Метод Даламбера для задачи о колебаниях неограниченной струны

Метод Фурье является одним из распространенных методов решения уравнений с частными производными и позволяет получить решение задачи в формульном или в общем виде. На практике часто используют приближенные методы решения задач: асимптотические или численные.

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все её производные входят в уравнение в первой степени и если оно не содержит членов с произведениями этих величин.

Так, например дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, линейное и однородное относительно неизвестной функции

- линейный дифференциальный оператор,

уравнение называется неоднородным.

В основе решения таких уравнений лежит принцип суперпозиции:

Если каждая из функций …

Является решением однородного линейного уравнения,

то их линейная комбинация

тоже является решением этого уравнения. произвольные const.

если тогда

В случае бесконечных рядов принцип суперпозиции допускает обобщение.

также является решением этого уравнения, если он сходится к некоторой функции и допускает почленное дифференцирование.

Обобщенный принцип суперпозиции:

Если каждая из функций является решением однородного дифференциального уравнения, то ряд

тоже является решением этого уравнения. произвольные const.

Проверка: тогда .

В случае линейного уравнения в частных производных число слагаемых можно выбрать бесконечно большим, тогда из бесконечно большого множества всегда можно выбрать решения, удовлетворяющие произвольным дополнительным условиям.

Может оказаться, что решение уравнения в частных производных имеет вид то есть зависит от некоторого параметра изменяющегося в конечном или бесконечном промежутке , то есть при функция является решением уравнения .

cледовательно, любая произвольная функция является решением

Сумма бесконечного сходящегося ряда может быть заменена определенным интегралом:

Этот интеграл тоже является решением уравнения .

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеющее бесконечное множество решений в виде:

Причем все решения получаются из обыкновенных дифференциальных уравнений подстановкой в

Тогда, чтобы переменные в уравнении разделялись, оператор Lдолжен иметь определенную структуру.

Переменные разделяются, если уравнение имеет вид:

L₁зависит только от х₁…L_пзависит только от х_п, тоесть каждая из частей L_i

зависит от одной переменной х_i.

Например:

.

Рассмотрим методику разделения переменных на примере:

Задано уравнение в виде: ,

решение уравнения

подставим решение в исходное уравнение

Первое слагаемое зависит от х₁, а второе слагаемое зависит от х₂ равенство возможно только в том случае когда

Исходное уравнение распадается на два уравнения:

Переменные разделены, параметр разделения.

Задано уравнение в виде:

решение уравнения

Исходное уравнение распадается на два уравнения:

3.2. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона.

3.3. Задача Штурма-Лиувилля.

3.4. Фундаментальная система решений задачи Штурма-Лиувилля. Разложение в ряд по собственным функциям.

3.5. Метод Фурье для случая двух переменных.

Формула Грина. Теорема о среднем, принцип максимума. Функция Грина и ее применение к решение краевых задач.

Фу́ нкция Гри́ на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина (англ. George Green), который первым развил соответствующую теорию в 1830-х гг.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

Функция Грина G(x, s) линейного дифференциального оператора L = L(x), действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства R ⁿ в точке s — это любое решение уравнения

где — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

Функция Грина — это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как .

Если ядро L не тривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий и/или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Следует помнить, что, вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантово механических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если L имеет постоянные коэффициенты по отношению к x, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.

Иногда, когда неоднородное уравнение содержит в правой части постоянный коэффициент, то есть имеет вид , функция Грина также определяется с учётом этого коэффициента, то есть, по определению тогда она есть решение уравнения^[1]

.

В этом случае решение исходного неоднородного уравнения с произвольной функцией в правой части записывается как

.