · 0, 1 · 0, 1=7, 48

y₂ = 7 + 1, 54 · 0, 4+ 1, 0 · 0, 2 + 0, 85 · 0, 2 -1, 01 · 0, 2 · 0, 2 -1, 64 · 0, 4 · 0, 2 · 0, 2=7, 92

……………………..

y₈ = 7 + 1, 54 · 1, 6+ 1, 0 · 0, 8 + 0, 85 · 0, 8 -1, 01 · 0, 8 · 0, 8 -1, 64 · 1, 6 · 0, 8 · 0, 8=8, 23

Как видно из табл. 1.2, в опытах № 5 и 6 достигнута максимальная прочность клеевого соединения текстильных полотен. Ограничения по факторам в ходе оптимизации не нарушены. Опытным путем подтверждаются значения у^р полученные с помощью ПФЭ и оптимизации градиентным методом крутого восхождения.

Вывод. Оптимальными режимами процесса производства композиционных текстильных материалов являются: температура 155-160 ^оС, продолжительность прессования 40-42 сек, давление 6, 0-6, 2·10 ^-2 МПа. При этих условиях достигается максимальная прочность клеевого соединения полотен 8, 89 Н/см.

 

Неградиентные методы поиска оптимума отличаются большим разнообразием идей, положенных в их основу. Всех их объединяет необходимость совершения пробных шагов с последующим движением в ту сторону, где результаты проб оказались благоприятными.

 

Рассмотрим метод покоординатного поиска или метод Гаусса-Зайделя. Метод состоит в последовательной оптимизации процесса по отдельным факторам при фиксированных значениях остальных.

Исходную точку выбирают на основании результатов предварительных исследований. Анализ результатов экспериментов проводят графически в натуральной системе координат. Исследования осуществляются в несколько циклов.

В первом цикле осуществляется движение параллельно одной из осей факторного пространства, и определяется наилучшее значение параметра оптимизации.

Затем в этой наилучшей точке проводится поворот, и движение ведется далее параллельно другой оси; подобная процедура продолжается до тех пор, пока не будут рассмотрены все исследуемые факторы.

Координаты частного оптимума, полученного в первом цикле, используют в качестве исходной точки второго цикла, где варьируются другие переменные. Координаты частного оптимума, полученного во втором цикле, используют в качестве исходной точки третьего цикла и т.д.

 

Эффективным способом оптимизации является последовательный симплексный метод ( ПСМ ), который в практику был введен в 1962 г. Ф. Химсвортом. Симплексом называется правильный многогранник, имеющий n + 1 вершину, где п — число факторов, влияющих на процесс.

Так, если факторов два, то симплексом является правильный треугольник. Сущность симплексного метода оптимизации иллюстрирует рис. 1.2. Все эксперименты в этом случае надо реализовывать при условиях, отвечающих вершинам правильных n-мерных симплексов. Начальная точка поиска обычно соответствует установленному технологическому регламенту или наилучшему из известных режимов ведения процесса. Эта точка может являться вершиной или центром начального симметричного правильного симплекса.

Ориентация начального симплекса может быть произвольной, т.к. наиболее выгодное направление движения невозможно предугадать. Размеры симплекса в ПСМ должны быть достаточно малы, но при этом возникает проблема выделения полезного сигнала на фоне шума, а именно, статистически значимого различия значений отклика в вершинах симплекса малых размеров. Эти трудности могут быть преодолены путем накопления результатов повторных наблюдений в вершинах симплекса и сравнения полученных средних арифметических значений.

 

Рис. 1.2. Оптимизация по симплексному методу

Необходимо по возможности стремиться планировать симплекс больших размеров, т.к. это сокращает количество повторных наблюдений в вершинах симплекса и ускоряет движение к оптимуму.

Движение к экстремуму поверхности отклика на каждом шаге должно осуществляться посредством перехода от реализуемого симплекса к новому путем отбрасывания наихудшей вершины и построения точки, симметричной к ней относительно центра (п-1)-мерной оставшейся грани симплекса.

В симплексном методе чаще всего начальная серия опытов соответствует вершинам исходного симплекса (точки 1, 2 и 3). Условия этих первых опытов берутся из области значений факторов, соответствующих наиболее благоприятным из известных режимов оптимизируемого процесса.

Сравнивая между собой результаты опытов в точках 1, 2 и 3, находят среди них самый «плохой», с точки зрения выбранного критерия оптимальности.

Пусть, например, в точке 1 опыт оказался самым «неудачным». Этот опыт исключают из рассмотрения, а вместо него в состав симплекса вводят опыт в точке 4 (движение по стрелке 1-4), которая симметрична точке 1 и соединяет точки 2 и 3. В полученном новом симплексе (аналогично предыдущему) сравнивают между собой результаты опытов в вершинах симплекса 2, 3 и 4 и отбрасывают самый «неудачный» из них, допустим, опыт 3. При этом переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5 (движение по стрелке 3-5). Данная процедура повторяется в течение всего процесса оптимизации до тех пор, пока не будет достигнут экстремум. О достижение экстремума свидетельствует тот факт, что новый шаг возвращает исследователя в предыдущую точку факторного пространства. Когда экстремум достигнут, то дальнейшее движение симплекса прекращается.

Симплексный метод, так же как и метод крутого восхождения, является локальным методом поиска экстремума. Если существует несколько экстремумов критерия оптимальности, то этот метод позволяет найти тот из них, который расположен ближе к точкам исходного симплекса. Поэтому, если есть подозрение о существовании нескольких экстремумов критерия оптимальности, нужно осуществить их поиск, каждый раз начиная оптимизацию из новой области факторного пространства. Затем следует сравнить между собой найденные оптимальные условия и из всех вариантов выбрать наилучший.

При оптимизации необходимо принимать во внимание ограничения, наложенные на влияющие факторы и функции отклика. Матрица опытов исходного симплекса в кодированных переменных приведена в табл. 1.3. Символом «0» (ноль) обозначены координаты центра плана, т. е. основной уровень.

 

Таблица 1.3. Матрица исходного симплекса

Номер опыта	Х1	Х2	Хп-1	Хп	Функция отклика
	k1	k2	k п-1	k п	У1
	-R1	k2	k п-1	k п	У2
		-R2	k п-1	k п	У3
…	…	…	…	…	…
п-1			k п-1	k п	Уп-1
п			-Rп-1	k п	Уп
п+1				-Rп	Уп+1

 

Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по следующим формулам:

(1.6)

R_i = i k_i (1.7)

где i— номер фактора в матрице планирования, п – число факторов.

 

Опыты, представленные в табл. 1.3, соответствуют вершинам симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных). Условия проведения начальной серии опытов, рассчитанные по формулам 1.6 и 1.7, представлены в таблице 1.4.

 

Таблица 1.4. Условия начальной серии опытов

Номер опыта	х1	х2	х3	х4	х5	х6
	0, 5	0, 289	0, 204	0, 158	0, 129	0, 109
	-0, 5	0, 289	0, 204	0, 158	0, 129	0, 109
		-0, 578	0, 204	0, 158	0, 129	0, 109
			-0, 612	0, 158	0, 129	0, 109
				-0, 632	0, 129	0, 109
					-0, 645	0, 109
						-0, 654

 

Аналогично можно рассчитать условия исходной серии опытов для любого количества факторов. Если исследуется влияние трех факторов, то для расчета начальных условий опытов следует взять из таблицы 1.4 данные трех столбцов и четырех строк.

Затем необходимо рассчитать матрицу исходной серии опытов в физических величинах из формулы 1.5.

Х_i = Х_oi + ∆ Х_i ·х_i (1.8)

где i = 1, 2, …, n; ∆ Х_i – шаг варьирования или масштаб по оси Х_i; Х_i0 – центр варьирования переменных; Х_i – физическая величина фактора; х_i - называют кодированной переменной.

Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле:

(1.9)

где п – число факторов в матрице планирования, i— номер фактора, j –номер опыта, x_i^* - значение i –го фактора в самом «неудачном» опыте предыдущего симплекса.

Симплексный метод оптимизации позволяет на любом шаге нахождения экстремума включить в программу новый фактор, который до этого был на постоянном уровне и не принимался во внимание. При этом количество опытов увеличивается вдвое. Значения всех ранее рассмотренных факторов рассчитываются по формуле:

(1.10)

где i=1, 2, .., п - является средним арифметическим значением соответствующих координат предыдущего симплекса.

Значение вновь вводимого фактора определяется по формуле:

Х_п+1 = Х_o(п+1) + ∆ Х_п+1 (R_п+1 + k _п+1) (1.11)

где Х_o(п+1) – основной уровень этого фактора;

∆ Х_п+1 – выбранный шаг варьирования для данного фактора;

R_п+1 и k _п+1 - величины, рассчитанные по формулам 1.6 и 1.7.

Пример 1.2. Пусть требуется с помощью симплексного метода оптимизировать все тот же процесс производства комплексных текстильных материалов, с целью обеспечения высокой прочности клеевого соединения. В результате полного факторного эксперимента получено адекватное линейное уравнение регрессии (лабораторная работа №4, методические указания №1, у₁) вида:

y = 7 + 1, 54х₁ + 1, 0x₂ + 0, 85x₃ -1, 01x₂x₃-1, 64 x₁x₂ x₃ (1.12)

которое является адекватным, при доверительной вероятности Р=0, 95. Технологические параметры – факторы ПФЭ: Х₁ – температура прессования, ^оС; Х₂ - продолжительность, сек; Х₃ – давление прессующих поверхностей, 10^-2 МПа; у₁ -прочность при расслаивании клеевого соединения двух составляющих его слоев, Н/см.

Сначала выберем основные уровни и шаги варьирования факторов. Результаты представим в виде таблицы.

Значения уровней факторов и шагов варьирования

Факторы	Основной уровень	Шаг варьирования
Х1
Х2
Х3

 

Пользуясь формулой 1.8 и табл. 1.4, рассчитаем условия проведения первых четырех опытов и полученные результаты запишем в таблицу 1.5.

 

Таблица 1.5. Условия и результаты планирования по симплексному методу

Номер опыта	Х1	Х2	Х3 х10-2	Функция отклика
	132, 5	0, 5	31, 4	0, 289	5, 2	0, 204	8, 1
	127, 5	-0, 5	31, 4	0, 289	5, 2	0, 204	6, 68
			27, 1	-0, 578	5, 2	0, 204	6, 71
					4, 4	-0, 612	6, 48
			29, 9			1, 02	7, 86
		0, 166	27, 5	-0, 482	5, 7	0, 748	7, 87
		0, 444	32, 1	0, 449	6, 1	1, 111	8, 21
		0, 740	30, 7	0, 170	5, 3	0, 355	8, 48
		0, 956	35, 3	1, 087	5, 4	0, 365	8, 85
…	…	…	…	…	…	…	…
		1, 082	40, 0	1, 082	6, 0	0, 387	8, 92
		1, 112		0, 984	6, 2	0, 368	8, 97
		0, 748		0, 172	5, 8	0, 354	8, 50

Х_{i j}= Х_oi + ∆ Х_i ·х_i (1.8)

где i = 1, 2, …, n –номер опыта; j – номер фактора; ∆ Х_i – шаг варьирования или масштаб по оси Х_i (из табл. 6.5); Х_i0 – основной уровень варьирования переменных (из табл. 1.5); х_i - кодированная переменная (из табл. 1.4).

 

Условия для первого опыта: Х11=130+5·0, 5=132, 5 Х12=30+5·0, 289=31, 4 Х13=5+1·0, 204=5, 2 Условия для второго опыта: Х21=130+5·(-0, 5)=127, 5 Х22=30+5·0, 289=31, 4 Х23=5+1·0, 204=5, 2

Условия для третьего опыта: Х31=130+5·0=130 Х32=30+5·(-0, 578)=27, 1 Х33=5+1·0, 204=5, 2 Условия для четвертого опыта: Х41=130+5·0=130 Х42=30+5·0=30 Х43=5+1·(-0, 612)=4, 4

 

Подставляя кодированные значения факторов в уравнение регрессии (1.12), получим значения функции отклика для четырех опытов:

y₁ = 7 + 1, 54·0, 5 + 1, 0·0, 289 + 0, 85·0, 204 -1, 01·0, 289·0, 204-

-1, 64· 0, 5·0, 289 ·0, 204=8, 1

y₂ = 7 - 1, 54·0, 5 + 1, 0·0, 289 + 0, 85·0, 204 -1, 01·0, 289·0, 204+

+1, 64· 0, 5·0, 289 ·0, 204=6, 68

y₃ = 7 + 1, 54·0 - 1, 0·0, 578 + 0, 85·0, 204 +1, 01·0, 578·0, 204+

+1, 64· 0·0, 578 ·0, 204=6, 71

y₄ = 7 + 1, 54·0 + 1, 0·0- 0, 85·0, 612 +1, 01·0·0, 612+1, 64· 0·0·0, 612=6, 48

 

Сравнивая между собой результаты первых четырех опытов, видим, что самая низкая прочность клеевого соединения слоев текстильных полотен в опыте 4. Этот опыт исключаем из дальнейшего рассмотрения. Заменим его новым опытом 5. Для этого рассчитаем условия проведения пятого опыта по формуле (1.9).

Y₅ = 7 + 1, 54·0 + 1, 0·0+ 0, 85·1, 02 -1, 01·0·1, 02-1, 64· 0·0·1, 02=7, 86

В новом симплексе, образованном опытами 1, 2, 3 и 5, самым неудачным является опыт №2. Его исключаем и заменим опытом №6.

y₁ =7 +1, 54·0, 166 - 1, 0·0, 482 + 0, 85·0, 748 +1, 01·0, 482·0, 748+

+1, 64· 0, 166·0, 482 ·0, 748=7, 87

В новом симплексе, образованном опытами 1, 3, 6 и 5, самым неудачным является опыт №3. Его исключаем и заменим опытом №7.

Y₇ = 7+1, 54·0, 444 + 1, 0·0, 449 + 0, 85·1, 111 -1, 01·0, 449·1, 111-

-1, 64· 0, 444·0, 449 ·1, 111=8, 21

В новом симплексе, образованном опытами 1, 6, 7 и 5, самым неудачным является опыт №5. Его исключаем и заменим опытом №7.

Y₇ = 7+1, 54·0, 740 + 1, 0·0, 170 + 0, 85·0, 355 -1, 01·0, 17·0, 355-

-1, 64· 0, 74·0, 17 ·0, 355=8, 48

В новом симплексе, образованном опытами 1, 6, 7 и 8, самым неудачным является опыт №6. Его исключаем и заменим опытом №9.

Такая процедура продолжается до тех пор, пока зеркальная точка нового симплекса не станет его наихудшей вершиной, в результате чего поступательное перемещение симплекса преобразуется в качание относительно противолежащей грани. Это может свидетельствовать о приближении к экстремуму поверхности отклика. Пока точка экстремума в факторном пространстве остается неподвижной, симплекс постоянно качается, вращается около некоторой, близкой к ней, точки.

Если же точка экстремума начинает дрейфовать, то вслед за ней перемешается и симплекс, описывая спираль около ее траектории. При этом условия управления объектом будут непрерывно изменяться, приспосабливаясь к Дрейфу.

В рассматриваемом примере экстремум достигается в 23-24-ом опытах, так как следующий шаг возвращает нас назад, т.е. значение функции отклика уменьшается.

Вывод. Оптимальными режимами процесса производства композиционных текстильных материалов являются температура 155-160 ^оС, продолжительность прессования 40-42 сек, давление пресса (6, 0-6, 2)·10^-2 МПа. При этих условиях достигается максимальная прочность клеевого соединения полотен 8, 92-8, 97 Н/см.

 

Задание для самостоятельной работы

1. По результатам лабораторной работы №4 (методические указания №1) провести оптимизацию процесса или свойства продукции (с учетом вашего задания). Оптимизацию процесса, описываемого уравнением регрессии у₁, провестиметодом крутого восхождения, а уравнением регрессии у₂ -симплексным методом.

2. Провести сравнительный анализ методов оптимизации.

3. Сделать выводы по работе.

Содержание и оформление отчета

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

2. Тема, цель и индивидуальное задание.

3. Результат выполнения работы в соответствии с индивидуальным заданием.

4. Выводы по лабораторной работе.

Контрольные вопросы

1. Что такое оптимизация, и с какой целью ее проводят?

2. Какие методы оптимизации вы знаете? В чем сущность и алгоритм оптимизации по методу Гаусса-Зайделя?

3. В чем сущность и алгоритм оптимизации методом крутого восхождения?

4. В чем сущность и алгоритм оптимизации симплексным методом?

5. Что общего и в чем различие методов оптимального многомерного поиска?

6. Как определяется окончание процедуры оптимизации в случае многомерного поиска?

 

 

Лабораторная работа №2

 

Основные сведения

При изучении зависимости свойств текстильных и кожевенных материалов от технологических факторов возникают задачи (определение составов, обеспечивающих желаемое значение свойства, нахождение координат экстремальных точек и т.д.), которые можно решить с помощью различных методов оптимизации. Суть методов одномерного поиска (методов исключения) состоит в следующем.

12345Следующая ⇒

Поделиться: