Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам

К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:

• степенная - ;

• показательная - ;

• экспоненциальная -

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с по­мощью соответствующих преобразований может быть при­ведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же нелинейная модель внут­ренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки её параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особен­ностей применяемого итеративного подхода.

Примером нелинейной по параметрам регрессии внут­ренне линейной является степенная функция, которая ши­роко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен: , где у — спрашиваемое количество; х — цена;

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т. к. включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логариф­мирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду .Заменив пе­ременные и параметры, получим линейную регрессию, оцен­ки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.

Ши­рокое использование степенной функции связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолко­вание, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.

Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функ­ции он представляет собой постоянную величину, равную па­раметру b.

Пример

По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).

Y
X

 

Требуется:

1.Для характеристики Y от Х построить следующие модели:

· линейную (для сравнения с нелинейными),

· степенную,

· показательную,

· гиперболическую.

2.Оценить каждую модель, определив:

· индекс корреляции,

· среднюю относительную ошибку,

· коэффициент детерминации,

· F-критерий Фишера.

3.Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4.Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89, 573 млн. руб.

5.Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:

Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:

 

;

 

Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = a + b ´ x

Таблица 3.5

t	y	x	y´ x	x´ x				2
					13.43	180.36	-17.4	303.8	60.2	3.84	6.000
					5.43	29.485	-13.4	180.36		-1.96	-3.500
					1.43	2.0449	0.57	0.3249	50.3	1.74	3.346
					-2.57	6.6049	-5.43	29.485	53.6	-5.56	-11.583
					-0.57	0.3249	2.57	6.6049	49.2	0.84	1.680
					-4.57	20.885	14.57	212.28	42.6	3.44	7.478
					-12.6		18.57	344.84	40.4	-2.36	-6.211
итого					0.01	397.71		1077.7		-0.02	39.798
ср.знач	50.57	81.43	4033.14	6784.57							5.685
диспер	56.8

 

Значения параметров a и b линейной модели определим, используя данные таблицы 3.5

 

 

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

ŷ = 95, 36 - 0, 55 ´ х

С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции уменьшится в среднем на 550 тыс. руб. Это свидетельствует о неэффективности работы предприятий, и необходимо принять меры для выяснения причин и устранения этого недостатка.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R² = r²_yx = 0, 822

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 82, 2 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:

F> F_ТАБЛ = 6, 61 для a = 0, 05; к1=m=1, k2=n-m-1=5.

Уравнение регрессии с вероятностью 0, 95 в целом статистически значимое, т. к. F> F_ТАБЛ .

Определим среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 5, 685 %.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: