|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Переведем кодированные переменные в физические величины. ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Найдём нормированное значение Хiн для каждого фактора: Хi = (xi - xoi) / ∆ xi; Х1= (х1-130)/5=0, 2 х1-26 Х2= (х2-20)/2=0, 5х2-10 Подставляя их в полученное уравнение регрессии, преобразуем его в вид: у=66, 7-1, 89 Х1 +2, 41 Х2-1, 61 Х1 Х2 -0, 61 Х12 +3, 40 Х22= = 66, 7-1, 89(0, 2 х1-26) +2, 41 (0, 5х2-10)-1, 61(0, 2 х1-26)(0, 5х2-10) – -0, 61(0, 2 х1-26)2+3, 40 (0, 5х2-10)2= =425, 5+9, 182х1 +5, 13х2 -0, 161х1х2-0, 02 х12+ 0, 85х22; В окончательном виде: у=425, 5+9, 182Т +5, 13W -0, 161TW-0, 02 T2+ 0, 85W2;
где T – температура, оС, W- влажность, %. Задание для самостоятельной работы 1. Используя результаты предыдущей лабораторной работы ортогонального ЦКПланирования эксперимента составить матрицу планирования ротатабельного ортогонального центрального композиционного (РОЦКП) плана для исследуемых факторов с использованием дополнительного нулевого фактора (Х0=1). 2. Провести эксперимент, повторив 3 раза опыты во всех точках факторного пространства, найти значения функции отклика Y. 3. Проверить однородность дисперсии по критерию Кохрена и, если необходимо, подобрать такое m (m – кратность проведения опытов, не больше 5), чтобы дисперсия была однородной. 4. Найти коэффициенты уравнения регрессии. 5. С помощью критерия Стьюдента оценить значимость коэффициентов регрессии. 6. Проверить адекватность модели оригиналу с помощью критерия Фишера. 7. Привести уравнение регрессии к натуральному виду. Выводы и рекомендации по работе. Должны содержать заключение о значимости коэффициентов регрессии, уравнение регрессии и заключение о его адекватности поверхности отклика исследуемого объекта. Оформить результаты работы в виде отчета по лабораторной работе в соответствии с требованиями (см. стр. 5 метод указ). Контрольные вопросы 1. Почему в планах второго порядка возрастает минимально необходимое количество точек в спектре плана? Как определяется число членов квадратичной модели? 2. В каких случаях используют квадратичную модель объекта? 3. Дайте определение ЦКП, ОЦКП и РОЦКП, в чем особенность каждого плана и его преимущества? 4. Как перевести уравнения регрессии в натуральные величины? 5. Чем обеспечивается ортогональность столбцов матрицы РОЦКП? 6. Каким образом для РОЦКП выбирается числовое значение g (звездного плеча). 7. Объясните, почему точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова. 8. Поясните суть каждого из двух опробованных методов построения уравнений регрессии. Каковы отличительные особенности этих методов?
Лабораторная работа №5
КАНОНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УРАНЕНИЯ РЕГРЕССИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ЕЕ АНАЛИЗ
Цель работы: ознакомиться с методами описания области оптимума с использованием канонической формы уравнения регрессии. Задание: 1. Изучить особенности перевода ортогональных и ротатабельных центральных композиционных планов в каноническую форму; 2. Получить каноническую форму уравнения регрессии, описывающего влияние факторов на качество конкретной продукции в соответствии с заданием.
Основные сведения Когда исследователь относительно близок к оптимуму, то из-за кривизны истинной поверхности для описания отклика обычно требуется модель второго или более высокого порядка. Уравнение регрессии, полученное с помощью ортогонального или рототабельного центрального композиционного планирования (ЦКП), позволяет предсказать не только значение функции отклика для заданных условий проведения эксперимента, но также дает информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимального режима, например, технологических процессов отделки текстильных и кожевенных материалов. В большинстве случаев адекватной аппроксимацией оказывается модель второго порядка типа (5.1):
или уравнение регрессии в обычном виде (5.2): у= b 0 + b1x1+ … + bпxп + b12x1x2 + … + bп–1, п xп–1xп+ b11x12 + … + bппxп2 (5.2)
Анализ подобранной поверхности второго порядка часто называется каноническим. Предположим, что мы хотим найти уровни x1, х2, ..., хк, оптимизирующие поверхность отклика. Точка максимума, если она существует, описывается таким набором координат x1 х2, ..., хк, что частные производные д Эта точка, например, с координатами х1, 0, х2, 0, ..., хк, 0, называется стационарной. Стационарная точка может являться точкой максимума или минимума отклика, либо седловой точкой. Эти три разновидности стационарных точек приведены на (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Стационарные точки поверхности отклика второго порядка: а- экстремум на вершине поверхности отклика; б – «стационарного возвышения»; в- поверхность отклика «седлом»
Все многообразие поверхностей отклика можно разделить на три класса. К первому классу относятся поверхности, имеющие экстремум (рис. 10.1, а). В этом случае все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки, а центр поверхности находится вблизи центра эксперимента. Анализ таких поверхностей заканчивается после приведения уравнения регрессии к канонической форме. Исследователю необходимо только поставить несколько опытов вблизи центра поверхности и убедиться, что значения функции отклика, предсказанные уравнением регрессии, достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными. Ко второму классу относятся поверхности типа «стационарного возвышения» (рис. 5.1, б). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю. К третьему классу относятся поверхности типа «седло» (рис. 5.1, в). Они характеризуются тем, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, а центр поверхности находится поблизости от центра эксперимента. Имея дело с поверхностями отклика типа «стационарное возвышение» или «седло», исследователь должен пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычислительной техники для нахождения условного экстремума критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы и остальные функции отклика. Частью канонического анализа и является определение характера стационарной точки. Для определения характера стационарной точки необходимо преобразовать модель, перейдя к новой системе координат S с началом в стационарной точке Х0, а затем повернуть оси этой системы так, чтобы они совпали с главными осями подобранной поверхности отклика (рис. 5.2). При этом уравнение регрессии (5.2) примет вид так называемой канонической формы (5.3): Y-Ys= B11Z12+ B22Z22+… + BппZп2 (5.3) где Y –функция отклика, Ys – значение функции отклика в новом начале координат.Zi – преобразованные независимые переменные, Bii – коэффициенты канонической формы.
Чтобы привести уравнение регрессии (5.2) к канонической форме (5.3), следует найти частные производные функции отклика по всем факторам, приравнять их нулю и решить систему уравнений: ду/дХ1 =0, …, ду/дХп = 0 Если эта система имеет решение (обозначим его Х1s, …, Хпs), то поверхность называется центральной, а числа Х1s, …, Хпs являются координатами ее центра. Подставляя Х1s, …, Хпs в уравнение (5.2) находим Ys. Решая характеристическое уравнение (5.4) находим его корни B11, …, Bпп. Эти корни являются коэффициентами искомой квадратичной формы.
Симметричная матрица, на главной диагонали которой стоят коэффициенты при чисто квадратичных слагаемых (bij), а недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов при смешанных произведениях (bij, , i≠ 1). Корни найдены правильно, если выполняется условие:
Рассмотрим методику нахождения зависимости между переменными X1…, Xn и Z1, …, Zn. Сначала решают систему уравнений (5.5): (b11-Bii)mi1+0, 5 b12mi2+ …+0.5 b1nmin =0 0, 5 b21mi1+ (b22-Bii)mi2+…+0.5 b2nmin =0 … (5.5) ……………………………………………………. 0.5 bn1mi1 +0, 5 bn2mi2+ …+ (bnn-Bnn)min=0 где bij=bji, i=1, 2, …, n. min – нормированные векторы. Решение этой системы уравнений может быть найдено с точностью до числового множителя. Систему уравнений (5.5) решают п раз, каждый раз при новом значении Bii. В результате решения находим: т11, т12, …, т1п т21, т22, …, т2п тп1, тп2, …, тпп Для решения нормированного уравнения надо определить величины Mij, где i, j= 1, 2, n.:
При каждом значении i = 1, 2, ..., п выполняется условие нормировки:
Искомая зависимость между переменными имеет вид: Z1 =M11 (X1 – X1s)+ …+M1n (Xn – Xns ) Z2 =M21 (X1 – X1s)+ …+M2n (Xn – Xns ) …………………………………………… Zn =Mn1 (X1 – X1s)+ …+Mnn (Xn – Xns ) При числе факторов п > 2 приведение уравнения к каноническому виду требует значительного объема вычислений, поэтому его следуёт осуществлять с помощью вычислительных машин. Характер поверхности отклика можно определить по стационарной точке, знаку и величине Bi. Предположим сначала, что стационарная точка находится в области экспериментирования, исследованной при подборе модели второго порядка. Если все Bi.положительны, то х0 — точка минимума отклика; если все Bi.отрицательны, то х0 — точка максимума отклика. Если знаки Bi. различны, то х0 —точка седла. Кроме того, поверхность оказывается наиболее крутой в направлении S, для которого Bi. наибольший. На (рис. 5.3) изображена система, для которой х0— точка максимума (коэффициенты B1 и B2 неотрицательны), причем |B1| > |B2|. Когда одно или несколько Bi очень малы (например, Bi≈ 0), то система оказывается нечувствительной к переменной Zi. Поверхность такого типа часто называется стационарным гребнем (рис. 5.3).
а б Рис. 5.3. поверхности отклика вида: а – стационарным; б – возрастающим гребнем
Если стационарная точка находится далеко за пределами области, исследованной при подборе поверхности второго порядка, а одно или более Bi.близко к нулю, то поверхность может быть возрастающим гребнем (рис. 5.3 б). На рис. 5.4 изображен возрастающий гребень для к = 2 переменных при B1 близком к нулю, и отрицательном B2.
Рис. 5.4. Схема построения плана в точках экстремума
Для систем с гребнями такого типа нельзя сказать ничего определенного об истинной поверхности или стационарной точке, поскольку х0 не принадлежит области экспериментирования, исследованной при подборе модели. Однако разумно продолжить исследование в направлении Si. Если B2.положительно, то систему называют нисходящим гребнем. Пример 5.1. Приведем к каноническому виду уравнение рецессии, описывающее влияние Х1 – температуры и Х2 – индекса текучести расплава клея на у -прочность клеевого соединения деталей одежды: у = 66 – 2, 5X1 + 3, 0Х2 – 2, 0Х1Х2 - 0, 9 Х12 + 4, 0X22 Сначала составим систему уравнений: ду/дХ1 =-2, 5-2, 0 Х2 - 2·0, 9 Х1 =0 ду/дХ2 = 3, 0 - 1, 6Х1 +2· 4, 0X2=0 Приведем ее к виду: 1, 8 Х1 +2, 0 Х2 =-2, 5 2, 0Х1 -8, 0X2=3, 0 Эту систему уравнений будем решать методом определителей:
Подставляя найденные значения Ys= 66 – 2, 5(-0, 76) + 3, 0(-0, 57) – 2, 0(-0, 76) (-0, 57) - 0, 9 (-0, 76)2 + +4, 0(-0, 57)2=62, 74 Составим характеристическое уравнение:
Подставим в него значения коэффициентов:
Раскрывая определитель, стоящий в левой части уравнения, получим: (-0, 9-В)(4, 0-В)-[1/2·(-2, 0)]2=0 В2-3, 1В-4, 6=0 Корни уравнения: Проверим выполнение условия:
В11+В22=-1, 1+ 4, 2=3, 1. Таким образом, условие выполнено, следовательно, коэффициенты канонической формы вычислены правильно. Уравнение регрессии в канонической форме имеет вид: Y= 66 –1, 1Z12 +4, 2 Z22. Отсюда видно, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, это свидетельствует, что поверхность отклика имеет вид «седла». Поэтому, чтобы увеличить значение Y, следует двигаться от центра поверхности по направлению оси Z2. Найдем соотношение между координатами Х1, Х2 и Z1, Z2. Составим для этого систему уравнений: (b11-B11)m11+0, 5 b12m12=0 0, 5 b21m11+ (b22-B11)m12=0 Подставляя в нее значения коэффициентов, получим: [(-0, 9)-(-1, 1)] m11+0, 5(-2, 0) m12=0 0, 5(-2, 0) m11+[4, 0-(-1, 1)] m12=0
Отсюда m11=5, 08 m12. Учитывая, что решение данной системы уравнений возможно только с точностью до числового множителя, предположим, что m12=1, тогда m11=5, 08. Найдем теперь нормированное решение уравнения, для этого определим величины М11 и М12.
Составим вторую систему уравнений: (b11-B22)m21+0, 5 b12m22=0 0, 5 b21m21+ (b22-B22)m22=0 Подставляя в нее значения коэффициентов, получим: (-0, 9-4, 2) m21+0, 5(-2, 0) m22=0 0, 5(-2, 0) m21+(4, 0-4, 2) m22=0 Отсюда m21=-0, 195·m22. Примем, что m22=1, тогда m21=-0, 195. Найдем величины М21 и М22.
Представим связь между координатами в следующем виде: Z1 =M11 (X1 – X1s)+M12 (X2 – X2s ) Z2 =M21 (X1 – X1s)+M22 (X2 – X2s ) Подставляя сюда значения коэффициентов, получим: Z1 =0, 98[X1- (-0, 76)] +0, 19[X2 – (-0, 57)]=0, 98 X1 +0, 19 X2+0, 85 Z2 =-0, 191 [X1 – (-0.76)]+0, 98 [X2 – (-0, 57)]= =-0, 191 X1 +0, 98X2+0, 42 Для нахождения угла поворота φ новых координатных осей относительно старых вычислим величину:
Отсюда φ =10, 9о. Угол положителен, следовательно, координатные оси при каноническом преобразовании повернуты против часовой стрелки.
Задание для самостоятельной работы 1. Изучить методику и особенности перевода ортогональных и ротатабельных центральных композиционных планов в каноническую форму. 2. Используя уравнение регрессии предыдущих лабораторных работ ортогонального или ротатабельного ЦКПланирования перевести его в каноническую форму. 3. Проверьте правильность вычисления коэффициентов уравнения канонической формы. 4. Найдите соотношение между координатами Хп и Zп. 5. Провести нормированное решение уравнения. 6. Определить угол поворота φ новых координатных осей. Выводы и рекомендации по работе. Должны содержать заключение о характере поверхности отклика исследуемого параметра оптимизации.
Оформить результаты работы в виде отчета по лабораторной работе в соответствии с требованиями (см. стр. 5 метод. указаний по ПИОЭ №1). Контрольные вопросы 1. С какой целью переводят уравнения регрессии ОЦКП и РОЦКП в каноническую форму? 2. В чем состоит методика перевода уравнения регрессии ОЦКП и РОЦКП в каноническую форму? 3. Как проверяется правильность вычисления коэффициентов уравнения канонической формы? 4. Как определяется соотношение между координатами плана ортогонального Хп и канонического Zп? 5. Как осуществляется нормированное решение уравнения? 6. Как определить угол поворота φ новых координатных осей? 7. Как характеризуется поверхность отклика по стационарной точке, знаку и величине коэффициентов Bi?
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сидняев Н. И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие / Н. И. Сидняев. – М.: ИД Юрайт, 2012. – 399 с. 2. Романов В. Н. Системный анализ для инженеров / В. Н. Романов. – СПб.: СЗГЗТУ, 2006. – 186 с. 3. Яворский В. А. Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных: учебное пособие / В. А. Яворский. – М.: МФТИ, 2006. – 24 с. 4. Рогов В. А. Методика и практика технических экспериментов: учебное пособие для вузов / В. А. Рогов, Г. Г. Позняк. – М.: Академия, 2005. – 283 с. 5. Джонсон И. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы планирования эксперимента. Пер. с англ. / И. Джонсон, Ф. Лион. – М.: Мир, 1981. – 520с. 6. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов: учебник для вузов / В. Г. Блохин, О. П. Глудких, А. И. Гуров, Н. А. Ханин; под ред. О. П. Глудких. – М.: Радио и связь, 1997. 7. Адлер Ю. П., Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. - М.: Наука, 1976. - 280 с. 8. Адлер Ю. П. Введение в планирование эксперимента / Ю. П. Адлер. - М.: Металлургия, 1969. - 157 с. 9. Асатурян В. И. Теория планирования эксперимента: Учеб. пособие для вузов. / В. И. Асатурян. - М.: Радио и связь, 1978. – 248 с. 10. Шустов Ю. С. Основы научных исследований свойств текстильных материалов / Ю. С. Шустов. – М.: Монография. – МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2012. – 120 с. 11. Спирин Н. А. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: конспект лекций / Н. А. Спирин, В. В. Лавров. – Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2004. – 257 с. 12. Рыков В. В. Математическая статистика и планирование эксперимента. Конспект лекций / В. В. Рыков, В. Ю. Иткин. – М.: , 2009. – 303 с. 13. ГореловаГ. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с. 14. Красовский Г.И. Планирование эксперимента / Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. – Мн.: Изд-во БГУ, 1982. – 302 с. 15. Налимов В.Н. Логические основания планирования эксперимента: учебник / В. Н.Налимов, Е.А. Шалыгина -2-е изд. – М.: Колос, 2001. 16. Планирование эксперимента – Режим доступа: URL: http: //opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f053.htm 17. Программные пакеты (оболочки) для расчета статистических характеристик, планирования полного многофакторного эксперимента в среде MatLab и исследования поверхности отклика ПФЭ.
Приложение 1 Таблица значений критерия Кохрена Gтабл для уровня значимости 0, 05: f1 – число степеней свободы максимальной дисперсии - числитель; f2 – число степеней свободы (число дисперсий) - знаменатель.
Приложение 2 Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы f:
Приложение 3 Плотность вероятности нормального распределения:
Приложение 4 Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости α =0, 05 f1 - число степеней свободы большей дисперсии, f2 - число степеней свободы меньшей дисперсии
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 425; Нарушение авторского права страницы
/дх1 = д 
= [(-2.5)(-8.0) – 3.0·2.0] / [1.8·(-8.0) – 2.0·2.0]=14/-18.4=-0.76
=[1.8·3.0 – (-2.5)·2.0] / [1.8·(-8.0) – 2.0·2.0]=10.4/-18.4=-0.57
в исходное уравнение регрессии, получим: 
=0
=0
; В11=-1, 1 и В22=4, 2.
=-0, 9+4, 0=3, 1
