![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линейные дифференциальные уравнения порядка n. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Уравнение вида Если
Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
Если составить многочлен с теми же коэффициентами, и степенными функциями той же степени, что был на этом же месте порядок производной, то такой многочлен называется характеристическим, а уравнение Теорема 1. Функция Доказательство. Ищем решение в виде Если Подставим в уравнение Получим Во всех слагаемых одинаковая экспонента, вынесем её за скобку:
Но поскольку Что и требовалось доказать. Итак, решениями могут быть не все экспоненты, а лишь некоторые избранные, не более n штук, потому что многочлен степени n имеет не больше n различных корней. Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением. Доказательство. Пусть
То есть, они оба обращают его в тождество:
Надо доказать, что линейная комбинация Тогда, подставляя линейную комбинацию в дифференциальное уравнение, получим:
Но ведь в каждой скобке 0, так как каждая из этих функция была решением уравнения. Получается Таким образом, линейная комбинация решений тоже является решением линейного уравнения.
Случай 1. Все характеристические корни действительны и различны.
Пример.Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение: 1) 2) Проверка выполнена. Обе экспоненты являются решениями. При этом никакая третья экспонента не может служить решением этого же уравнения, потому что характеристический многочлен 2-й степени, и он имеет максимум 2 корня. ФСР состоит из
Случай 2.Все характеристические корни действительные, но среди них есть кратные. Если Кроме самой экспоненты, нужно взять ещё и с домножением на степенные, по нарастанию степеней до Пример. Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение: Сделаем проверку. Для
Случай 3. Не все корни действительны (есть комплексные характеристические корни). Если корень Пример.
Теорема 3.(Теорема о наложении решений). Если Доказательство. Доказывается аналогично теореме 2. Пусть верно
Тогда подставим сумму в левую часть:
Таким образом, если в неоднородном уравнении правая часть состоит из нескольких слагаемых, то можно решить более простые уравнения (для каждого из них отдельно) и сложить решения. Замечание. Такое же утверждение верно не только для суммы, но и для линейной комбинации. Здесь коэффициенты равны 1 только для простоты и наглядности доказательства. Следствие 1. Сумма решений линейного неоднородного и соответствующего однородного дифференциального уравнения является решением неоднородного уравнения. Доказательство. В условиях прошлой теоремы, взять одну правую часть
Следствие 2. Разность двух различных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения является решением соответствующего однородного. (Слово «соответствующего» здесь означает, что с той же левой частью, что и было неоднородное).
Понятие линейной комбинации, которое рассмотрели выше, здесь обобщено из векторной алгебры (вспомнить системы векторов). Рассмотрим другие обобщения, например, линейной зависимости и независимости системы.
Определение. Система функций
Примеры.
Чтобы выяснить, ЛЗС или ЛНС система векторов, в линейной алгебре применяли определители. Здесь же фактически нет матрицы, так как просто n скалярных функций. Тем не менее, оказывается, что здесь тоже можно достроить до квадратной матрицы, а именно с помощью их производных. Если во 2-й строке записать все их первые производные, в 3-й строке - вторые производные, и так далее, до Рассмотрим определители Вронского в тех примерах, которые были выше. Система функций Система функций Система функций
Как видим на примерах, определитель Вронского для линейно зависимой системы получился тождественно равен 0, а для независимых - нет. На следующей лекции докажем этот факт в общем виде: Теорема 4.
Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов). Лекция № 1 1. Докажите формулу интегрирования по частям. Лекция № 2 1. Доказать, что замена 2. Доказать, что замена замена 3. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса
4. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена 5. Доказать, что в случае, когда замена: 6. Доказать, что для интеграла вида 7. Доказать формулу 8. Доказать, что для интеграла вида 9. Доказать, что для интеграла вида
Лекция № 3 1. Доказать, что функция 2. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: 3. Доказать формулу длины явно заданной кривой:
4. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах Лекция № 4 Докажите теорему: Лекция № 5 1. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности 2. Вывод формул перехода к полярным координатам 3. Вывод определителя Якоби полярных координат 4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам 5. Вывод определителя Якоби цилиндрических координат 6. Вывод формул перехода к сферическим координатам:
Лекция № 6 1. Доказать, что замена 2. Вывести общий вид решения линейного однородного уравнения. 3. Вывести общий вид решения линейного неоднородного уравнения методом Лагранжа. 4. Доказать, что замена
Лекция № 7. 1. Доказать, что замена 2. Доказать, что замена 3. Доказать теорему: Функция 4. Доказать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного дифф. уравнения тоже есть его решение. 5. Доказать теорему о наложении решений: Если
Приложение 2. Мелкие и устные вопросы на знание теории (для коллоквиумов).
Лекция № 1 1. Что такое первообразная и неопределённый интеграл, чем они отличаются? 2. Объяснить, почему 3. Напишите формулу интегрирования по частям. 4. Какая замена требуется в интеграле вида 5. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни различны и действительны. 6. Запишите вид разложения подынтегральной рациональной дроби на простейшие в случае, когда все корни действительны, и есть один кратный корень кратности k.
Лекция № 2. 1. Напишите, какое разложение рациональной дроби на простейшие в случае, когда в знаменателе есть множитель 2 степени с отрицательным дискриминантом. 2. Какая замена сводит интеграл 3. Что такие универсальная тригонометрическая подстановка? 4. Какие замены производятся в случаях, когда функция под знаком интеграла нечётна относительно синуса (косинуса)? 5. Какие замены производятся в случае наличия в подынтегральной функции выражений
Лекция № 3. 1. Определение определённого интеграла. 2. Перечислите некоторые из основных свойств определённого интеграла. 3. Напишите формулу Ньютона-Лейбница. 4. Напишите формулу объёма тела вращения. 5. Напишите формулу длины явно заданной кривой. 6. Напишите формулу длины параметрически заданной кривой.
Лекция № 4. 1. Определение несобственного интеграла (с помощью предела). 2. Чем отличаются несобственные интегралы 1 и 2 рода. 3. Приведите простые примеры сходящихся интегралов 1 и 2 рода. 4. При каких 5. Как сходимость связана с конечным пределом первообразной (Т2) 6. Что такое необходимый признак сходимости, его формулировка. 7. Признак сравнения в конечной форме 8. Признак сравнения в предельной форме. 9. Определение кратного интеграла.
Лекция № 5. 1. Смена порядка интегрирования, показать на простейшем примере. 2. Напишите формулу площади поверхности. 3. Что такое полярные координаты, напишите формулы перехода. 4. Чему равен якобиан полярной системы координат? 5. Что такое цилиндрические и сферические координаты, в чём их отличие. 6. Чему равен якобиан цилиндрических (сферических) координат.
Лекция № 6. 1. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка (общий вид). 2. Что такое дифференциальное уравнение 1 порядка, разрешённое относительно производной. Приведите какой-нибудь пример. 3. Что такое уравнение с разделяющимися переменными. 4. Что такое общее, частное решение, условия Коши. 5. Что такое однородное уравнение, каков общий метод его решения. 6. Что такое линейное уравнение, в чём состоит алгоритм его решения, что такое метод Лагранжа. 7. Что такое уравнение Бернулли, алгоритм его решения.
Лекция № 7. 1. Какая замена необходима для уравнения вида 2. Какая замена необходима для уравнения вида 3. Покажите на примерах, как можно выразить 4. Что такое линейное дифференциальное уравнение порядка n. 5. Что такое характеристический многочлен, характеристическое уравнение. 6. Сформулировать теорему о том, при каком r функция 7. Сформулировать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже есть его решение. 8. Сформулировать теорему о наложении решений и следствия из неё. 9. Что такое линейно-зависимая и линейно-независимая системы функций, привести какие-нибудь примеры. 10. Что такое определитель Вронского системы из n функций, приведите пример определителя Вронского для ЛЗС и ЛНС систем.
Приложение 3. Задачи из лекций. Лекция № 1 Пример. Пример. Пример. Пример. Лекция № 2 Пример. Пример. Пример.
Лекция № 3 Пример. Вычислить Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Пример. Вывести формулу объёма шара Лекция № 4 Вычислить Выяснить сходимость: Вычислить Вычислить
Лекция № 5. Пример. Сменить порядок интегрирования Пример. Вычислить интеграл Пример. Вычислить интеграл Пример. Доказать формулу площади круга
Пример. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара
Лекция № 6. Пример. Решить дифф. уравнение Пример. Решить дифференциальное уравнение Пример. Решить уравнение Пример. Решить уравнение Пример. Решить линейное уравнение
Лекция № 7. Пример. Решить уравнение 2 порядка Пример. Решить уравнение 3 порядка Пример.Решить уравнение Пример.Решить уравнение Пример. Решить уравнение
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 425; Нарушение авторского права страницы