Институт математики, физики и информационных технологий

Институт математики, физики и информационных технологий

Кафедра «Общая и теоретическая физика»

Потемкина С.Н.

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ

 

3^й семестр

 

Модуль 6

 

Тепловое излучение. Фотоэффект. Элементы квантовой и атомной физики

Содержание

 

Условные обозначения. 3

Занятие № 7). 4

Тема: Тепловое излучение. 4

Содержание учебного материала. 4

Литература. 4

Основные формулы.. 4

Методические указания к решению задач. 6

Примеры решения задач. 6

Задания для аудиторной самостоятельной работы.. 10

Задания для СРПР. 10

Домашние задания – 1 вариант. 10

Занятие № 8. 10

Тема: Фотоэффект. Волны де Бройля. 10

Содержание учебного материала. 10

Литература. 10

Основные формулы.. 10

Методические указания к решению задач. 12

Примеры решения задач. 12

Задания для аудиторной самостоятельной работы.. 16

Задания для СРПР. 16

Домашние задания – 1 вариант. 16

Занятие № 9. 16

Тема: Соотношения неопределенностей. Уравнение Шредингера. 16

Содержание учебного материала. 16

Литература. 16

Основные формулы.. 16

Методические указания к решению задач. 18

Примеры решения задач. 18

Задания для аудиторной самостоятельной работы.. 22

Задания для СРПР. 22

Домашние задания – 1 вариант. 22

Занятие № 10(. 22

Тама: Физика атомного ядра. 22

Тема занятия. 22

Содержание учебного материала. 22

Основные формулы.. 22

Методические указания к решению задач. 24

Примеры решения задач. 24

Задания для аудиторной самостоятельной работы.. 27

Задания для СРПР. 27

Домашние задания – 1 вариант. 27

Варианты задач автоматизированной контрольной работы – АКР№9. 27

 

Занятие № 7.

Тема: Тепловое излучение

 

1. Тема занятия

2. Содержание учебного материала

3. Литература

4. Основные формулы

5. Методические указания к решению задач

6. Примеры решения задач

7. Задания для аудиторной самостоятельной работы

8. Задания для СРПР

9. Домашние задания – 1 вариант

Содержание учебного материала

1. Тепловое излучение и его характеристики.

2. Закон Кирхгофа.

3. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина.

4. Формулы Рэлея-Джинса и Планка.

5. Оптическая пирометрия.

Условные обозначения

 

1. ω – циклическая частота;
2. ν – линейная частота;
3. λ - длина волны;
4. R - энергетическая светимость (мощность излучения) тела;
5. R_е - энергетическая светимость абсолютно черного тела (АЧТ);
6. r_{ω T}, r_{λ ¸ T}, r_{ν ¸ T} – спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность тела);
7. R_Т – интегральная энергетическая светимость (интегральная излучательность) тела
8. а_{ω T}, а_{ν T} – спектральная поглощательная (поглощательная) способность тела;
9. T – термодинамическая температура;
10. T_р- радиационная температура;
11. T_ц- цветовая температура;
12. T_я – яркостная температура;
13. σ – постоянная Стефана-Больцмана;
14. b – постоянная Вина;
15. f(ω, T) – универсальная функция Кирхгофа;
16. h - постоянная Планка;
17. ħ - постоянная Планка, делённая на 2π;
18. k - постоянная Больцмана;
19. c – скорость света в вакууме.

 

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. Москва, «Высшая школа», 1994 г., § 197-201.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т.3, М., Главная редакция физико-математической литературы, 1989, § 1-6.

3. Иродов И.В.

 

 

Основные формулы

 

Энергетическая светимость – это поток энергии, испускаемый единицей площади поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2π ). Энергетическая светимость является функцией температуры.

,

(1)

[ R ] = Дж / ( м² с ) = Вт / м².

Спектральная плотность энергетической светимости – это мощность излучения с единицы площади поверхности тела в интервале частот единичной ширины. Спектральная плотность энергетической светимости ( испускательная способность ) является функцией частоты и температуры.

,

(2)

[ r_{ω T} ] = Дж / м².

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, показывающая, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами ω, ω +dω , поглощается телом:

.

(3)

Спектральная поглощательная способность является функцией частоты и температуры.

Тело, полностью поглощающее падающее на него излучение всех частот а_{ω T} ≡ 1 называется абсолютно черным телом.

Тело, для которого а_{ω T} ≡ а_ω = const < 1, называется серым.

Закон Кирхгофа:

.

(4)

Для любого тела:

.

(5)

Для абсолютно черного тела:

.

(6)

Для серого тела:

.

(7)

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение.

Закон Стефана-Больцмана:

.

(8)

где R_e – энергетическая светимость (излучательность) черного тела,

σ - постоянная Стефана-Больцмана,

T - термодинамическая температура.

σ = 5, 67 * 10^-8 Вт/(м² * К⁴).

Связь энергетической светимости R_e и спектральной плотности энергетической светимости r _{, T} ( r _{λ, T} )черного тела:

.

(9)

Энергетическая светимость серого тела:

,

(10)

где A_T– поглощательная способность серого тела.

Закон смещения Вина:

,

(11)

где λ _max – длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела,

b- постоянная Вина.

b = 2, 9 · 10^{-3 м ·К}

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической светимости черного тела от температуры:

,

(12)

где С = 1, 3 · 10 ^–5 Вт / ( м³ · К ⁵)

Формула Релея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела:

,

(13)

где k - постоянная Больцмана.

k = 1, 38 · 10 ^{– 23} Дж / К

Энергия кванта:

,

(14)

где h – постоянная Планка.

h = 6, 63 · 10 ^{– 34} Дж · с

Формула Планка:

	,	(15)
	.	(15¢ )

Формула Планка для универсальной функции Кирхгофа:

,

(16)

где ħ = 1, 05 · 10 ^{– 34} Дж c

Радиационная температура:

.

(17)

Цветовая температура:

.

(18)

Яркостная температура – это температура абсолютно черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела:

.

(19)

Связь между ω иλ:

.

(20)

Поглощательная способность:

.

(21)

Связь радиационной T_p и истинной T температур:

,

(22)

где А_Т – поглощательная способность серого тела.

Примеры решения задач

 

Пример №1. Найти температуру Т печи, если известно, что излучение из отверстия в ней площадью S = 6, 1 см² имеет мощность N = 34, 6 Вт. Излучение считать близким к излучению АЧТ.

 

Дано:	Решение:
S = 6.1см2 N = 34.6 Вт	По определению: Rэ= W/S·t или
Т –?
	Rэ = N/S	(1)

Согласно закону Стефана–Больцмана для АЧТ:

.

(2)

Сравнив (1) и (2) получим:

Т= .

Проверка единицы измерения:

.

Расчет: К.

Ответ: Т = 1000 К

 

Пример №2.Температура вольфрамовой спирали 25-ваттной электрической лампочке T = 2450 К. Отношение ее энергетической светимости к энергетической светимости АЧТ при данной температуре равно k = 0.3. Найти площадь излучаемой поверхности.

Дано:	Решение:
N = 25Вт T = 2450К k = 0.3	Для нечерного тела величина энергетической светимости равна: Rэ = k1*σ *T4, а по определению Rэ' = N/S. Тогда
S =?

N/S = k_*σ _*T⁴,

S = N/σ _*k_*T⁴.

Проверка единицы измерения:

[S] = м² = Вт_*м²_*K⁴/Вт_*K⁴ = м²;

Расчет числового значения: S = 0.4079_*10^{-4 м2} ≈ 0.41см²;

Ответ: S = 0.41 см²

 

Пример №3. Какую энергетическую светимость R_э имеет АЧТ, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны λ = 484 нм?

Дано:	Решение:
λ max = 484 нм	Согласно закону Стефана-Больцмана: Rэ = σ ·T4 (1).
Rэ =?

Для нахождения T воспользуемся законом Вина:

λ _m = C₁/T,

отсюда:

T=C₁/λ.

Получим:

R_э = (σ _*C₁⁴)/λ ⁴.

Проверка единицы измерения:

[R_э] = Дж/м²·с = Вт/м²·К⁴ · м⁴_*К⁴/м⁴ = Дж/с·м²;

Расчет числового результата:

R_э = (5, 67·10^-8·2.9⁴·10^-12)/(484)⁴·10^-36 = (10²⁰·5.67·2.9⁴)/(484)⁴ = = 73.5 МВт/м²

Ответ: R_э = 73.5 МВт/м².

 

Пример №4. Абсолютно черное тело имеет температуру T₁ = 2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилась на ∆ λ = 9мкм. До какой температуры T₂ охладилось тело?

Дано:	Решение:
T1 = 2900 К ∆ λ = 9мкм = 9·10-6 м	Согласно закону Вина: λ max2 = C1/T2, где T1-начальная, а T2-конечная температура тела;
T2=?

λ _max1 = C₁/T₁

Т.к. тело охлаждается, то T₂ < T₁ , а λ _max2 > λ _max1;

λ _max2 = λ _max1+∆ λ

И получим:

C₁/λ _max+∆ λ = T₂

T₂ = C₁/(C₁/T₁)+∆ λ = 1/(1/T₁)+(∆ λ /C₁) = C₁·T₁/(∆ λ ·T₁+C₁)

Проверка единицы измерения:

[T₂] = K= м·К/м = К;

Расчет числового значения:

T₂ = 290 К;

Ответ: T₂ = 290 К.

 

Пример №5.При нагревании АЧТ длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

Дано:	Решение:
λ 1 = 690 нм λ 2=500 нм	По закону Стефана – Больцмана для АЧТ имеем:
Rэ2 / Rэ1 =?

где Т₁ и Т₂ – температуры соответствующие значениям λ ₁ и λ ₂.

Значения температур найдем из 1-го закона Вина:

T₁=С₁/λ _max1

T₂=C₁/λ _max2

Получим:

R_э1 = σ ·С₁⁴/λ _max1⁴;

R_э2 = σ ·С₁⁴/ λ _max2⁴;

Найдем отношение:

R_э2/R_э1=σ ·С₁⁴·λ _max1⁴ / λ _max2⁴· σ ·C₁⁴=(λ _max1/λ _max2)⁴

Проверка единицы измерения:

[R_э2/ R_э1]=1 (безразмерная величина)

Расчет числового значения:

R_э2/R_э1=3.63 (раз)

Ответ: R_э2/R_э1=3.63 рад.

 

Пример №6.Исследования спектра излучения Солнца показывают, что максимум спектральной плотности излучательности соответствует длине волны λ = 500 нм. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить: 1) излучательность R_e Солнца; 2) поток энергии Ф, излучаемый Солнцем; 3) m массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм t = 1 c rC=6, 95·108 м	1. Излучательность Re АЧТ выражается законом Стефана-Больцмана: Re = σ * T4. Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина: λ max = b / T.
Re -? Ф -? m -?

Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в закон Стефана-Больцмана, получим:

R_e = σ ( b / λ _max )⁴.

Расчет: R_e = 64 МВт / м²

2. Поток энергии Ф, излучаемый Солнцем, равен произведению излучательности Солнца на площадь S его поверхности:

Ф = R_e S

или

Ф = R_e 4 π r²,

где r_С – радиус Солнца. Подставив в формулу значения π, r и R_e и, произведя вычисления, получим:

Ф = 3, 9 10 ²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за время t = 1 c, определим применив закон пропорциональности массы и энергии Е = m с². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощности излучения) на время:

Е = Ф t.

Следовательно,

Ф t = m с²,

Откуда

m = Ф t / с².

Расчет: m = 4 10 ¹² г.

Ответ: m = 4 10 ¹² г.

 

Пример №7.Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0, 8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 ⁰ С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью А_Т = 0, 343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0, 92 * 10 ^–4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t₀= 17 ⁰ С.

Дано:	Решение:
d = 0, 8 мм = 8 10 –4 м t = 28000 С Т = 3073 К АТ = 0, 343 ρ = 0, 92 10 –4 Ом см = = 9, 2 10 –7 Ом м t0= 17 0 С T0 = 290 К	Ризл = АТ σ T4 S Рпогл = АТ σ T0 4 S Р = (Ризл - Рпогл) = АТ σ S (T4 - T0 4) Р = I 2 R S = π d l; R = ρ l / Sсеч; Sсеч = π d 2 / 4 Расчет: I = 48, 8 А.
I =?

Ответ: I = 48, 8 А.

 

Задания для аудиторной самостоятельной работы

Задания для СРПР

Домашние задания – 1 вариант

Занятие № 8.

Содержание учебного материала

1. Внешний фотоэффект и его законы.

2. Масса и импульс фотона. Давление света.

3. Эффект Комптона.

 

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. Москва, «Высшая школа», 1994 г., § 197-201.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т.3, М., Главная редакция физико-математической литературы, 1989, § 1-6.

3. Иродов И.В.

 

 

Основные формулы

 

Энергия кванта света (фотона):

E = hυ,

(1)

где h = 6, 626·10^-34 Дж·с постоянная Планка,

υ (Гц) – частота колебания.

Импульс и масса фотона:

	,	(2)
	,	(3)

где с = 3·10⁸ м/с – скорость распространения света в вакууме.

Длина волны де Бройля:

если v < < c, то

,

(4)

если υ ≈ с, то

,

(5)

и

.

(6)

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

(7)

где А_ВЫХ – работа выхода электрона из металла,

m_e = 9, 1·10^{-31 кг} – масса электрона.

Wк мах = e·Uз ,

(8)

где U_з – задерживающая разность потенциалов.

Максимальная скорость электронов вылетевших с поверхности.

.

(9)

Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта.

.

(10)

Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии:

,

(11)

где φ – угол рассеивания электрона.

Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность

p = [ Ee / c ] ( 1 + ρ ) = ω ( 1 + ρ ),

(12)

где E_e = N h υ – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);

ρ - коэффициент отражения;

ω - объемная плотность энергии излучения.

Связь дебройлевской волны частицы с импульсом p:

λ = h / p,

(13)

где h – постоянная Планка.

h = 6, 63 * 10 ^{– 34} Дж * с.

Фазовая скорость волны де Бройля:

υ фаз = ω / k = E / p = c2 / υ,

(14)

где E = ħ ω – энергия частицы (ω - круговая частота);

p = ħ k - импульс ( k = ( 2 π ) / λ - волновое число).

Групповая скорость волны де Бройля:

(15)

Длина волны Комптона:

, где m- масса электрона, с- скорость света в вакууме.

(15)

Примеры решения задач

 

Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ =550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов видимого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на расстоянии 10 км от лампы?

Дано:	Решение:
r = 10000 м Pл = 100 Вт λ = 550 нм = = 5, 5·10-7 м d = 4·10-3 м t = 1 c	Полная световая энергия, приходящаяся на единицу площади поверхности, удаленной от источника на расстояние r, равна: Sср=4π r2, Wсв=0, 03·100вт·1с/4π r2. Энергия одного кванта света ε γ = hυ =hc/λ. Число фотонов, попадающих на единицу площади поверхности, удаленной на расстояние r от источника:
Nγ =?

N ` _γ =0, 03·P·t·λ /4·π ·r²·h·c.

Площадь зрачка наблюдателя

S_зр=π ·d².

Тогда

N_γ = N`_γ · S_зр =0, 03·P·t·λ ·π ·d²/4·π ·r²·h·c.

Проверка единицы измерения расчетной величины

N_γ =1=Дж·м²·м·с/м²·Дж·м·с=1

Расчет числового значения:

N_з=8, 3·10⁴ фотонов.

Ответ: N_з=8, 3·10⁴фотонов.

 

Пример №2.Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ ₁ = 2, 2·10¹⁵, полностью задерживается разностью потенциалов U_з1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ ₂ = 4, 6·10¹⁵ Гц разностью потенциалов U_з2 = 16.5 В.

Дано:	Решение:
υ 1 = 2, 2·1015 Гц Uз1 = 6.6 В υ 2 = 4, 6·1015 Гц Uз2 = 16.5 В	Запишем уравнение Эйнштейна для явления внешнего фотоэффекта: h·υ 1 = Aвых+е·Uз1, h·υ 2 = Aвых+е·Uз2.
h =?

Выразим изА_вых:

А_вых = h·υ ₁- е·U_з1,

и подставим в уравнение Эйнштейна

h·υ ₂ = h·υ ₁ -е·U_з1+ е·U_з2.

Преобразуем так:

h·( υ ₂-υ ₁) = е·(U_з2-U_з1).

И получим:

h = e·(U_з1-U_з2)/( υ ₂- υ ₁).

Проверим единицу измерения:

(h) = Дж·с=Кл·В/с^-1= Дж·с

Расчет:

h=1, 6·10^-19Кл·9, 9В/2, 4·10¹⁵=6, 6·10^-34Дж·с

Ответ: h=6.6·10^-34 Дж·с.

 

Пример №3.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряющую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.

Дано:	Решение:
v0 = 0 me=9.1*10-31кг Uуск.=30·103=3·104В	По определению длина волны де Бройля равна: λ = h/p. Определим, классически или релятивистки движется электрон. Для этого найдем кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя.
λ =?

Е₀=m_0·c².

Если Т_к =< T₀, то движение электрона является релятивистским,

если Т_к< < T₀, то классическим.

Т = е·U₁ = 1.6·10^-19 ·3·10⁴Дж = 4.8·10^-15Дж = 3·10⁴ эВ; еU = m_{e ·}v² / 2.

.

E₀ = m_0·c²=0.5 МэВ = 5·10⁵эВ

Т. к Т< < Е₀- имеем дело с классическим случаем движения электрона.

Тогда

.

Расчет числовой величины:

λ = 11, 61 10 ^–25 м.

Ответ: λ = 11, 61 * 10 ^–25 м.

 

Пример №4.Определить максимальную скорость υ _мах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ ₁ = 0, 155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ ₂ = 2, 47 пм.

Дано:	Решение:
λ 1 = 0, 155 мкм = = 0, 155 10 –6 м λ 2 = 2, 47 пм = = 2, 47 10 –12 м А вых = 4, 7 эВ	Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: ε = А вых + Ек мах. Энергия фотона: ε = h c / λ. Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле:
υ мах

Е_к = m₀ υ ² / 2,

или по релятивистской:

Е_к = ( m - m₀ ) с ².

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классическая формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по релятивистской формуле.

ε ₁ = h c / λ _1.

ε ₁ = 8 эВ.

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0, 51 МэВ). Следовательно, для данного случая:

ε ₁ = А _вых + m₀ υ ² / 2,

откуда:

.

Расчет:

υ _мах = 1, 08 Мм/с.

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

ε ₂ = h c / λ ₂ = 8, 04 * 10 ^–15 Дж = 0, 502 МэВ.

Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Е_{к мах} = ε ₂ = 0, 502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Е_{к мах} = Е₀ ( 1/ – 1 ),

где Е₀ = m₀ с ², выполнив преобразования получим:

β = (2 Е₀ + Е_{к мах}) Е_{к мах} / ( Е₀ + Е_{к мах}) = 0, 755

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:

υ _мах = с β = 226 Мм/с.

Ответ: 1) υ _мах = 1, 08 Мм/с. 2) υ _мах = 226 Мм/с.

 

Пример №5. Определить красную границу λ ₀ фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ = 400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна υ _мах = 0, 65 Мм/с?

Дано:	Решение:
λ = 400 нм = = 4 * 10 –7 м υ мах =0, 65мм/с = = 6, 5 * 10 5 м/с	При облучении светом, длина волны λ 0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта запишется в виде: ε = А вых + Ек;
λ 0 =?

h c / λ ₀ = А,

отсюда:

λ ₀ = h c / А.

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

А _вых = ε - Е_к = h c / λ - m υ ² / 2 = 3, 05 * 10 ^–19 Дж,

тогда:

λ ₀ = 640 нм.

Ответ: λ ₀ = 640 нм.

 

Пример №6.В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90 ⁰. Энергия ε ^, рассеянного фотона равна 0, 4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

Дано:	Решение:
θ = 90 0 ε , = 0, 4 МэВ	Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона в виде: λ , - λ = 2 * (2 π ħ / m с ) sin 2 θ /2,
ε =?

преобразуем, с учетом:

ε = 2 π ħ с / λ,

а длины волн λ ^, и λ выразим через энергии ε ^, и ε соответствующих фотонов:

2 π ħ с / ε ^, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с² ) 2 sin ² θ /2

ε = ( ε ^, m с² ) / m с² - ε ^, 2 sin ² θ /2 = ε ^, Е₀ / Е₀ – 2 ε ^, sin ² θ /2, где Е₀ = m₀ с ²

Расчет: ε = 1, 85 МэВ.

Ответ: ε = 1, 85 МэВ.

 

Пример №7.Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фотонов n в пучке; 2) число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с.

Дано:	Решение:
λ = 500 нм S = 1 м2 р = 10 мкПа t = 1c	Концентрация фотонов n в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии ω на энергию одного фотона ε n = ω / ε . Из формулы p = ω * ( 1 + ρ ), определяющей давление света, где – коэффициент отражения найдем:
n =? n1 =?

ω = p / ( 1 + ρ ).

И получим:

n = p / ( 1 + ρ ) ε .

Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:

ε = h υ = h c / λ.

Получим искомую концентрацию фотонов:

n = p λ / ( 1 + ρ ) h c.

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю.

Расчет:

n = 2, 52 * 10 ¹³ м ^–3.

Число фотонов n₁, падающих на поверхность площадью 1 м² за время 1 с, найдем из соотношения n₁ = N / S t, где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N = n c S t, следовательно, n₁ = n c S t / S t = n c

Расчет:

n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м ^–2 с ^–1

Ответ: n = 2, 52 * 10 ¹³ м ^–3, n₁ = 7, 56 * 10 ²¹ м ^–2 с ^–1.

Задания для аудиторной самостоятельной работы

Задания для СРПР

Домашние задания – 1 вариант

 

Занятие № 9.

Содержание учебного материала

1. Линейчатый спектр атома водорода.

2. Постулаты Бора.

3. Соотношение неопределенностей.

4. Волновая функция и ее статистический смысл.

5. Уравнение Шредингера.

6. Частица в одномерной прямоугольной яме.

7. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер.

8. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

9. Атом водорода в квантовой механике.

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. Москва, «Высшая школа», 1994 г., § 208-212, 215-222, 223.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т.3, М., Главная редакция физико-математической литературы, 1989, § 11-20, 21-22.

3. Иродов И.В.

4.

 

Основные формулы

 

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы:

	Δ x Δ px ≥ h,	(1)
	Δ y Δ py ≥ h,	(2)
	Δ z Δ pxz≥ h,	(3)

где Δ x, Δ y, Δ z – неопределенности координат;

Δ p_x, Δ p_y, Δ p_x - неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси координат;

Соотношение неопределенностей для энергии и времени:

Δ E Δ t ≥ ħ /2,

(4)

где Δ E – неопределенность энергии данного квантового состояния;

Δ t - время пребывания системы в данном состоянии.

Вероятность нахождения частицы в объеме dV

dW = Ψ Ψ * dV = | Ψ |2 dV,

(5)

где Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

Ψ ^*- функция, комплексно сопряженная сΨ;

| Ψ |² = Ψ Ψ ^*- квадрат модуля волновой функции.

Для стационарных состояний

dW = Ψ Ψ * dV = | Ψ |2 dV,

(6)

где Ψ = Ψ ( x, y, z )– координатная (амплитудная) часть волновой функции.

Условие нормировки вероятностей

| Ψ |2 dV = 1,

(7)

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам x, y, z от - ∞ до + ∞.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x₁ до x₂:

W = | Ψ ( x )|2 dx.

(8)

Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ:

< L > = L | Ψ |2 dV.

(9)

Общее уравнение Шредингера (зависящее от времени):

,

(10)

где Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

ħ = h / 2 π;

m - масса частицы;

Δ - оператор Лапласа (Δ Ψ = ∂ ²Ψ / ∂ x² + ∂ ²Ψ / ∂ y² + ∂ ²Ψ / ∂ z² );

- мнимая единица;

U = U ( x, y, z, t ) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

(11)

где ψ = ψ ( x, y, z ) – координатная часть волновой функции

Ψ ( x, y, z, t ) = ψ ( x, y, z ) e ^{– i * ( E / ħ ) * t} );

U = U ( x, y, z ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица движется; E - полная энергия частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы:

,

(12)

где A – амплитуда волны де Бройля;

p_x = k ħ - импульс частицы;

E = ħ ω - энергия частицы.

Собственные значения энергии E_n частицы, находящейся на n–м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной " потенциальной яме" с бесконечно высокими " стенками"

En = n2 (π 2 ħ 2) / ( 2 m l2 ), ( n = 1, 2, 3, …),

(13)

где l – ширина ямы.

Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии:

, (n = 1, 2, 3, …).

(14)

Коэффициент прозрачности Dпрямоугольного потенциального барьера конечной ширины l:

,

(15)

где D₀– множитель, который можно приравнять единице;

U- высота потенциального барьера;

E - энергия частицы.

Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике:

,

(16)

где ( m* ω ₀² * x² ) / 2 = U– потенциальная энергия осциллятора;

ω ₀- собственная частота колебаний осциллятора;

m - масса частицы.

Собственные значения энергии гармонического осциллятора:

En = ( n + 1 / 2 ) ħ ω 0, ( n = 0, 1, 2, …).

(17)

Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора:

E0 = 1 / 2 ħ ω 0.

(18)

Момент импульса электрона на стационарных орбитах:

, (n = 1, 2, 3...).

(19)

Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое:

ε 21 = Еn2 –En1.

(20)

Формула Ридберга:

,

(21)

где м^–1 – постоянная Ридберга.

Задания для СРПР

Домашние задания – 1 вариант

 

Занятие № 10.

Содержание учебного материала

 

1. Состав и характеристики атомного ядра.

2. Дефект массы и энергия связи ядра.

3. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада.

4. Альфа и бета распады.

5. Ядерные реакции.

123Следующая ⇒

Поделиться: