Применение общего интеграла к решению некоторых задач

Применение общего интеграла к решению некоторых задач

Математической физики

Задано волновое уравнение

 

обозначим

уравнение примет вид:

общий интеграл волнового уравнения

волна распространяющаяся вправо от начала координат-

волна распространяющаяся влево от начала координат-

 

Рассмотрим трехмерное волновое уравнение

предположим инвариантность решения от угловых координат θ и φ

замена переменной u=w/r

в результате получим уравнение

общий интеграл волнового уравнения

волна распространяющаяся из бесконечности в точку

волна распространяющаяся из точки в бесконечность

получим окончательно .

 

Функция Грина оператора Штурма — Лиувилля (одномерный случай)

Постановка задачи

Пусть — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

и пусть — оператор краевых условий

Пусть — непрерывная функция на промежутке . Предположим также, что задача

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

Теорема Грина

Тогда существует единственное решение , удовлетворяющее системе

которое задаётся выражением

,

где — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям (они же — свойства функции Грина):

1. непрерывна по и .

2. Для , .

3. Для , .

4. Скачок производной: .

5. Симметрична: .

Нахождение функции Грина

В виде ряда через собственные функции оператора

Если множество собственных векторов (собственных функций) дифференциального оператора

(то есть набор функций , таких, что для каждой найдётся число , что )

полно, то можно построить функцию Грина с помощью собственных векторов и собственных значений .

Под полнотой системы функций подразумевается выполнение соотношения:

.

Можно показать, что

.

Действительно, подействовав оператором на эту сумму, мы получим дельта-функцию (в силу соотношения полноты).

(Чертой сверху обозначено комплексное сопряжение, если — вещественные функции, его можно не делать).

Функции Бесселя и Вебера. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя.

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где — произвольное комплексное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых и полуцелых порядков.

Хотя и порождают одинаковые уравнения для вещественных , обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики для :

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода.

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

.

 

Применение общего интеграла к решению некоторых задач

Математической физики

Задано волновое уравнение

 

обозначим

уравнение примет вид:

общий интеграл волнового уравнения

волна распространяющаяся вправо от начала координат-

волна распространяющаяся влево от начала координат-

 

Рассмотрим трехмерное волновое уравнение

предположим инвариантность решения от угловых координат θ и φ

замена переменной u=w/r

в результате получим уравнение

общий интеграл волнового уравнения

волна распространяющаяся из бесконечности в точку

волна распространяющаяся из точки в бесконечность

получим окончательно .

 

123Следующая ⇒

Поделиться: