Пункт 3. Линейные уравнения.

Уравнение вида называется линейным.

Если , то оно называется линейным однородным.

При этом, не может быть тождественно равно 0, иначе вообще нет слагаемого с производной , то есть уравнение не являлось бы дифференциальным. Но тогда можно поделить всё уравнение на и свести к виду .

 

Линейные однородные уравнения фактически являются уравнениями с разделяющимися переменными. Действительно, ,

где первообразная, с точностью до константы. В итоге, , то есть общее решение линейного однородного уравнения имеет вид: константа, умноженная на экспоненту в степени первообразной от коэффициента , взятую с другим знаком.

Пример. Решить уравнение .

.

Мы видим коэффициент , её первообразная , соответственно в ответе есть .

 

Пример. Решить уравнение .

Можно рассмотреть , первообразная равна ,

тогда = .

Впрочем, можно его решить и просто как уравнение с разделяющимися переменными:

.

 

Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (другое название: метод вариации произвольной постоянной).

Предположим, что на месте C некоторая неизвестная функция, и ищем решение в виде: .

Тогда .

Подставим эти в неоднородное уравнение .

+ .

Два слагаемых получились одинаковые, и они сокращаются, осталось:

= .

Отсюда можно выразить . .

что состоит в итоге из 2 слагаемых:

первообразной от и константы . Поэтому решение однородного обязательно окажется отдельным слагаемым в общем решении неоднородного.

.

 

В конкретных примерах, это выглядит менее громоздко:

Пример. Решить линейное уравнение .

1 шаг. Решаем соответствующее однородное уравнение. . - общее решение однородного.

2 шаг. Методом Лагранжа решаем неоднородное.

Ищем решение в виде: . Ищем производную:

= . Всё это подставим в неоднородное:

, тогда .

Тогда = .

Теперь подставим это в , получается

= .

Общее решение неоднородного состоит из двух слагаемых: частное решение неоднородного (его мы и искали на 2-м шаге методом Лагранжа) и общее решение однородного, которое нашли на 1-м шаге, и оно воспроизвелось само в конце 2-го шага. Это происходит из-за того, что всегда ищется с помощью её производной, а значит, в ней присутствует слагаемое .

Проверка. Можно подставить частное решение неоднородного, и это слагаемое само по себе тоже является решением:

Выполняется ли ?

= = . Верно.

 

Пункт 4. Уравнения Бернулли.

Уравнение вида называется уравнением Бернулли. Так как коэффициент не тождественно равен 0, то на него можно поделить, поэтому будем рассматривать в виде: .

Отличаются от линейных только наличием в правой части.

Если n=0 получается линейное неоднородное .

Если n=1 то ещё лучше, получается однородное:

то есть .

При , получается уже собственно, уравнение Бернулли. Оно является обобщением линейного уравнения.

Алгоритм решения.

1) Разделить на . Получится .

2) Сделать замену . Тогда оно сведётся к линейному по .

3) решить линейное (в 2 шага, сначала однородное, потом неоднородное)

4) сделать обратную замену: так как , то .

 

 

Докажем подробнее, как и почему сводится к линейному.

, тогда по правилам дифференцирования композиции. Получили, что .

Тогда уравнение сводится к такому виду:

, или .

Это уже линейное неоднородное уравнение.

ЛЕКЦИЯ № 7. 28. 03. 2017

Дифференциальные уравнения порядка n.

Общий вид: .

Если уравнение сведено к виду то оно называется разрешённым относительно старшей (высшей) производной.

Примеры дифференциальных уравнений 2 порядка из физики:

Уравнение колебаний . Здесь чем больше координата, тем больше действует сила (ускорение) в противоположную сторону. Если координата отрицательна, то сила действует в положительную сторону.

 

Методы понижения порядка.

Случай 1. Если в уравнении отсутствуют младшие порядки производных. Так, в уравнении отсутствуют все производные до порядка k-1, в том числе 0-го порядка, а именно сама функция , и начинаются с порядка . В этом случае можно сдедать замену , то есть в качестве новой функции взять производную самого младшего порядка, которая есть в уравнении. Докажем, что в этом случае понизится на порядков и станет .

и т.д.

Пример. Решить уравнение 2 порядка .

Замена: , тогда .

Уравнение сводится к виду . Для уравнение 1 порядка и решается обычными методами, изученными ранее.

.

Вспомним о том, что , то есть теперь, чтобы сделать обраную замену и восстановить , надо 1 раз проинтегрировать.

= . В общем решении здесь не одна, а две константы, вторая появляется из-за того, что интегрировали для обратной замены. А если уравнение 3 порядка, то будет 3 константы в общем решении.

Пример. Решить уравнение 3 порядка .

Решение. Уравнение сводится к но только в этом случае - заменой , ведь самая младшая из производных, существующих в этом уравнении - вторая.

Уравнение 1 порядка решается аналогично, и получаем .

Теперь надо два раза вычислить первообразную:

, тогда , а тогда .

Случай 2. Если в уравнении содержится и все порядки производных, но при этом нет переменной . Тип уравнения такой: .

Например, - уравнение колебательного процесса в физике.

В этом случае замена , то есть будет выступать в роли переменной, а - в роли функции от .

Естественно возникает вопрос: а существуют ли в принципе такие преобразования, не содержат ли они противоречия? Всегда ли можно выразить как функцию от ? Изучим этот вопрос подробнее. Оказывается, надо лишь найти обратную функцию и подставить её в производную . Примеры:

Пример 1. , . Выразим , и подставим в производную, тогда верно, что .

Пример 2. , . Тогда , и в итоге .

Как видите, может быть записано не только как функция от , но и как функция от .

 

Итак, замена . В данном случае, не , потому что фактически здесь была композиция: , и следующую производную от неё надо вычислять именно как для композиции.

Получается .

=

вычисляем производную произдведения двух сомножителей, причём в каждом из них ещё и композиция:

учитывая, что , получится .

1-я производная от выражается через 0-ю производную от ,

2-я производная от выражается максимум через 1-ю производную от , 3-я производная от выражается через 2-ю, 1-ю и 0-ю производную от :

.

Таким образом, доказали, что порядок при таком преобразовании обязательно понизится на 1 единицу.

 

Пример: (уравнение колебаний).

После замены, уравнение преобразуется к виду: .

Сначала 1-й шаг: ищем неизвестную функцию .

.При этом , иначе справа всё выражение было бы отрицательно и не могло бы быть равно . Если , то эту константу можно представить в виде . Итак,

, то есть . Итак, мы нашли неизвестную функцию , то есть выполнели действия после замены. Теперь нужно сделать обратную замену, фактически для этого выполнить такой же по объёму 2-й шаг, решить новое дифференциальное уравнение. Ведь , то есть теперь надо решить уравнение:

.

2 шаг. Обратная замена.

. Здесь называется амплитудой колебаний, - фазой. Впрочем, при получается не синус, косинус, а именно, по формуле приведения . Поэтому в решении есть и косинусы. Более того, мы могли при решении знак плюс-минус также перенести, , тогда бы слева сразу получалось 2 варианта: или арксинус, или арккосинус.

Ещё решение этого уравнения можно записать в виде: .

На этом примере увидели, что уравнение действительно является уравнением колебаний, то есть в его решении периодические функции.

 

Здесь показаны лишь две основные наиболее известные замены.

Существуют и другие замены и преобразования, применяемые в разных частных случаях, например, иногда удобно поделить всё уравнение на или на , чтобы оно упростилось.

 

 

12Следующая ⇒

Поделиться: